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Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

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Martin Wabnik
Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

Inhalt

Wie rechnet man mit Zehnerpotenzen?

In der Mathematik hast du bestimmt schon mit Potenzen gerechnet. In diesem Video gehen wir einen Schritt weiter und potenzieren Dezimalzahlen. In Dezimalzahlen sind nämlich immer Zehnerpotenzen versteckt. Um Kommazahlen potenzieren zu können, schreiben wir sie zuerst als Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner. Diese können wir dann multiplizieren. Als Einstieg schauen wir uns Zehnerpotenzen an.

Was sind Zehnerpotenzen?

In der Mathematik verwendet man Zehnerpotenzen zum Beispiel, um Aufgaben zu vereinfachen oder Schreibweisen abzukürzen. Auch unser Zahlsystem beruht auf dem Rechnen mit Zehnerpotenzen. Wir beginnen mit einer kleinen Liste von Zehnerpotenzen:

$ 10^{1} = 10 \newline 10^{2} = 10\cdot 10 = 100 \newline 10^{3} = 10\cdot 10 \cdot 10 = 1.000 \newline 10^{4} = 10\cdot 10 \cdot 10\cdot 10 = 10.000 $

Fällt dir etwas auf? Die Anzahl der Nullen einer Zehnerpotenz ist dasselbe wie der Exponent. Schreibst du die Zehnerpotenz $10^{7}$ als Zahl aus, so erhältst du also eine $1$ mit sieben Nullen – das ist die Zahl $10$ Millionen.

Wir schauen uns auch Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten an. Diese sind die Kehrwerte der Zehnerpotenzen mit positiven Exponenten. Solche Zehnerpotenzen kommen bei den Nachkommastellen von Dezimalzahlen vor.

$ 10^{-1} = \frac{1}{10} \newline 10^{-2} = \frac{1}{100} \newline 10^{-3} = \frac{1}{1.000} \newline 10^{-4} = \frac{1}{10.000} $

Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

Um Dezimalzahlen zu potenzieren, überlegen wir uns, wie eine Dezimalzahl aufgebaut ist. Wir wählen als Beispiel die Zahl $1.234,5678$. Die erste Stelle vor dem Komma ist die Einerstelle, die zweite die Zehnerstelle. Davor kommt die Hunderterstelle, davor die Tausenderstelle und so weiter. Die erste Stelle nach dem Komma zählt die Zehntel, die zweite Stelle nach dem Komma die Hundertstel. Danach kommen die Tausendstel, dann die Zehntausendstel und so weiter.

Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

Nachdem wir uns klar gemacht haben, dass jede Stelle einer Dezimalzahl für eine Zehnerpotenz steht, können wir die Dezimalzahl mit Zehnerpotenzen aufschreiben:

$1.234,5678 \newline = 1\cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0} \newline ~ ~ + 5 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3} + 8 \cdot 10^{-4}$

Um diese Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, orientieren wir uns an der kleinsten Zehnerpotenz, die in der Dezimalzahl vorkommt. Hier ist es die Zehntausendstelstelle. Schreiben wir ein Zehntausendstel als Bruch, so haben wir $\frac{1}{10.000}$. Diesen Nenner $10.000$ wählen wir auch, um die Dezimalzahl als Bruch zu schreiben. Der Zähler des Bruchs ist dann die Dezimalzahl selbst, nur ohne Komma:

$1.234,5678 = \frac{12.345.678}{10.000}$

Dezimalzahlen potenzieren – Beispiele

Um die Zahl $1,2$ zu potenzieren, schreiben wir die Zahl als Bruch: $1,2 = \frac{12}{10}$. Wir berechnen die zweite Potenz der Dezimalzahl, indem wir den Bruch potenzieren. Dazu müssen wir den Bruch mit sich selbst malnehmen, also Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner:

$(1,2)^{2} = \left(\frac{12}{10}\right)^{2} = \frac{12}{10} \cdot \frac{12}{10} = \frac{12^{2}}{10^{2}} = \frac{144}{100}$

Nun wandeln wir den Bruch wieder in eine Dezimalzahl um. Dazu schreiben wir den Zähler in Hundertern, Zehnern und Einern, sodass wir leicht die Stellenwerte der Dezimalzahl ablesen können:

$\frac{144}{100} = \frac{100 + 40+4}{100} = 1,44$

Nach diesem Prinzip kannst du jede Dezimalzahl potenzieren. Wir schauen uns ein weiteres Beispiel an. Um die dritte Potenz von $0,5$ zu berechnen, schreiben wir $0,5$ als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner: $0,5 = \frac{5}{10}$. Nun rechnen wir die dritte Potenz aus und verwandeln zurück in eine Dezimalzahl:

$0,5^{3} = \left(\frac{5}{10}\right)^{3} = \frac{5^{3}}{10^{3}} = \frac{125}{1.000}$

Um diesen Bruch wieder in eine Dezimalzahl umzuwandeln, kannst du den Zähler übernehmen und an der richtigen Stelle das Komma setzen: Für jede $0$ der Zehnerpotenz im Nenner setzt du das Komma um eine Stelle nach links. Da im Nenner $1.000$ steht, hat die Dezimalzahl drei Nachkommastellen:

$\frac{125}{1.000} = 0,125$

Wir schauen uns noch ein drittes Beispiel an und berechnen die zweite Potenz von $-1,01$. Wir schreiben die Dezimalzahl zuerst als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner und berechnen dann die zweite Potenz:

$(-1,01)^{2} = \left(-\frac{101}{100}\right)^{2}$

Nun berechnen wir die Potenzen im Zähler und im Nenner. Das Minuszeichen hebt sich auf, denn minus mal minus ergibt plus. Wir erhalten also:

$ \left(-\frac{101}{100}\right)^{2} = \frac{101^{2}}{100^{2}} = \frac{10.201}{10.000} = 1,0201$

Kurze Zusammenfassung zum Video Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, wie man Dezimalzahlen potenziert. Dies ist eine wichtige Anwendung von Zehnerpotenzen. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen, in denen du dein neues Wissen gleich testen kannst.

Transkript Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

Hallo. Wenn du bereits mit Potenzen gerechnet hast, dann gehen wir jetzt mal auf das nächste mathematische Level und potenzieren Dezimalzahlen. Die Zahlen mit Komma. Wir übersetzen die Dezimalzahlen in Brüche und machen mit denen, was wir bis jetzt immer gemacht haben. Wir multiplizieren. Zunächst schauen wir uns aber Zehnerpotenzen an, weil wir die direkt danach für die Brüche brauchen. Wir haben zehn hoch eins. Das ist zehn. Zehn hoch zwei ist 100. Also zehn mal zehn. Zehn hoch drei ist 1.000. Das ist zehn mal zehn mal zehn. Und zehn hoch vier ist 10.000. Ja, und wir sehen hier, dass die Anzahl der Nullen nach der eins gleich dem Exponenten ist. Hier haben wir vier Nullen, da haben wir drei Nullen, da zwei und da eine Null hinter der eins. Und das ist also eine Regelmäßigkeit, auf die wir uns verlassen können. Wir könnten zum Beispiel schreiben zehn hoch sieben, dann wissen wir gleich, das ist eine eins mit eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben Nullen. Okay. Bisher ist zwar noch nicht so viel passiert, aber jetzt kommen die Dezimalzahlen. Um Dezimalzahlen zu potenzieren können wir uns kurz überlegen, wie Dezimalzahlen aufgebaut sind. Wir haben hier 1.234,5678. Und die erste Stelle vor dem Komma ist die Einer-Stelle. Hier werden die Einer gezählt. Die zweite Stelle vor dem Komma sind die Zehner. Ja, wir haben also drei Zehner, also 30 und vier Einer, also 34. Davor, dritte Stelle vor dem Komma sind die Hunderter. Dann kommen die Tausender, vierte Stelle vor dem Komma. Zehntausender, Hunderttausender und so weiter. Die erste nach dem Komma zählt die Zehntel. Ja. Kleines z für Zehntel. Die zweite Stelle nach dem Komma zählt die Hundertstel. Kleines h für Hundertstel. Dritte Stelle nach dem Komma, das sind die Tausendstel. Vierte Stelle sind die Zehntausendstel und so weiter. Wenn wir zum Beispiel 1,2 mit zwei potenzieren möchten, können wir das machen, indem wir 1,2 als Bruch schreiben und dann potenzieren. Hier stehen zwei Zehntel und ein Einer. Ein Einer besteht aus zehn Zehnteln und deshalb sind hier insgesamt zwölf Zehntel, die wir noch mit zwei potenzieren. Wir wissen, wie wir Brüche multiplizieren, und zwar Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Wir rechnen also im Zähler zwölf mal zwölf. Das ist zwölf zum Quadrat. Und im Nenner rechnen wir zehn mal zehn und das ist zehn zum Quadrat. Wir haben hier eine Zehnerpotenz und das passiert immer, wenn wir Dezimalzahlen in Brüche umwandeln und deshalb haben wir am Anfang auch die Zehnerpotenzen uns kurz angeschaut. Wir können jetzt weiter ausrechnen. Zwölf mal zwölf ist 144. Zehn mal zehn ist 100. Und jetzt können wir diesen Bruch wieder in eine Dezimalzahl umwandeln. Und das können wir uns folgendermaßen vorstellen. 144 besteht ja aus 100 plus 40 plus vier. Geteilt durch 100 in diesem Fall. Das bedeutet wir haben hier schon mal vier Hundertstel. Die können wir auf die zweite Stelle nach dem Komma schreiben. Da ist nämlich die Hundertstelstelle. Also vier Hundertstel. Wir haben 40 Hundertstel. Das sind vier Zehntel. Das heißt wir können eine Vier auf die Zehntelstelle schreiben. Das ist die erste Stelle nach dem Komma. Und wir haben 100 Hundertstel. Das ist insgesamt eins. Und deshalb können wir auf die Einerstelle eine Eins schreiben. Also ist 1,2 zum Quadrat gleich 1,44. Das geht mit anderen Dezimalzahlen ganz genauso. Wir können zum Beispiel 0,5 hoch drei rechnen. Dazu übersetzen wir 0,5 in einen Bruch. Naja, hier ist die Zehntelstelle, also haben wir fünf Zehntel. Mehr nicht, denn auf der Einerstelle steht ja eine Null. Wir müssen jetzt fünf Zehntel mit drei potenzieren. Und wir rechnen wieder Zähler mal Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner mal Nenner, in dem Fall also dreimal. Deshalb haben wir im Zähler fünf hoch drei stehen und im Nenner zehn hoch drei. Das ist wieder eine Zehnerpotenz. Und das ist gleich 125 geteilt durch 1.000. Eine Eins mit drei Nullen. Jetzt wissen wir, dass 125 sich zusammensetzt aus 100 plus 20 plus fünf. Das soll durch 1.000 geteilt werden. Also haben wir hier fünf Tausendstel. Tausendstelstelle ist die dritte Stelle nach dem Komma. Da können wir hier also eine fünf hinschreiben. Zweite, erste nach dem Komma, hier ist dann das Komma. Jetzt haben wir noch 20 Tausendstel. Das sind zwei Hundertstel. Hundertstelstelle ist die zweite nach dem Komma. Also kommt hier auf die zweite Stelle nach dem Komma eine Zwei hin. Wir haben 100 Tausendstel. Das ist also ein Zehntel. Das ist die erste Stelle nach dem Komma. Und vor dem Komma soll auch etwas stehen, auch wenn wir da nichts haben. Dann schreiben wir die Null hin, weil da nichts weiter ist. Also ist das Ergebnis von 0,5 hoch drei gleich 0,125. Wir können uns noch ein letztes Beispiel anschauen. Wir haben minus 1,01 zum Quadrat. Und da können wir zunächst mal 1,01 als Bruch schreiben. Hier ist die zweite Stelle nach dem Komma, das sind hundertstel. Auf der ersten Stelle nach dem Komma haben wir nichts. Aber wir haben einen Einer. Ein Einer besteht aus 100 Hundertsteln. Und deshalb haben wir hier insgesamt 101 Hundertstel mit einem Minuszeichen davor. Und das soll mit zwei potenziert werden und dann ist das hier gleich. Wir können jetzt wie gewohnt multiplizieren. Und zwar rechnen Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Also 101 zum Quadrat und 100 zum Quadrat. Ja. Und dieses Minuszeichen können wir weglassen, weil ja minus mal minus plus ist, und das Pluszeichen brauchen wir nicht hinzuschreiben. 101 zum Quadrat ist gleich 10.201. 100 zum Quadrat ist 10.000. Und das bedeutet jetzt wir haben 10.000 Zehntausendstel plus 200 Zehntausendstel plus ein Zehntausendstel. Und jetzt können wir das hier als Dezimalzahl schreiben. Und da möchte ich jetzt mal vorne anfangen. 10.000 Zehntausendstel ist ein Einer. 200 Zehntausendstel sind zwei Hundertstel. Das heißt wir haben keine Zehntel aber zwei Hundertstel. Ein Zehntausendstel ist ein Zehntausendstel. Heißt hier dann, dass wir keine Tausendstel haben aber ein Zehntausendstel. So. Das bedeutet minus 1,01 zum Quadrat ist gleich 1,0201. So. Dann sind wir fertig. Wir haben gesehen, wie wir Dezimalzahlen potenzieren können und wir haben auch gesehen, dass Dezimalzahlen nichts anderes als Brüche sind. Deshalb heißen Dezimalzahlen auch Dezimalbrüche. Ciao.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Gut

    Von Dominik, vor 7 Monaten
  2. Sehr Hilfreiches Video

    Von Mats, vor 10 Monaten
  3. richtig gut

    Von Fortinite@ila@babaje, vor 12 Monaten
  4. Hallo Martin Wabnik bist du mit ihr immer noch zusammen weil sie in den neuen Videos nicht mehr vorkommt

    Von Master-X-Fire/Rocket League, vor etwa einem Jahr
  5. Ein bisschen unverständlich meiner Meinung nach, aber trotzdem gutes Video!

    Von Noah K., vor etwa 3 Jahren
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