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Uneigentliche Integrale

Integrationsgrenzen substituieren, Grenzwert, limes, unendlich

Was ist ein uneigentliches Integral?

Du hast bereits bestimmte Integrale kennengelernt: $\int\limits_a^b~f(x)~dx$. Diese kannst du mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnen. Dabei ist das Intervall $I=[a;b]$ abgeschlossen.

Wenn bei einem solchen Integral

  • entweder die obere Integrationsgrenze $\infty$ und / oder die untere $-\infty$ ist
  • oder die Funktion an einer der Integrationsgrenzen nicht definiert ist,

kommt man zu einem uneigentlichen Integral.

Hier siehst du einige Beispiele für uneigentliche Integrale:

  • $\int\limits_{-\infty}^{-1}~\frac1{x^2}~dx$: In diesem Fall ist die untere Integrationsgrenze $-\infty$.
  • $\int\limits_0^{\infty}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx$: In diesem Fall ist die obere Integrationsgrenze $\infty$.
  • $\int\limits_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx$: In diesem Fall ist die zu integrierende Funktion an der unteren Grenze nicht definiert.

Im Folgenden lernst du, wie du uneigentliche Integrale berechnen kannst. Das Vorgehen ist dabei jedes Mal gleich.

  • Du ersetzt die Integrationsgrenze $\pm \infty$ beziehungsweise die, an welcher die Funktion nicht definiert ist, durch eine variable Grenze.
  • Du erhältst so einen Flächeninhalt, welcher von dieser variablen Grenze abhängt.
  • Zuletzt bildest du den Grenzwert entsprechend der Grenze, welche substituiert wurde.

Beispiel 1: $\int\limits_{-\infty}^{-1}~\frac1{x^2}~dx$

In diesem Beispiel liegt eine nach links ins Unendliche reichende Fläche vor. Ersetze die untere Grenze durch $u\lt -1$:

$A(u)=\int\limits_{u}^{-1}~\frac1{x^2}~dx=\left[-\frac1x\right]_u^{-1}=1+\frac1u$

Nun kannst du den folgenden Grenzwert berechnen: $\lim\limits_{u\to -\infty}A(u)=1$. Das bedeutet, dass die nach links ins Unendliche reichende Fläche den Inhalt $1$ hat.

Gesamt gilt also für das uneigentliche Integral: $\int\limits_{-\infty}^{-1}~\frac1{x^2}~dx=1$

Beispiel 2: $\int\limits_0^{\infty}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx$

Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot e^{-x}$.

1073_x•e__-x_.jpg

Du siehst, dass der Funktionsgraph sich für $x\to\infty$ an die $x$-Achse anschmiegt. Bedeutet dies für die nach rechts ins Unendliche reichende Fläche, dass diese endlich ist?

Die rechte Grenze wird durch $u\gt 0$ substituiert: $\int\limits_0^{u}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx$. Was dies anschaulich bedeutet, siehst du hier:

1073_x•e__-x__Fläche.gif

Nun berechnen wir $A(u)$:

$A(u)=\int\limits_0^{u}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx=\left[(-x-1)\cdot e^{-x}\right]_0^u=(-u-1)\cdot e^{-u}+1$

Wieder berechnest du den Grenzwert $\lim\limits_{u\to\infty}A(u)=1$.

Somit ist $\int\limits_0^{\infty}~\left(x\cdot e^{-x}\right)~dx=1$.

Beispiel 3: $\int\limits_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx$

Zuletzt betrachten wir noch ein Flächenstück, welches nach oben unbegrenzt ist.

Ersetze die untere Grenze durch $u$: $\int\limits_u^1~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx$.

$A(u)=\int\limits_u^1~\frac1{\sqrt x}~dx=\left[2\cdot \sqrt x\right]_u^1=2-2\sqrt u$

Dieses Mal betrachten wir den Grenzwert $\lim\limits_{u\to 0}A(u)=2$.

Es gilt damit $\int\limits_0^1~\frac{1}{\sqrt{x}}~dx=2$.

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