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Stammfunktionen anderer Funktionen

logarithmische Integration, Potenzregel mit rationalen Exponenten, Wurzelfunktion integrieren, arcsin(x), arccos(x)

Was ist eine Stammfunktion?

Jede differenzierbare Funktion $F$, für die

$F'(x)=f(x)$

gilt, heißt Stammfunktion der Funktion $f$.

Das bedeutet, dass du zu einer gegebenen Funktion $f$ eine solche Funktion $F$ finden musst.

Du kannst die Beschreibung einer Stammfunktion, also der Integration, auch so verstehen: Die Integration kehrt die Differentiation um.

Weißt du noch, in welchen Zusammenhängen du Stammfunktionen benötigst? Diese benötigst du bei

Im Folgenden lernst du für bestimmte Funktionen, wie du zu diesen eine Stammfunktion berechnen kannst.

Die Potenzregel der Integration

Die Potenzregel der Integration ist die Umkehrung der Potenzregel der Differentiation. Für die Integration gilt:

$\int~x^{n}~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C,~n\neq -1$

Dabei ist $C\in\mathbb{R}$ die sogenannte Integrationskonstante.

Diese Regel gilt auch für rationale Exponenten.

Wurzelfunktionen

Schau dir hierfür das Beispiel der Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt{x}$ an mit $x\ge 0$. Schreibe die Wurzelfunktion als Potenzfunktion:

$\sqrt{x}=x^{\frac12}$

Nun kannst du die Potenzregel der Integration anwenden:

$\int~\sqrt{x}~dx=\int~x^{\frac12}~dx=\frac1{\frac12+1}x^{\frac12+1}+C=\frac23x^{\frac32}+C$

Potenzfunktionen mit negativem Exponenten

Nun schauen wir uns die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac1{x^{n}},~ n\ge0;~n\neq 1,~x\neq 0$ an. Schreibe diese Funktion ebenfalls als Potenzfunktion. Diese hat einen negativen Exponenten:

$\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$

Nun kannst du wieder die Potenzregel der Integration anwenden:

$\int~\frac{1}{x^{n}}~dx=\int~x^{-n}~dx=\frac1{-n+1}x^{-n+1}+C$

Zum Beispiel gilt damit $\int~\frac1{x^{2}}=-\frac1x+C$.

Die logarithmische Integration

Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x)\gt 0$ für alle $x\in\mathbb{D}_{f}$. Die verkettete Funktion $\ln(f(x))$ kannst du mit der Kettenregel ableiten. So erhältst du

$\left(\ln(f(x))\right)'=\frac1{f(x)}\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$.

Du siehst, du erhältst als Ableitung einen Bruch, in welchem im Nenner die Funktion $f$ und im Zähler deren Ableitung $f'$ steht. Umgekehrt kannst du für einen solchen Bruch eine Stammfunktion durch logarithmische Integration ermitteln:

$\int~\frac{f'(x)}{f(x)}~dx=\ln|f(x)|+C$

Hier siehst du noch Beispiele zur logarithmischen Integration:

Beispiel 1

Bestimme eine Stammfunktion zu $f$ mit $f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$.

Du siehst, dass $2x$ die Ableitung von $x^{2}+1$ ist. Damit gilt

$\int~\frac{2x}{x^{2}+1}~dx=\ln\left(x^2+1\right)+C$

Beispiel 2

Im Zähler kann auch ein Vielfaches der Ableitung des Nennerterms stehen. Dann gehst du wie folgt vor:

$\int~\frac{8x}{2x^{2}+4}~dx=2\cdot \int~\frac{4x}{2x^{2}+4}~dx=2\ln\left(2x^2+4\right)+C$

Stammfunktionen der Sinus- und Cosinusfunktionen

Merke dir für die Ableitungen der Sinus- und Cosinusfunktion die folgende Reihenfolge:

  • $\sin'(x)=\cos(x)$
  • $\cos'(x)=-\sin(x)$
  • $-\sin'(x)=-\cos(x)$
  • $-\cos'(x)=\sin(x)$
  • ...

Umgekehrt kannst du dir auch die Stammfuntionen der Sinus- und Cosinusfunktion merken:

  • $\int~\sin(x)~dx=-\cos(x)+C$
  • $\int~\cos(x)~dx=\sin(x)+C$
  • ...

Stammfunktion der Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion $f$ mit $f(x)=e^{x}$ hat die Ableitung $f'(x)=e^{x}$, also die Funktion selbst. Umgekehrt kennst du damit auch eine Stammfunktion:

$\int~e^x~dx=e^x+C$

Dazu fällt mir ein Witz ein: Verschiedene Funktionen feiern ein tolles Fest. Alle haben Spaß, nur die Exponentialfunktion sitzt in der Ecke und langweilt sich. Da geht eine quadratische Funktion zu ihr und sagt ihr, sie solle sich doch mal integrieren. Woraufhin die Exponentialfunktion antwortet, dass das ja auch nichts ändere.

Merke dir noch weitere Stammfunktionen:

  • $\int~e^{-x}~dx=-e^{-x}+C$
  • $\int~e^{kx+l}~dx=\frac1k e^{kx+l}+C$
  • Zum Beispiel ist $\int~e^{0,5x}~dx=2e^{0,5x}+C$

Du siehst, der Exponentialterm bleibt ebenso wie bei der Differentiation immer stehen.