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Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der quadratischen Funktion 04:50 min

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Transkript Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der quadratischen Funktion

Hallo. In diesem Video wird es um die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratischen Funktion gehen.

Was benötigst du als Vorwissen? Du solltest eine Vorstellung von der quadratischen Funktion und von Zuordnungen haben. In diesem Zusammenhang solltest du auch wissen, was es heißt, dass man den Definitionsbereich einer Funktion einschränkt. Von besonderer Wichtigkeit wird natürlich der Begriff der Umkehrfunktion sein, den du zumindest schon einmal gehört haben solltest.

Wir betrachten folgende Ausgangssituation: Bei einem Haus mit quadratischer Grundfläche ändert sich je nach Seitenlänge die Grundfläche. Wir bezeichnen die Seitenlänge daher mit x. Diese ist selbstverständlich stets größer oder gleich Null. Die Grundfläche des Hauses ist nun abhängig von der Seitenlänge, also gilt: A(x)=x2. Da x größer oder gleich Null ist, muss auch x2 größer oder gleich Null sein. In einem Koordinatensystem, in dem der Flächeninhalt A in Quadratmetern in Abhängigkeit von der Seitenlänge x in Metern dargestellt wird, ergibt sich folgender Graph. Dies ist das Schaubild der Normalparabel, eingeschränkt auf die positiven reellen Zahlen. Die Größe der Grundfläche des Hauses wächst quadratisch in Abhängigkeit von der Seitenlänge. Wenn wir aber nun eine bestimmte Grundfläche des Hauses, z.B. 100 Quadratmeter, gegeben haben und ablesen wollen, wie lang dann x sein muss, ist es auch möglich, die Seitenlänge x in Abhängigkeit vom Flächeninhalt A darzustellen, d.h. wir vertauschen die x- und y-Achse. Aus x in Metern wird nun A in Quadratmetern und aus A in Quadratmetern wird x in Metern. Der Graph wird nun an der Ursprungsgeraden t mit t(x)=x gespiegelt. Damit haben wir die Seitenlänge x in Abhängigkeit zu dem Flächeninhalt A dargestellt. Wichtig dabei ist, dass x größer gleich Null ist. Bei dem dargestellten Graphen handelt es sich nicht mehr um eine quadratische Funktion, sondern um eine Wurzelfunktion, die die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion ist.

Wir wollen die graphische Veranschaulichung nun Formalisieren. Für die quadratische Funktion f(x)=x2 sei x eine beliebige reelle Zahl, die größer oder gleich Null ist. Wegen x größer gleich Null, ist auch x2 größer oder gleich Null. Außerdem tritt kein Funktionswert doppelt auf. Daher existiert eine Umkehrfunktion g, sodass g(x2)=x ist. Setzt man nun x2=y, dann ist x=Wurzel aus (y) wegen x≥0 äquivalent dazu. Also ist g(y)=Wurzel aus (y). Bezeichnen wir die unabhängige Größe noch wie üblich mit x, dann ergibt sich g(x)=Wurzel aus (x) als Umkehrfunktion der quadratischen Funktion und diese ist, wie man gut erkennen kann, die Wurzelfunktion.

Schauen wir uns ein paar Eigenschaften der Wurzelfunktion an. Dazu soll uns in Anlehnung an unser Eingangsbeispiel die folgende kleine Skizze mit der Wurzelfunktion f reichen. Der Definitions- und Wertebereich besteht aus allen positiven reellen Zahlen. Es ist weiterhin f(0)=wurzel aus 0=0, womit x=0 eine Nullstelle der Wurzelfunktion. Die Wurzelfunktion ist eine monoton steigende Funktion. Der Grenzwert für x gegen plus unendlich ist damit auch plus unendlich. Fassen wir zusammen. Abhängigkeiten können in einem Koordinatensystem mit Hilfe der Ursprungsgeraden t(x)=x vertauscht werden. Ist die quadratische Funktion f(x)=x2 nur für positive x-Werte definiert, dann besitzt diese eine Umkehrfunktion g. g heißt Wurzelfunktion und besitzt die Funktionsgleichung g(x)=Wurzel aus x.

1 Kommentar
  1. richtig!
    =D

    Von Alfred 4, vor mehr als 3 Jahren

Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der quadratischen Funktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der quadratischen Funktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Wurzelfunktion.

    Tipps

    Du kannst natürlich für jeden gegebenen Flächeninhalt die zugehörige Seitenlänge berechnen.

    Dies siehst du hier.

    Die Einschränkung $x\ge 0$ ist wichtig!

    Hier siehst du eine Normalparabel. Stell dir diese um $90^\circ$ im Uhrzeigersinn gedreht vor.

    Beachte, dass gemäß der Definition einer Funktion zu jedem $x$ höchstens ein Funktionswert existieren darf.

    Lösung

    In diesem Bild ist der Graph der Funktion $A(x)=x^2$ für $x\ge 0$ grün eingezeichnet. Da kein Funktionswert doppelt vorkommt, kann diese Funktion umgekehrt werden.

    Dabei geht man wie folgt vor:

    1. $y=x^2$
    2. Durch Ziehen der Wurzel erhält man $x=\sqrt y$.
    3. $x$ und $y$ werden vertauscht: $y=\sqrt x$
    Wie erhält man den Graphen der Umkehrfunktion anschaulich? Dies gilt übrigens für jede umkehrbare Funktion:

    Man spiegelt den Graphen der Funktion an der Ursprungsgeraden $y=x$. Diese wird auch als 1. Winkelhalbierende bezeichnet.

    Der rote Graph gehört zu der Wurzelfunktion.

    Wenn nun also bekannt ist, dass $A(x)=100$ ist, kann durch Anwenden der Wurzelfunktion

    $x=\sqrt{100}=10$

    die zugehörige Seitenlänge des Quadrates berechnet werden.

  • Bestimme die Seitenlänge des Quadrates bei gegebenem Flächeninhalt.

    Tipps

    Du musst die Gleichung $100=x^2$ lösen.

    Wenn du den gefundenen Wert quadrierst, erhältst du $100$.

    Du kannst $100$ in die Wurzelfunktion $\sqrt x$ einsetzen.

    Lösung

    Die Umkehrfunktion wird benötigt, um Funktionen umzukehren. Was bedeutet dies?

    Wenn man durch die Funktion $A(x)=x^2$ weiß, dass für $x=10$ der Funktionswert $A(10)=10^2=100$ ist, kann man sich umgekehrt fragen, für welches $x$ dieser Funktionswert angenommen wird.

    Sei also $A(x)=100$, dann muss das zugehörige $x$ berechnet werden. Also setzt man dieses $A(x)$ in die Umkehrfunktion ein:

    $x=\sqrt{100}=10$.

    Dies ist die gesuchte Lösung.

  • Benenne die Eigenschaften der Wurzelfunktion.

    Tipps

    Der grüne Graph gehört zu der Funktion $x^2$ mit $x\ge 0$ und der rote zu der Wurzelfunktion.

    Beachte, dass man die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kann.

    Wenn du die Nullstellen einer Funktion $f(x)$ berechnen willst, löst du die Gleichung $f(x)=0$.

    Die Umkehrung von Wurzel-Ziehen ist Quadrieren.

    Lösung

    Der rote Graph gehört zu der Umkehrfunktion von $A(x)=x^2$ mit $x\ge 0$.

    Die Wurzel darf nur aus einer positiven Zahl sowie $0$ gezogen werden und das Ergebnis ist wiederum positiv oder $0$. Das bedeutet:

    $\mathbb{D}=\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$.

    Bei Umkehrfunktionen liegt der Verdacht nahe, dass deren Steigungsverhalten umgekehrt zu dem der Ausgangsfunktion ist. Das stimmt nicht! Das Steigungsverhalten ist immer gleich. Was sich unterscheidet, ist das Ausmaß, wie stark die Funktion steigt oder fällt.

    Dies kann man in dieser Skizze sehen. Die quadratische Funktion (grün) steigt recht schnell. Die Wurzelfunktion (rot) steigt auch, nur langsamer.

    Die beiden Funktionen haben zwei Funktionswerte gemeinsam:

    • $0^2=0$ sowie $\sqrt 0=0$. Das bedeutet, dass die Wurzelfunktion hier eine Nullstelle bei $x=0$ besitzt.
    • $1^2=1$ und $\sqrt 1=1$
    Die beiden Schnittpunkte $(0|0)$ sowie $(1|1)$ sind auch in dem Bild zu sehen.

  • Stelle die Gleichung der Umkehrfunktion auf und gib deren Definitions- sowie Wertebereich an.

    Tipps

    Forme die Gleichung $y=f(x)$ nach $x$ um.

    Beachte, dass die Wurzel nur für positive Argumente definiert ist.

    Die Umkehrfunktion ist eine verschobene Wurzelfunktion $\sqrt x$.

    Sie ist sowohl entlang der x- als auch entlang der y-Achse verschoben.

    Lösung

    Zunächst wird die Umkehrfunktion zu dieser Funktion bestimmt:

    Die Gleichung $y=(x-1)^2-2$ wird nach $x$ umgeformt:

    $\begin{array}{rclll} y&=&(x-1)^2-2&|&+2\\ y+2&=&(x-1)^2&|&\sqrt{~~~}\\ \sqrt{y+2}&=&x-1&|&+1\\ \sqrt{y+2}+1&=&x \end{array}$

    Nun werden $y$ und $x$ vertauscht und man erhält die Umkehrfunktion

    $f^{-1}(x)=\sqrt{x+2}+1$.

    Da eine Wurzel nur für positive Argumente definiert ist, muss $x+2\ge 0$ oder äquivalent $x\ge -2$ gelten. Somit ist

    $\mathbb{D}=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ge -2\}$.

    Der Wertebereich ist die Menge aller Zahlen größer oder gleich $1$:

    $\mathbb{W}=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge 1\}$.

  • Bestimme die Umkehrfunktion zu $f(x)=x^2+2$.

    Tipps

    Beachte, dass $x$ und $y$ bei der Umkehrfunktion vertauscht werden.

    Ebenso werden der Definitionsbereich und der Wertebereich vertauscht.

    Hier siehst du den Graphen der Umkehrfunktion.

    Lösung

    Wie kann man sich die Herleitung der Umkehrfunktion anschaulich vorstellen? Wir erhalten den Graphen der Umkehrfunktion zu $f(x)$ durch Spiegelung an der Ursprungsgeraden $y=x$. Dies können wir in der Abbildung erkennen.

    Wie kann man die entsprechende Funktionsgleichung herleiten?

    1. Man beginnt mit $y=f(x)$, also $y=x^2+2$.
    2. Nun formt man diese Gleichung nach $x$ um. Zunächst subtrahiert man $2$ und erhält $y-2=x^2$. Nun zieht man die Wurzel: $\sqrt{y-2}=x$.
    3. Zuletzt vertauscht man noch $y$ und $x$, um die gewohnte Benennung von x-Werten aus dem Definitionsbereich und y-Werten aus dem Wertebereich beizubehalten. So erhalten wir die Umkehrfunktion, welche auch oft mit „hoch $-1$“ gekennzeichnet wird: $f^{-1}(x)=\sqrt{x-2}$.
    Für die Funktion $y=x^2+2$ muss $y\ge 2$ gelten. Entsprechend muss bei der Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ gelten, dass $x\ge 2$ ist, da die Wurzel für negative Werte nicht definiert ist.

  • Gib den Definitionsbereich sowie Wertebereich der Umkehrfunktion an und berechne einige Werte.

    Tipps

    Beachte, dass eine Wurzel $\sqrt x$ nur für $x\ge 0$ definiert ist.

    Du musst die Ungleichung $x-2\ge 0$ lösen.

    Die Nullstelle von $\sqrt x$ ist gegeben durch $x=0$.

    Der rote Graph gehört zu $f^{-1}(x)=\sqrt{x-2}$.

    Lösung

    Die Umkehrfunktion zu

    $f(x)=x^2+2$

    ist gegeben durch

    $f^{-1}(x)=\sqrt{x-2}$.

    Die jeweiligen Graphen sind hier zu sehen: Der grüne Graph gehört zu $f(x)$ und der rote zu der Umkehrfunktion.

    Es muss $x-2\ge0$ gelten, da die Wurzel sonst nicht definiert ist. Das bedeutet für den Definitionsbereich der Umkehrfunktion

    $\mathbb{D}=\{x\in \mathbb{R}|x\ge 2\}$.

    Der Wertebereich ist die Menge der positiven reellen Zahlen inklusive der $0$: $\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$.

    Die Nullstelle der Umkehrfunktion ist gegeben durch $x=2$, denn $\sqrt{2-2}=\sqrt 0=0$.

    Wenn Funktionswerte der Funktion $f(x)$ bekannt sind, erhält man das zugehörige $x$ durch die Umkehrfunktion:

    • $f(x)=6$, dann ist $x=\sqrt{6-2}=\sqrt 4=2$ sowie
    • $f(x)=11$, dann ist $x=\sqrt{11-2}=\sqrt 9=3$.