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Der Multiplikationssatz für zwei Ereignisse

Der Multiplikationssatz wird zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt zweier Ereignisse $A$ und $B$ genutzt. Hierzu werden die jeweiligen bedingten Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse betrachtet, da ein Ereignis auftreten soll, wenn ein anderes Ereignis ebenfalls auftritt.

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ gilt:

$P(B \vert A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ und $P(A \vert B)=\frac{P(B \cap A)}{P(B)}$

Durch das Umstellen der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse $A$ und $B$, kann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten zweier Ereignisse bestimmt werden.

Sind $A$ und $B$ zwei Ereignisse eines Zufallsexperimentes, wobei $P(A)>0$ und $P(B)>0$, dann gilt der Mutiplikationssatz:

$P(A \cap B)=P(B \vert A) \cdot P(A)=P(A\vert B) \cdot P(B)$

Die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintretens von Ereignis $A$ und Ereignis $B$ entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis $B$ unter der Bedingung $A$ und der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis $A$. Da die Gleichheit gilt, entspricht die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintetens von $A$ und $B$, dem Produkt der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis $A$ unter der Bedingung $B$ und der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis $B$.

Mutiplikationssatz

Beispiel

Laut Karftfahrt-Bundessamt betrug die Wahrscheinlichkeit bei einen Unfall im Straßenverkehr ein Fahrradfahrer zu sein im letzten Jahr $0,28$. Davon trugen $58$% keinen Helm. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit als Fahrradfahrer ohne Helm im Straßenverkehr einen Unfall zu haben?

Die Wahrscheinlichkeit als Radfahrer zu verunglücken ist gegeben mit:

$P(A)=P({\text{Unfall}~ \text{Fahrradfahrer}})=0,28$

Das Wort “davon” ist der sprachlicher Hinweis, dass es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ein Fahrradfahrer ohne Helm zu sein, ist gegeben mit:

$P(B \vert A)=P({\text{ohne Helm}} \vert {\text{Unfall} ~ \text{Fahrradfahrer}}) = 58\text{%}=0,58$

Unter Anwendung der Formel des Multiplikationssatzes kannst du nun die Wahrscheinlichkeit, als Fahrradfahrer, der keine Helm trägt, einen Unfall zu haben, bestimmen:

$P(A \cap B)=P(B \vert A) \cdot P(A)=0,58 \cdot 0,28= 0,1624$

Die Wahrscheinlichkeit als Fahrradfahrer ohne Helm einen Verkehrsunfall zu haben liegt bei rund $16$%.

Unterschied zwischen der bedingte Wahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeit vom Durchschnitt zweier Ereignisse

Warum genügt es nicht die bedingten Wahrscheinlichkeit $P(B \vert A)$ statt die Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse zu bestimmen. Ob nun das eine Ereignis unter der Bedingung des anderen Ereignisses eintritt oder beide gleichzeitig ist doch das Gleiche oder nicht?

Die Gleichung des Mutiplikationssatzes verdeutlicht den Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit des Durchschnittes zweier Ereignisse ($P(A \cap B)$) und der bedingten Wahrscheinlichkeit ($P(B \vert A)$). Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $A$ unter der Bedingung $B$ entspricht dem Quotienten der Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintetens von $A$ und $B$, sowie der Wahrscheinlichkeit des Eintetens von Ereignis $A.$

Noch deutlich wird der Unterschied, wenn du dir das Baumdiagramm eines zweistufigen Zufallsexperiment mit zwei Ereignissen $A$ und $B$ anschaust.

3081_Baumdiagramm.jpg

Es gibt die vier mögliche Elementarereignisse $P(A \cap B)$, $P(\overline{A} \cap B)$, $P(A \cap \overline{B})$ und $P(\overline{A} \cap \overline{B})$. Ein Elementarereignis ist ein Ereignis, dass nicht mehr in andere Ereignisse zerlegbar ist. Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades des Baudiagramms. Anschaulich kann die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse bei einem Baumdiagramm dadurch bestimmt werden, in dem die Wahrscheinlichkeitswerte der zugehörigen Ästen miteinander multipliziert werden.

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit wird davon ausgegangen, dass das Ereignis $A$ bereits eingetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit für $P(A)$ wäre in diesem Fall gleich $1$. Wird diese Annahme in die Gleichung des Multiplikationssatz eingesetzt, so ergibt sich tatsächlich die Gleichheit:

$P(A \cap B)=P(B \vert A) \cdot P(A)= P(B \vert A) \cdot 1= P(B \vert A)$

Beachte, die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse ist nur gleich der Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintretens der Ereignisse, wenn eines der Ereignisse ein sichere Ereignis mit Wahrscheinlichkeit des Eintretens $1$ oder ein ummögliches Ereignis mit Wahrscheinlichkeit des Eintretens $0$ ist.

Der Multiplikationssatz für mehrere Ereignisse

Zur Herleitung des Multiplikaionssatz mit mehreren Ereignisses werden wieder die bedingten Wahrscheinlichkeiten betrachtet. Der Einfachheit halber wird zuerst der Fall mit $3$ Ereignissen betrachtet. Sollen drei Ereignisse $A$, $B$ und $C$ eintreten, so bedingt das $1.$ Ereignis $A$ das $2.$ Ereignis $B$. Und das dritte Ereignis $C$ ist bedingt durch Ereignis $A$ und $B$. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten aller drei Ereignisse ergibt sich aus dem Produkt dieser drei Wahrscheinlichkeiten:

$P(A) \cdot P(B \vert A) \cdot P(C \vert A \cap B )$

Nun wird die Formel zur Berechnung der bedingte Wahrscheinlichkeit auf diese Formel angewendet und gekürzt. Es ergibt sich die Gleichung des Multiplikationssatzes:

$P(A) \cdot P(B \vert A) \cdot P(C \vert A \cap B )$

$=P(A) \cdot \frac{P(A \cap B )}{P(A)} \cdot \frac{P(C \vert A \cap B )}{P(A \cap B )}$

$=P(A \cap B \cap C)$

Seien $A$, $B$ und $C$ drei Ereignisse eines Zufallsexperimentes, wobei $P(A)>0$ und $P(A \cap B)>0$, dann gilt:

$P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot P(B \vert A) \cdot P(C \vert A \cap B )$

Nun wird die Verallgemeinerung des Multiplikationssatzes für beliebig viele Ereignisse betrachtet.

Sind $A_1$,..., $A_n$ $n$ Ereignisse eines Zufallsexperimentes mit

$P(A_{1} \cap A_{2} \cap \ldots \cap A_{n-2} \cap A_{n-1})>0 $ , dann gilt:

$ P(A_{1} \cap A_{2} \cap \ldots \cap A_{n-1} \cap A_{n})=P(A_{1}) \cdot P(A_{2} \vert A_{1})\cdot \ldots \cdot P( A_{n} \vert A_{1} \cap A_{2} \cap \ldots \cap A_{n-2} \cap A_{n-1} )$