Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und Reihenfolge betreffen das nacheinander Treffen von Entscheidungen, etwa an Wegkreuzungen. Mit Hilfe von Baumdiagrammen werden die Wahrscheinlichkeiten berechnet. Lerne über Pfadregeln und übe ihre Anwendung! Lust auf mehr? Das und vieles mehr ist im folgenden Text zu finden.
- Einführung: Wegkreuzungen
- Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und Reihenfolge – Beispiel
- Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und Reihenfolge –Baumdiagramm
- Wie berechnet man ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen und Reihenfolge?
- Zusammenfassung: zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und Reihenfolge
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Grundlagen zum Thema Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
Einführung: Wegkreuzungen
Stell dir vor, du gehst einen Weg entlang, bei dem du nacheinander an zwei Kreuzungen vorbeikommst. Da du dich an jeder Kreuzung, also insgesamt zweimal, entscheiden kannst, in welche Richtung du weitergehst, sprechen wir in der Mathematik von einem zweistufigen Zufallsexperiment. Wir können dieses Experiment mathematisch durch ein Urnenexperiment modellieren. Wir sprechen dann von einem zweistufigen Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge.
Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und Reihenfolge – Beispiel
Ein zweistufiges Zufallsexperiment ist beispielsweise, zweimal aus einer Urne zu ziehen, zweimal zu würfeln oder zwei Karten zu ziehen. Wir betrachten im Folgenden als Beispiel den Weg, auf dem wir an zwei Kreuzungen vorbeikommen. Da wir zweimal abbiegen müssen, ist das Experiment zweistufig. Zudem ist hier die Reihenfolge relevant, da wir an unterschiedlichen Orten ankommen, wenn wir an der ersten Kreuzung links und an der zweiten Kreuzung rechts gehen oder wenn wir umgekehrt erst rechts und dann links abbiegen. Wenn wir an beiden Kreuzungen rein zufällig zwischen den Möglichkeiten links und rechts wählen, ist die Wahrscheinlichkeit in beiden Stufen gleich.
Wir können dieses Beispiel mit dem Urnenexperiment vergleichen:
In unserer Urne befinden sich dann zwei verschiedene Kugeln: Eine der Kugeln ist mit $R$ für rechts beschriftet, die andere mit $L$ für links. Wir ziehen nacheinander zweimal aus dieser Urne, wobei wir nach dem ersten Zug die Kugel wieder in die Urne zurücklegen. Da sich bei jeder Ziehung dieselben Kugeln in der Urne befinden, ist die Wahrscheinlichkeit in beiden Stufen gleich.
Wir sprechen von einem zweistufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge.
Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und Reihenfolge –Baumdiagramm
Mehrstufige Zufallsexperimente können wir durch Baumdiagramme veranschaulichen. Dazu zeichnen wir für jedes mögliche Ergebnis eines Zugs einen Ast. An das Ende kommt ein sogenannter Knoten – hier notieren wir das entsprechende Ergebnis. Wir haben im ersten Schritt die Möglichkeit links ($L$) oder rechts ($R$) zu gehen. An die Äste notieren wir die jeweilige Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses.
Da wir rein zufällig entscheiden, ob wir links oder rechts gehen, ist jede dieser Wahrscheinlichkeiten gleich $\frac{1}{2}$. Da es ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen ist, sind die Wahrscheinlichkeiten in der ersten Stufe die gleichen wie in der zweiten.
Wir können in dem Baumdiagramm nun den Pfaden die möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs zuordnen. Der blau markierte Pfad gehört beispielsweise zu dem Ergebnis:
erst links und dann rechts, kurz: ($L, R$).
Wie berechnet man ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen und Reihenfolge?
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eines zweistufigen Zufallsexperiments mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge wenden wir die Pfadregeln an:
Die erste Pfadregel lautet: Das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfads entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit des ganzen Pfads.
Wir wenden die Regel auf unser Beispiel an: Wir wollen die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass wir zuerst links und dann rechts gehen. Dazu multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des blau markierten Pfads und erhalten:
$P(L, R) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
Die zweite Pfadregel lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das mehreren Pfade umfasst, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten all dieser Pfade.
Wenn wir nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen wollen, dass wir einen der Pfade wählen, an deren Ende ein Wasserbecken ist, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade $(L, L)$ und $(R, R)$ addieren. Es handelt sich dabei um den obersten und den untersten Pfad. Da beide Pfadwahrscheinlichkeiten $\frac{1}{4}$ betragen, ergibt sich:
$P(\text{Wasserbecken}) = P(L, L) + P(R, R) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Zusammenfassung: zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und Reihenfolge
In diesem Video zu zweistufigen Zufallsexperimenten mit Zurücklegen untersuchen wir Beispiele zweistufiger Zufallsexperimente. Dabei thematisieren wir die Begrifflichkeiten mit Zurücklegen und mit Reihenfolge und veranschaulichen die Zufallsexperimente durch Baumdiagramme. Anschließend formulieren wir die beiden Pfadregeln und schauen uns damit Rechenwege zu zweistufigen Zufallsexperimenten mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge an. So wird das Vorgehen bei zweistufigen Zufallsexperimenten mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge einfach erklärt.
Wenn du noch weitere Übungen zu zweistufigen Zufallsexperimenten mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge suchst, so wirst du hier bei sofatutor fündig. Hier gibt es außerdem Aufgaben und Lösungen zum zweistufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
Transkript Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge
Kunibert steht vor seiner letzten Ritterprüfung. Nämlich am Anfang des Labyrinths, durch das er seinen Weg finden muss. Hier ist ein Plan des Labyrinths. Die beiden äußersten Pfade enden direkt im Wassergraben. Dieser Pfad hier treibt Kunibert genau dem schwarzen Ritter in die Arme. Nur am Ende dieses Pfades wartet Kuniberts Ritterschlag auf ihn. Leider hat Kunibert keinerlei Ahnung, wo er entlang gehen soll. Also entscheidet er an jeder Abzweigung zufällig, ob er links oder rechts abbiegen soll. Ob er es schafft? Die Wahrscheinlichkeit dafür können wir ausrechnen – es handelt sich nämlich um ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Aber wieso genau so ein Zufallsexperiment? Zweistufig ist es deshalb, weil Kunibert zweimal abbiegen muss. Und weil er jedesmal wieder nur nach links oder nach rechts gehen kann, ist es mit Zurücklegen. Das bedeutet nämlich, dass ihm in jeder Stufe des Experiments die gleichen Optionen zur Verfügung stehen. Die Reihenfolge spielt dabei eine Rolle, weil es einen großen Unterschied macht, ob Kunibert zuerst rechts und dann links abbiegt oder zuerst links und dann rechts. Also: zweistufig – mit Zurücklegen – mit Beachtung der Reihenfolge. Solche mehrstufigen Zufallsversuche stellt man am besten in einem Baumdiagramm dar. Dafür zeichnest du vom Anfang ausgehend Knoten, die für die jeweiligen Ergebnisse stehen, und verbindest sie so mit Ästen. In unserem Fall entsprechen die Knoten jeweils den Entscheidungen, rechts oder links zu gehen – also beschriften wir sie mit "R" oder "L". Sowohl in der ersten als auch in der zweiten Stufe gibt es jeweils diese beiden Möglichkeiten – wir ziehen ja mit Zurücklegen. An die Äste schreiben wir die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Da Kunibert sich immer ganz zufällig für eine Richtung entscheidet, ist die Wahrscheinlichkeit jeweils 50%, also 1/2. Da es ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen ist, sind die Wahrscheinlichkeiten in der ersten Stufe die gleichen wie in der zweiten. Dann berechnen wir doch mal die Wahrscheinlichkeit, dass Kunibert den richtigen Pfad nimmt. Dazu muss er zuerst links abbiegen, dann rechts. Denk dran, dass die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wir bezeichnen diese Wahrscheinlichkeit als 'P von L, R'. Um sie auszurechnen, können wir die erste Pfadregel benutzen: die Wahrscheinlichkeit eines Pfades entspricht dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Die lauten hier jeweils ein Halb, also ist die Pfadwahrscheinlichkeit gleich ein Halb mal ein Halb – das ist ein Viertel. Gar nicht so wahrscheinlich. Wie groß ist denn die Chance, dass Kunibert dem schwarzen Ritter zum Opfer fällt? Dafür muss er zuerst rechts, dann links abbiegen – also entspricht das der Wahrscheinlichkeit 'P von R, L'. Wir benutzen wieder die erste Pfadregel – die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Die lauten wieder jeweils ein Halb, also ist auch hier die Wahrscheinlichkeit gleich ein Viertel. Nun ja, und wie wahrscheinlich ist es, dass Kunibert bei seinem zufälligen Wandern durch das Labyrinth im Wassergraben landet? Zu diesem Ereignis gehören die beiden äußeren Pfade, also "links, links" und "rechts, rechts". Die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen dieser Pfade können wir wieder mit der 1. Pfadregel ausrechnen. Bei beiden Pfaden ist die Wahrscheinlichkeit jeweils wieder gleich ein Halb mal ein Halb, also ein Viertel. Aber wie berechnen wir nun die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass Kunibert in den Wassergraben fällt? Dafür brauchen wir die zweite Pfadregel. Die besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das aus mehreren Pfaden besteht, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade ist. Bei uns sind das die beiden Pfade "links, links" und "rechts, rechts", die jeweils eine Wahrscheinlichkeit von einem Viertel haben. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, in den Wassergraben zu fallen, gleich ein Viertel plus ein Viertel – also ein Halb. Naja, lieber nass werden, als dem schwarzen Ritter zu begegnen! Kunibert macht sich auf, und wir fassen rasch zusammen.Ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen könnte zum Beispiel ein zweimaliges Würfeln sein, oder das zweimalige Ziehen von Kugeln aus einer Urne, die jeweils wieder zurückgelegt werden. Am besten stellt man mehrstufige Zufallsversuche in einem Baumdiagramm dar. Dafür zeichnet man einen Knoten für jedes Ergebnis und schreibt die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an die Äste. Beim Ziehen mit Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten zwischen dem ersten und zweiten Zug nicht. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnest du mit der ersten Pfadregel als das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Führen mehrere Pfade zum gesuchten Ergebnis, addierst du mit der 2. Pfadregel die einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten. Kunibert hatte wohl Glück – er ist weder dem schwarzen Ritter noch dem Wassergraben begegnet und freut sich schon auf seinen Ritterschlag. Doch wer erwartet ihn denn hier? Der Schwertschlucker des Königs? Dann vielleicht doch lieber der Wassergraben!
Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Zufallsexperimenten.
TippsDie Bezeichnung „mit Zurücklegen“ kommt aus dem Urnenmodell, in dem man Kugeln in einer Urne betrachtet: Legt man diese nach dem Ziehen zurück, hat man in jeder Stufe die gleichen Optionen mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten zur Verfügung.
Baumdiagramme sind beim Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten sehr hilfreich: Bevor du bei Zufallsexperimenten mit dem Rechnen beginnst, solltest du dir immer ein Baumdiagramm zeichnen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- „Mit Zurücklegen“ bedeutet, dass in jeder Stufe des Experiments unterschiedliche Optionen zur Verfügung stehen.
- Zweimaliges Würfeln ist ein zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.
Diese Aussagen sind richtig:
- Zweistufig bedeutet, dass im Experiment genau zwei zufällige Entscheidungen getroffen werden.
- Ein Baumdiagramm hilft bei der übersichtlichen Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten.
- Bei Zufallsexperimenten mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in jeder Stufe gleich.
-
Bestimme die Wahrscheinlichkeit.
TippsDie Wahrscheinlichkeiten der Entscheidungen entlang des Pfades kannst du dem Baumdiagramm entnehmen.
Hier handelt es sich um ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Das bedeutet, dass du in jeder Stufe die gleichen Optionen mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten zur Verfügung hast.
LösungDie Gesamtwahrscheinlichkeit, im Wassergraben zu landen, berechnet sich wie folgt:
- Der Pfad $P(\text{L},\text{L})$ führt zum Wassergraben. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Pfad lässt sich mit der ersten Pfadregel berechnen. Diese besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren muss, um die Pfadwahrscheinlichkeit zu bestimmen.
- Da er sich an jeder Kreuzung zufällig für einen der beiden Wege entscheidet, ist die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Kreuzung nach links zu gehen, $\frac{1}{2}$. Bei der zweiten Kreuzung entscheidet er sich ebenfalls zufällig. Die Wahrscheinlichkeit ist also wieder $\frac{1}{2}$.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass Kunibert zweimal nach links geht, kann man also bestimmen durch:
- Biegt er zweimal rechts ab, landet er ebenfalls im Wasser. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades kann man mit $P(\text{R},\text{R})$ bezeichnen und berechnet sich analog:
- Um die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(\text{W})$ zu berechnen, verwendet man die zweite Pfadregel. Diese besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss. Es ergibt sich also:
-
Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
TippsDies ist ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Bei jedem Wurf ist also die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse Kopf oder Zahl gleich.
Da die Wahrscheinlichkeit für beide Alternativen genau gleich ist, ergibt sich für beide Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Das Baumdiagramm für dieses Zufallsexperiment sieht so aus.
LösungDie Wahrscheinlichkeit berechnet sich folgendermaßen:
Es gibt zwei Pfade, in denen je einmal Kopf und einmal Zahl geworfen wird. Es kann zum Beispiel zuerst Kopf und dann Zahl fallen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades beträgt:
$P(\text{K},\text{Z})=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
Da es sich hierbei um ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen handelt, ist bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Kopf oder Zahl gleich. Im anderen Pfad fällt zuerst Zahl und anschließend Kopf. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades berechnet sich zu:
$P(\text{Z},\text{K})=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
Die Gesamtwahrscheinlichkeit erhalten wir, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade addieren:
$P(\text{Gesamt})=\frac{1}{4} +\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
Gesamtwahrscheinlichkeiten berechnest du mit der zweiten Pfadregel. Diese besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren musst, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten.
-
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.
TippsDie Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kannst du mit der ersten Pfadregel bestimmen. Sie besagt, dass du alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren musst.
So sieht das Baumdiagramm für dieses Zufallsexperiment aus.
Nachdem du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet hast, musst du den Bruch, falls möglich, kürzen.
Beispiel:
$\frac{24}{144}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
LösungUm die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zu bestimmen, solltest du zuerst ein Baumdiagramm zeichnen. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeiten der Pfade berechnen. Die erste Wahrscheinlichkeit $P(\text{R},\text{G})$ berechnet sich folgendermaßen:
$P(\text{R},\text{G})=\frac{3}{12} \cdot \frac{4}{12}=\frac{12}{144}=\frac{1}{12}$
$P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})$ berechnet sich aus der Summe von $P(\text{B},\text{R})$ und $P(\text{R},\text{B})$.
$P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{15}{144}+\frac{15}{144}=\frac{30}{144}=\frac{5}{24}$
Die Wahrscheinlichkeiten der anderen Pfade kannst du auch so bestimmen. Damit folgt:
- $P(\text{R},\text{G})=\frac{1}{12}$
- $P(\text{R},\text{R})= \frac{1}{16}$
- $P(\text{B},\text{B})= \frac{25}{144}$
- $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{5}{24}$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Baumdiagrammen.
TippsJeder Pfad hat eine Pfadwahrscheinlichkeit, die man aus allen Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades berechnet.
Die zweite Pfadregel wird zum Bestimmen der Gesamtwahrscheinlichkeit mehrerer Pfade genutzt. Sie besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- Möchte man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entlang des Pfades multiplizieren.
- Die Pfadwahrscheinlichkeit berechnet sich aus den einzelnen Wahrscheinlichkeiten der gewählten Abzweigungen an den Knoten des Pfades.
- Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren.
Diese Aussagen sind falsch:
- Möchte man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entlang des Pfades addieren.
- In einem Baumdiagramm zeichnet man Pfade, die mehrere Pfadwahrscheinlichkeiten besitzen.
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Bestimme eine Wahrscheinlichkeit mit dem Gegenereignis.
TippsDas Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments sieht so aus.
Lösung- Um die Wahrscheinlichkeit $P(\text{A})$ zu bestimmen, muss sie drei Pfade addieren. Auf dem ersten Pfad $P(\text{R},\text{G})$ zieht Sabine zuerst eine rote und dann eine grüne Kugel. Auf dem zweiten Pfad $P(\text{G},\text{R})$ zieht sie zuerst eine grüne und anschließend eine rote Kugel und auf dem dritten Pfad $P(\text{R},\text{R})$ zwei rote.
- Die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade berechnet sie mit der ersten Pfadregel zu:
$P(\text{G},\text{R})=\frac{21}{100}$
$P(\text{R},\text{R})=\frac{9}{100}$
Nach der ersten Pfadregel musst du alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren, um die Pfadwahrscheinlichkeit zu erhalten.
- Mit der zweiten Pfadregel bestimmt sie die Gesamtwahrscheinlichkeit:
- In der Schule hat Sabine gelernt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Pfade eins ergeben muss:
- Oder umgeformt:
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt:
$P(\text{A})=1-P(\bar{\text{A}})$
Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\text{A}$ ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\bar{\text{A}}$. Das Gegenereignis $\bar{\text{A}}$ enthält dabei alle Ereignisse, die nicht in $\text{A}$ enthalten sind.
- Die rechte Seite der Gleichung ergibt:
Man nennt diese Art der Rechnung auch Rechnen mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Sie ist hilfreich, wenn man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen will, zu dem mehr als die Hälfte der Pfade gehören.
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