Integrationsregeln

Bei der Integralrechnung geht es darum, die Stammfunktion $F(x)$ einer gegebenen Funktion $f(x)$ zu bestimmen. Betrachte hierzu unbestimmte Integrale und beachte folgende Regeln:

Potenzregel:

$F(x) =\int x^{n} dx = \frac{1}{n + 1}\cdot x^{n + 1} + C$

Beispiel:

$\begin{array}{lll} F(x) = \int x^{2} dx\\ &=&\frac{1}{2 + 1}\cdot x^{2 + 1} + C\\ &=&\frac{1}{3}\cdot x^{3} + C\\ \end{array}$

Faktorregel:

$F(x) = \int c\cdot f(x)dx = c\cdot \int f(x) dx$

Einen konstanten Faktor $c$ im Integranden kannst du vor das Integralzeichen ziehen, um so die Berechnung der Stammfunktion zu vereinfachen:

Beispiel:

$\begin{array}{lll} F(x) = \int 5\cdot x dx\\ &=& 5\int x dx\\ &=& 5\cdot \frac{1}{2}x^{2} + C\\ &=&2,5x^{2} + C\\ \end{array}$

Summen- bzw. Differenzregel:

$F(x) =\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

Das Integral einer Summe bzw. Differenz lässt sich als Summe bzw. Differenz der Integrale schreiben. Dadurch können Terme auseinander gezogen werden, wodurch sich die Berechnung der Stammfunktion vereinfachen lässt.

Beispiel:

$\begin{array}{lll} F(x) =\int (3x^2 + 2x^3) dx\\ &=&\int 3x^2 dx + \int 2x^3 dx\\ &=&3\cdot\frac{1}{3}x^3 + 2\cdot\frac{1}{4}x^4\\ &=&x^3 + 0,5x^4\\ \end{array}$