Zinsrechnung – Grundlagen

Zinsrechnung – Grundlagen Übung

• Gib die Zinsformel sowie ihre Umformungen an.

  Tipps

  Wenn man $1000~€$ zu einem Zinssatz von $10\%$ anlegt, so erhält man $100~€$ Zinsen.

  Es gilt $10\%\hat=\frac{10}{100}$.

  Beachte:

  • $p\%$ ist der Zinssatz.
  • Das Kapital $K$ ist höher als die Zinsen $Z$ für $p<100\%$.

  Lösung

  Die Zinsformel zur Berechnung der Zinsen ($Z$) bei gegebenem Kapital ($K$) und gegebenem Zinssatz ($p\%$), welcher sich meist auf ein Jahr bezieht, lautet wie folgt:

  $Z=K\cdot p\%$

  Diese Formel kann umgeformt werden, je nachdem, welche Größen gegeben sind:

  1. Möglichkeit

  $\begin{array}{lllll} & Z &=& K\cdot p\% &|:p\%\\ \Leftrightarrow & \frac{Z}{p\%} &=& K \end{array}$

  Das heißt, bei gegebenem Zinssatz und Zinsen kann mit der Formel $K=\frac Z{p\%}$ das Kapital berechnet werden.

  2. Möglichkeit

  $\begin{array}{lllll} &Z &=& K\cdot p\% &|:K \\ \Leftrightarrow & \frac{Z}{K} &=& p\% \end{array}$

  Das heißt, bei gegebenem Kapital und Zinsen kann der Zinssatz berechnet werden: $p\%=\frac{Z}{K}$.

• Bestimme die jeweils fehlende Größe.

  Tipps

  Die Zinsformel lautet wie folgt:

  • $Z=K\cdot p\%$

  Es gelten folgende Bezeichnungen für die Formelzeichen:

  • $K$: Kapital
  • $Z$: Zinsen
  • $p\%$: Zinssatz

  Prozent bedeutet „von Hundert“:

  • $1\%~\hat = ~ \dfrac 1{100}$

  Lösung

  Die Zinsformel ist wie folgt definiert:

  • $Z=K\cdot p\%$

  Dabei ist $K$ das Kapital, $Z$ die Zinsen und $p\%$ der Zinssatz. Diese Formel kann man mittels Äquivalenzumformungen nach der jeweils gesuchten Größe umstellen.

  Prozent bedeutet „von Hundert“, sodass das Prozentzeichen wie folgt umgerechnet werden kann:

  • $p\%~\hat = ~ \dfrac p{100}$

  Beispiel 1:

  Ein Kapital von $1500~€$ wird mit $3\%$ verzinst. Wie hoch sind die Zinsen?

  $\begin{array}{lll} Z &=& K\cdot p\% \\ Z &=& 1500~€ \cdot 3\% \\ Z &=& \frac{1500~€ \cdot 3}{100} \\ Z &=& 45~€ \end{array}$

  Damit betragen die Zinsen $45~€$.

  Beispiel 2:

  Bei einem Zinssatz von $0,7\%$ betragen die Zinsen $210~€$. Wie groß ist das Kapital?

  $\begin{array}{lll} K &=& \frac{Z}{p\%} \\ K &=& \frac{210~€}{0,7\%} \\ K &=& \frac{210~€\cdot 100}{0,7} \\ K &=& 30000~€ \end{array}$

  Damit beträgt das Kapital $30000~€$.

  Beispiel 3:

  Die Zinsen auf ein Kapital von $3500~€$ betragen $595~€$. Wie hoch ist der Zinssatz?

  $\begin{array}{lll} p\% &=& \frac{Z}{K} \\ p\% &=& \frac{595~€}{3500~€} \\ p\% &=& 0,17 \\ p\% &=& 17\% \end{array}$

  Damit beträgt der Zinssatz $17\%$.

• Entscheide, ob die fehlende Größe berechnet werden kann.

  Tipps

  Mache dir bei jedem Beispiel klar:

  • Was ist bekannt?
  • Was ist gesucht?

  Wie viele Größen musst du kennen, um mit der Zinsformel $Z=K\cdot p\%$ weitere Größen zu berechnen?

  Da in der Zinsformel drei Größen verwendet werden, müssen zwei bekannt sein, um die fehlende zu berechnen.

  Lösung

  Die Zinsformel $Z=K\cdot p\%$ kann verwendet werden, um

  • das Kapital bei bekanntem Zinssatz und bekannten Zinsen,
  • die Zinsen bei bekanntem Kapital und Zinssatz oder
  • den Zinssatz bei bekanntem Kapital und bekannten Zinsen

  zu berechnen. Jedes Mal müssen zwei der drei Größen bekannt sein. Wenn nur eine bekannt ist, können die beiden anderen nicht eindeutig bestimmt werden.

  Berit, Dorit und Emma können leider nicht weiterrechnen, da jeweils nur eine Größe bekannt ist.

  Anna: Bekannt sind $K=3000~€$ und $p=2,7\%$. Damit können die Zinsen berechnet werden: $Z=3000~€\cdot 2,7\%=81~€$.

  Claudia: Bekannt sind $K=3000~€$ und $Z=120~€$. Damit kann der Zinssatz $p\%=\frac{120~€}{3000~€}=0,04=4\%$ berechnet werden.

• Ordne den gegebenen Größen die fehlende Größe zu.

  Tipps

  Verwende die Formel zur Berechnung der Zinsen: $Z=K\cdot p\%$.

  Wenn nicht das Kapital und der Zinssatz, sondern andere der Größen gegeben sind, kannst du diese Formel äquivalent umformen.

  Es gilt:

  • $K=\frac Z{p\%}$

  • $p\%=\frac{Z}{K}$

  Der Zinssatz wird wie folgt angegeben:

  • $p\% = 4,5\%$
  • $p\% = 0,045$

  Lösung

  Die Zinsformel $Z=K\cdot p\%$ kann je nach gegebenen Größen umgeformt werden:

  • Sind die Zinsen und Zinssatz gegeben, so kann das Kapital mit $K=\frac Z{p\%}$ berechnet werden.
  • Bei gegebenem Kapital und Zinsen kann der Zinssatz mit $p\%=\frac{Z}{K}$ berechnet werden.

  Mit diesen Formeln kann jeweils die fehlende Größe berechnet werden:

  • Bei gegebenem Zinssatz von $p=3\%$ wird man zu einem Kapital $K=1000~€$ $Z=1000~€\cdot 3\%=30~€$ Zinsen erhalten.
  • Bei gegebenem Kapital $K=5000~€$ und Zinsen $Z=75~€$ kann der Zinssatz $p\%=\frac{75~€}{5000~€}=0,015=1,5\%$ berechnet werden.
  • Bei gegebenen Zinsen $Z=24000~€$ und Zinssatz $p=3\%$ kann das Kapital $K=\frac{24000~€}{3\%}=800000~€$ berechnet werden.

  Zu den Aufgabenbeispielen:

  1. Für $K=2300~€$ und $p=4,5\%$ erhalten wir: $Z=2300~€\cdot 4,5\%=103,50~€$
  2. Für $K=12000~€$ und $Z=1800~€$ erhalten wir: $p\%=\frac{1800~€}{12000~€}=0,15=15\%$
  3. Für $Z=1200~€$ und $K=26000~€$ erhalten wir: $p\%\approx 4,6\%$
  4. Für $Z=2340~€$ und $p=3,7\%$ erhalten wir: $K=\frac{2340~€}{3,7\%}\approx 63243,24~€$

• Beschrifte die Größen in der Zinsformel.

  Tipps

  Sowohl $Z$ als auch $K$ haben dieselbe Währungseinheit, zum Beispiel $€$.

  Wenn man $10000~€$ zu einem Zinssatz von $4,5\%$ anlegt, erhält man $450~€$ Zinsen.

  Lösung

  Die Zinsformel $Z=K\cdot p\%$ kann verwendet werden, um

  • bei gegebenem Kapital ($K$) und Zinssatz ($p\%$) die Zinsen ($Z$) zu berechnen.
  • bei gegebenem Kapital ($K$) und Zinsen ($Z$) den Zinssatz ($p\%$) zu berechnen.
  • bei gegebenen Zinsen ($Z$) und Zinssatz ($p\%$) das Kapital ($K$) zu berechnen.

  In dem zweiten und dritten Fall muss die oben angegebene Formel umgestellt werden.

• Berechne das Kapital nach zwei Jahren.

  Tipps

  Wende die Zinsformel auf das Kapital $12000~€$ und den Zinssatz $p\%=4,6\%$ an.

  Damit erhältst du die Zinsen nach einem Jahr.

  Die so erhaltenen Zinsen kannst du zu dem Kapital $12000~€$ addieren.

  Auf die Summe wendest du nochmals die Zinsformel an.

  So erhältst du die Zinsen für die Summe aus dem Ausgangskapital und den Zinsen, also die Zinsen für das zweite Jahr.

  Man nennt dies auch Zinseszins.

  Wenn du die so erhaltenen Zinsen auf das Kapital nach einem Jahr addierst, hast du das gesuchte Kapital nach zwei Jahren.

  Das Kapital nach einem Jahr beträgt $12552~€$.

  Lösung

  Wie kann man das Kapital nach zwei Jahren mit der Zinsformel berechnen?

  • Man berechnet zunächst das Kapital nach einem Jahr. Hierfür muss man die Zinsen mit der Zinsformel berechnen:

  $Z_1=K\cdot p\%=12000~€\cdot 4,6\%=552~€$

  • Diese Zinsen werden zu dem Anfangskapital addiert. So erhält man das Kapital nach einem Jahr:

  $K_1=K+Z_1=12000~€+552~€=12552~€$

  • Zu diesem Kapital werden nochmals mit der Zinsformel die Zinsen berechnet:

  $Z_2=K_1\cdot p\%=12552~€\cdot 4,6\%\approx 577,39~€$

  • Diese Zinsen werden zu dem Kapital nach einem Jahr addiert:

  $K_2=K_1+Z_2=12552~€+577,39~€=13129,39~€$

  Nach zwei Jahren beträgt das Kapital $13129,39~€$.