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Normalverteilung

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Inhalt

Standardisierung der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dabei wird jedem $k$ die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ durch die Formel von Bernoulli zugeordnet:

$P(X=k)=B_{n;p}(k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Die Variablen $n$, $p$, $k$ haben folgende Bedeutung:

  • $n$ ist die Länge der Bernoullikette, also die Anzahl der Durchführungen des Experimentes.
  • $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit und
  • $k$ ist die Anzahl der Treffer eines mehrstufigen Bernoulli-Experimentes

Hier siehst du die Binomialverteilung für $p=0,2$ und $n=10$.

1225_Binomialverteilung.jpg

Um Punktwahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ zu erhalten, kannst du Tabellen verwenden. Diese Tabellen gehen aber oftmals nur bis $n=100$. Wie können also Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, wenn $n$ größer wird?

Möchtest du Intervallwahrscheinlichkeiten $k_1<p<k_2$ für="" hohe="" $n$="" berechnen,="" wirst="" du="" keine="" geeigneten="" tabellen="" finden.="" an="" dieser="" stelle="" kommt="" die="" normalverteilung="" ins="" spiel,="" durch="" standardisierung="" der="" binomialverteilung="" zustande="" kommt.="" ##="" normalverteilung="" normalverteilung="" ist="" eine="" stetige="" wahrscheinlichkeitsverteilung.="" sie="" wird="" nach="" ihrem="" entdecker="" auch="" als="" gauß-verteilung="" bezeichnet.="" 1226_cfgauss.jpg" carl-friedrich="" gauß="" (geb.="" 30.="" april="" 1777,="" gest.="" 23.="" februar="" 1855)="" war="" ein="" bedeutender="" deutscher="" mathematiker.="" er="" wurde="" bereits="" zu="" lebzeiten="" fürst="" mathematik="" auf="" ihn="" geht="" unter="" anderem="" gauß-funktion="" oder="" (gauß'sche)="" glockenkurve="" zurück,="" welche="" sich="" dem="" letzten="" 10="" dm="" schein="" befand.="" 1226_gauß_sche_glockenkurve.jpg="" blaue="" kurve="" zeigt="" zur="" normalverteilung="" gehörende="" dichtefunktion.="" kannst="" sicherlich="" Ähnlichkeit="" obigen="" binomialverteilung="" erkennen.="" deren="" dichtefunktion="" gegeben="" durch:="" <p=""> $\large{\psi(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-0,5\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)2}}$

Zu der zugehörigen Verteilungsfunktion, der Gauß-Funktion, gelangst du durch Integration:

$\large{\phi(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}~\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-0,5\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt}$

Für $\mu=0$ und $\sigma=1$ erhältst du die Standardnormalverteilung, welche so wie die rote Kurve aussehen könnte.

Die Parameter der Normalverteilung

Die Parameter der Normalverteilung sind $\mu$, $\sigma$ und $\sigma ^2$:

  • Der Erwartungswert $\mu=n \cdot p$ beschreibt die Stelle, an welcher die Dichtefunktion ihren höchsten Wert annimmt.
  • Die Standardabweichung $\sigma= \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ sowie die Varianz $\sigma ^2$ sind Maße für die Streuung der Verteilung.

Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an.

Beispiel

Du würfelst mit einem Würfel $n=120$ mal. Du möchtest wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, $k=20$ mal eine $6$ zu würfeln. Diese Wahrscheinlichkeit kann auch mit der Formel von Bernoulli berechnet werden. Um diese Wahrscheinlichkeit mithilfe der Normalverteilung anzunähern, benötigst du den Erwartungswert $\mu$ sowie die Standardabweichung $\sigma$.

  • $p=\frac16$
  • $\mu=n \cdot p = 120\cdot \frac16=20$ und
  • $\sigma =\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{120\cdot \frac16\cdot \frac56}\approx 4,08$

Bevor nun die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Verteilungsfunktion näherungsweise berechnet werden kann, muss die Laplace-Bedingung überprüft werden: Die Standardabweichung muss größer als $3$ sein.

$\sigma=\sqrt{120\cdot \frac16\cdot\frac56}\approx 4,08 >3~\surd$

Da dies hier der Fall ist, kann nun die Wahrscheinlichkeit berechnet werden:

$B_{n;p}(20)\approx \psi(20)=\frac1{4,09\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-0,5\left(\frac{20-20}{4,09}\right)^2}\approx 0,0389$

Dabei können wir diese Beobachtungen machen: Je größer $n$ ist,

  • desto größer wird die Standardabweichung.
  • umso mehr nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an.
  • umso besser kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit angenähert werden.

Sigma-Regeln

Wir können Aussagen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung treffen, wenn wir den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma>3$ einer Normalverteilung kennen. Hierfür gibt es die Sigma-Regeln. Diese geben Abschätzungen für Intervallwahrscheinlichkeiten an.

  • 1-$\sigma$ - Regel: $P(\mu-1\cdot \sigma\le X \le \mu+1\cdot\sigma)\approx 0,680$
  • 2-$\sigma$ - Regel: $P(\mu-2\cdot \sigma\le X \le \mu+2\cdot\sigma)\approx 0,955$
  • 3-$\sigma$ - Regel: $P(\mu-3\cdot \sigma\le X \le \mu+3\cdot\sigma)\approx 0,997$

Fassen wir dies einmal in Worte: Stellen wir uns die Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung vor.

  • Wenn wir nun, vom Erwartungswert ausgehend, eine Standardabweichung $\sigma$ nach links und eine nach rechts gehen, haben wir damit $68~\%$ der möglichen Ergebnisse abgedeckt.
  • Gehen wir zwei Standardabweichung $\sigma$ nach links und rechts, so befinden sich in diesem Intervall $95,5~\%$ der möglichen Ergebnisse.</p<k_2$>