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Integration durch Partialbruchzerlegung

Nenner faktorisieren, Partialbrüche, logarithmisches Integrieren, LGS, arctan(x), arccot(x)

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion $f$ sieht so aus:

$f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}=\frac{a_n x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}{b_m x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0}$

Hier siehst du ein Beispiel für eine gebrochenrationale Funktion $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}$.

Du kannst eine Kurvendiskussion durchführen und so die Nullstellen, Extrema und gegebenenfalls Wendepunkte der Funktion finden. Schließlich kannst du den Funktionsgraphen zeichnen. Oft wirst du aber auch noch eine Flächenberechnung durchführen müssen. Hierfür benötigst du eine Stammfunktion $F$, also eine Funktion, für die

$F'(x)=f(x)$

gilt. Hier lernst du, wie du diese Stammfunktion findest. Dazu sehen wir uns zunächst einmal einige Ableitungen an, die du später benötigst.

Spezielle Ableitungen

Wenn du einen natürlichen Logarithmus ableitest, in dessen Argument eine lineare Funktion steht, erhältst du:

$\left(\ln(ax+b)\right)'=a\cdot \frac{1}{ax+b}$

Dabei muss $ax+b\gt 0$ sein, da der Logarithmus für negative Argumente nicht definiert ist.

Die Umkehrfunktion des Tangens ist der Arcustangens. Dessen Ableitung ist gegeben durch:

$(\arctan(x))'=\frac{1}{x^{2}+1}$

Siehst du schon, warum du diese Ableitungen benötigst? Sie sind jeweils gebrochenrationale Funktionen. Umgekehrt kennen wir damit also schon die Stammfunktionen dieser bestimmten gebrochenrationalen Funktionen.

Polynomdivision und logarithmische Integration

Eine Polynomdivision führt bei der obigen Beispielfunktion $f$ zu:

$f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$

Du kannst nun eine Stammfunktion $F$ von $f$ wie folgt ermitteln:

Beginne mit dem ganzrationalen Teil $x-1$. Eine Stammfunktion hierzu lautet:

$F_1(x)=\frac12x^{2}-x$

Erkennst du den gebrochenrationalen Teil $\frac{2}{x+1}$ wieder? Sieh nochmal bei den obigen Ableitungen nach: Richtig, Eine Stammfunktion erhältst du mit dem natürlichen Logarithmus. Das nennt man übrigens logarithmische Integration. So kommst du zu der Stammfunktion:

$F_2(x)=2\cdot \ln|x+1|$

Die komplette Stammfunktion $F$ ist dann wegen der Summenregel gegeben durch:

$F(x)=F_1(x)+F_2(x)=\frac12x^{2}-x+2\cdot \ln|x+1|$

Nun kann der gebrochenrationale Teil auch ein wenig anders aussehen. Du siehst im Folgenden drei weitere Fälle. Dabei wird jeweils eine gebrochenrationale Funktion betrachtet, bei der eine Polynomdivision nicht mehr möglich ist.

Verwenden der Potenzregel der Integration

Du sollst eine Stammfunktion zur Funktion

$f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}}, \quad \mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$

bestimmen. Dazu schreibst du die Funktion als Potenz:

$f(x)=(x-1)^{-2}$

Nun kannst du die Potenzregel der Integration sowie die lineare Substitutionsregel verwenden. Dann ist eine Stammfunktion von $f$ durch:

$F(x)=-2\cdot (x-1)^{-1}=-\frac{2}{x-1}$

gegeben.

Integration durch Partialbruchzerlegung

Wenn der Nenner der gebrochenrationalen Funktion Nullstellen hat, kannst du eine Partialbruchzerlegung durchführen. Wir sehen uns hierfür ein Beispiel an:

$f(x)=\frac{2}{x^{2}-1}$

Bestimme zunächst die Nullstellen des Nennerterms. Diese sind hier $-1$ und $1$. Du kannst den Nennerterm also wie folgt faktorisieren:

$x^{2}-1=(x+1)\cdot(x-1)$

Du wählst nun den folgenden Ansatz:

$f(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$

Das bedeutet, dass du den Bruch in Teilbrüche zerlegst. Die jeweiligen Nennerterme sind gerade die obigen Faktoren.

Bringe jetzt die beiden Brüche auf den gemeinsamen Nenner:

$N(x)=(x+1)\cdot (x-1)=x^{2}-1$

Hierfür erweiterst du den linken Bruch mit $x-1$ und den rechten mit $x+1$. Dies führt zu:

$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{x^{2}-1}=\frac{(A+B)x-A+B}{x^{2}-1}$

Da die Nennerterme bereits übereinstimmen, prüfst du noch die Zählerterme. Es muss gelten:

$2=(A+B)x-A+B$

Mittels Koeffizientenvergleich erhältst du das lineare Gleichungssystem

$ \begin{array}{llll} A+B&=&0,\\ B-A&=&2\\ \end{array} $

Addiere die beiden Gleichungen, so erhältst du $2B=2$. Division durch $2$ führt zu $B=1$. Damit ist $A=-1$.

Zuletzt setzt du diese Werte ein und erhältst:

$f(x)=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$

Nun folgt noch einmal die logarithmische Integration. So erhältst du eine Stammfunktion:

$F(x)=-\ln|x+1|+\ln|x-1|$

Verwenden des Arcustangens

Zuletzt betrachten wir das folgende Beispiel:

$f(x)=\frac{1}{2x^{2}+4x+4}$

Hier kannst du keine Partialbruchzerlegung durchführen, da der Nennerterm keine Nullstellen hat. Um den Arcustangens zu verwenden, musst du noch ein wenig umformen.

$ \begin{array}{llll} f(x)&=&\frac{1}{2(x^{2}+2x+2)} \\ &=&\frac12\cdot \frac{1}{x^{2}+2x+2} \\ &=&\frac12\cdot \frac{1}{x^{2}+2x+1+1} \\ &=&\frac12\cdot \frac{1}{(x+1)^{2}+1} \\ \end{array} $

Nun kannst du den Arcustangens verwenden und findest:

$F(x)=\frac12\cdot \arctan(x+1)$

Übrigens: Bei einer recht komplizierten gebrochenrationalen Funktion kann eine Partialbruchzerlegung sowohl zu einer logarithmischen Integration, zu einer Integration mit der Potenzregel als auch zu einer Integration mit Hilfe des Arcustangens führen.

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