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Dezimalbrüche runden und überschlagen

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Einleitung

Du begibst dich in den Supermarkt und hast nur $10$€ dabei und eine große Liste mit Dingen, die du einkaufen möchtest. Die Preise der meisten Produkte werden in Dezimalzahlen angegeben. Du möchtest wissen, wie viele von den Produkten du kaufen kannst bzw. ob dein Geld reicht. Man hat nicht in jeder Situation einen Taschenrechner parat, der uns das Rechnen erleichtert. Was dir dabei aber helfen kann, ist das Runden und Überschlagen von Dezimalbrüchen.

Kassenbon.jpg

Zur Erinnerung: Unter einem Dezimalbruch versteht man einen Bruch, der im Nenner eine Zehnerpotenz aufweist. Mathematisch sieht das dann zum Beispiel so aus:

$\dfrac {2}{10}$ oder $\dfrac {42}{10}$

Diese Dezimalbrüche lassen sich auch ganz leicht als Dezimalzahlen darstellen. Eine Dezimalzahl ist umgangssprachlich nichts anderes als ein Dezimalbruch in Kommaschreibweise. Wie man Brüche in Dezimalzahlen umwandelt, siehst du hier:

$\dfrac {2}{10}=0,2$ und $\dfrac {42}{10}=4,2$

Gesprochen wird das so: „Null Komma Zwei" und „Vier Komma Zwei".

Die erste Nachkommastelle wird als Zehntel bezeichnet.

$\dfrac {2}{10^{1}}=\dfrac {2}{10}=0,2$

Die zweite Nachkommastelle wird als Hundertstel bezeichnet.

$\dfrac {25}{10^{2}}=\dfrac {25}{100}=0,25$

Als Tausendstel wird die dritte Nachkommastelle bezeichnet.

$\dfrac {125}{10^{3}}=\dfrac {125}{1000}=0,125$

Man unterscheidet periodische und abbrechende Dezimalzahlen

  • Abbrechende Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen mit endlich vielen Nachkommastellen. Dazu zählen zum Beispiel: $0,4$; $1,25$; $0,125$
  • Periodische Dezimalzahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. Man schreibt das so: $0,\overline {3}$; $1,\overline {6}$

Du solltest auch wissen, wie man mit Dezimalzahlen rechnet.

Dezimalzahlen runden

Wie oben bereits angedeutet, kann es sehr hilfreich sein Dezimalzahlen zu runden. Durch das Runden bekommen wir:

  • manchmal glatte Zahlen,
  • Zahlen, deren Aussagekraft meistens nicht stark verändert wurde sowie
  • Zahlen, die man sich vielleicht leichter merken kann.

Dadurch ist es uns möglich, die Dezimalzahlen leichter zu vergleichen, uns leichter zu merken und mit ihnen leichter zu rechnen. Durch das Runden fallen „unwichtige" Zahlen weg oder das Komma verschwindet. Bei allen Rundungsmöglichkeiten ist es wichtig einheitliche Vorschriften festzulegen, die das Treffen allgemeingültiger Aussagen ermöglichen.

Man kann aufrunden oder abrunden. Dabei geht man wie folgt vor: Man betrachtet die Zahl rechts von der Stelle, auf die man runden möchte.

  • Ist diese Zahl kleiner als $5$, so wird abgerundet.
  • Ist diese Zahl größer oder gleich $5$, so wird aufgerundet.

Für gerundete Werte benutzt man das Zeichen $\approx$. Für die Zahl rechts von der zu rundenden Stelle gilt also:

  • $1, 2, 3, 4\lt 5$ abrunden
  • $5, 6, 7, 8, 9\geq 5$ aufrunden

Runden auf Ganze

Hierbei wird die erste Nachkommastelle (Zehntel) betrachtet und die Dezimalzahl auf eine ganze Zahl gerundet. Schauen wir uns dazu die beiden folgenden Beispiele an.

$1$. Beispiel: $~1,4$

  • Man betrachtet die erste Nachkommastelle, in diesem Fall die $4$. Es gilt: $4\lt 5$.
  • Also wird hier abgerundet. Beim Abrunden bleibt die Zahl, auf die man rundet, gleich. Somit erhalten wir folgende gerundete Zahl: $1,4\approx 1$

$2$. Beispiel: $~2,7$

  • Betrachtet man die Zehntelstelle, so erhält man: $7\gt 5$.
  • Wir runden diesmal auf. Die nächstmögliche größere ganze Zahl nach der $2$ ist die $3$. Aus $2,7$ wird demnach: $2,7\approx 3$

Runden auf Zehntel

Hier muss auf die Zehntelstelle gerundet werden, die relevante Zahl für das Runden befindet sich somit an zweiter Stelle nach dem Komma (Hundertstel). Bei $2,46$ betrachten wir die $6$ und runden die Zehntelstelle von der $4$ auf die $5$ auf, da $6$ größer ist als $5$. Es folgt dann:

  • $2,46\approx 2,5$

Runden auf Hundertstel

Nun runden wir auf die Hundertstelstelle. Die hierfür relevante Zahl ist die Tausendstelstelle. Bei $12,675$ betrachten wir also die $5$ und runden von der $7$ auf die $8$ auf. Die gerundete Zahl lautet:

  • $12,675\approx 12,68$

Runden auf Tausendstel

Hier muss auf das Tausendstel gerundet werden. Also betrachten wir die Zahl, die an vierter Stelle hinter dem Komma steht. Bei $125,7683$ betrachten wir die $3$ und runden ab. Die $8$ bleibt also erhalten, da $3$ kleiner ist als $5$. Die gerundete Zahl lautet:

  • $125,7683\approx 125, 768$

Dezimalzahlen überschlagen

Im Alltag begegnen uns in allen möglichen Situationen Dezimalzahlen. Beim Einkaufen im Supermarkt werden die Preise in Dezimalzahlen angegeben oder bei Nährstoffangaben auf den Produkten befinden sich Dezimalzahlen. Es kann dann von Vorteil sein, wenn man Dezimalzahlen überschlägt, um dann leichtere Zahlen vergleichen oder mit ihnen rechnen zu können. Überschläge helfen dir zum Beispiel dabei, Beträge leichter und schneller addieren zu können. Man rundet zuerst die Preise auf eine leicht zu rechnende Stelle (zum Beispiel auf Ganze oder Zehntel) und addiert sie anschließend. Das folgende Beispiel eines möglichen Einkaufs in einem Möbelgeschäft verdeutlicht dieses Vorgehen:

  • Stuhl - $16,34$€
  • Kissen - $15,98$€
  • Hocker - $17,28$€
  • Korb - $16,02$€

Wir runden nach bekanntem Muster auf ganze Zahlen und erhalten:

  • Stuhl - $ 16$€
  • Kissen - $16$€
  • Hocker - $ 17$€
  • Korb - $ 16$€

Nun können wir die gerundeten Preise addieren zu: $16+16+17+16=65$. Wir bezahlen überschlagen $65$€ für unseren Einkauf.

Ohne zu runden erhalten wir:

Rechnung.jpg

Der genaue Einkaufspreis liegt bei $65,62$€. Wir sehen also, dass unser überschlagener Einkaufspreis nicht weit vom Originalpreis entfernt ist. Der Unterschied beträgt nur $62$ Hundertstel. Bei der Rundung auf Zehntel, wäre der Preis noch ähnlicher zum Original gewesen.

Nun solltest du in der Lage sein, beim Einkauf auch ohne Taschenrechner immer einen kühlen Kopf bewahren zu können und deinen Einkaufswert zu runden und zu überschlagen. Probiere es doch gleich einmal beim nächsten Einkauf aus.

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Dezimalbrüche runden und überschlagen (2 Arbeitsblätter)