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Umkehrfunktion von linearen Funktionen 06:03 min

Textversion des Videos

Transkript Umkehrfunktion von linearen Funktionen

Hallo. In diesem Video lernst du von einer linearen Funktion sowohl graphisch als auch algebraisch die Umkehrfunktion zu bilden. Fangen wir mit der graphischen Bestimmung an. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Wenn wir nun den Graphen der Umkehrfunktion einer solchen Geraden bestimmen wollen, müssen wir zuerst den Graphen der identischen Funktion mit der Gleichung y=x einzeichnen. Um nun den Graphen der Umkehrfunktion der Funktion f zu ermitteln, müssen wir den Graph der Funktion an dem Graphen der identischen Funktion spiegeln. Das machen wir, indem wir zwei unterschiedliche Urbildpunkte auf der Geraden auswählen. Diese spiegeln wir dann an dem Graphen der identischen Funktion und verbinden die beiden Bildpunkte. Zum Beispiel wählen wir diese beiden Urbildpunkte F1 und F2. Jetzt spiegeln wir die Urbildpunkte am Graphen der identischen Funktion und erhalten zwei Bildpunkte G1 und G2. Wenn wir diese Bildpunkte verbinden, haben wir den Graphen unserer gesuchten Umkehrfunktion f-1. Beim Spiegeln einer Geraden reicht es, nur zwei Punkte einer Geraden zu spiegeln, da jede Gerade durch zwei Punkte eindeutig festgelegt wird. Wenn du die Umkehrfunktion einer anderen Funktion bestimmen möchtest, musst du die Spiegelung für mehrere Punkte durchführen. Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion kannst du bei Geraden direkt aus dem Koordinatensystem ablesen. Nun zur algebraischen Bestimmung. Allgemein lautet die Funktionsgleichung einer linearen Funktion y = mx+c , wobei m und c reelle Zahlen sind. Wenn man nun von dieser Funktion die Umkehrfunktion bestimmen möchte, muss man die Gleichung zuerst nach x umstellen und dann die Variablen x und y vertauschen. Dafür ziehen wir auf beiden Seiten c ab. Wir erhalten y-c = mx. Nun teilen wir beide Seiten durch m und schon steht das x alleine. Wir erhalten x = (y-c)/m. Durch Vertauschen der Variablen erhalten wir die Vorschrift der gesuchten Umkehrfunktion f-1 mit der Gleichung f-1(x) = y = x/m-c/m. Nun wollen wir dies an einem konkreten Beispiel zeigen. Bestimmen wir von der Funktion f mit der Gleichung f(x) = -1/4x+2 graphisch und algebraisch die Umkehrfunktion. Zuerst zeichnen wir den Graphen der Funktion f ein. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist (0/2). Der Anstieg m ist -1/4 Also gehen wir von (0/2) aus vier Einheiten nach rechts und eine nach unten, verbinden die Punkte und erhalten den Graphen der Funktion f. Nun noch den Graphen der identischen Funktion y = x einzeichnen. Dann wählen wir zwei beliebige Urbildpunkte F1 und F2, spiegeln diese am Graphen der identischen Funktion und erhalten die Bildpunkte G1 und G2. Wir zeichnen die Gerade durch die Punkte G1 und G2 und haben damit den Graphen der Umkehrfunktion ermittelt. Da auch der Graph der Umkehrfunktion wieder eine Gerade ist, können wir die Funktionsvorschrift auch direkt aus der Zeichnung ablesen: f-1(x) = y = -4x+8. Bestimmen wir die Funktionsgleichung nun auch algebraisch. Wir müssen die Funktionsgleichung y = -1/4x+2 nach x umstellen. Dafür rechnen wir zuerst minus zwei auf beiden Seiten, und erhalten y-2 = -1/4x. Nun teilen wir die beiden Seiten der Gleichung durch -1/4 und erhalten -4y+8 = x. Durch Vertauschen der Variablen bekommen wir die Gleichung der Umkehrfunktion f-1. Wir erhalten y = -4x+8, also das gleiche Ergebnis wie bei der graphischen Bestimmung. Fassen wir noch einmal zusammen: Bei der graphischen Bestimmung der Umkehrfunktion musst du zuerst zwei Punkte der Urbildgeraden am Graphen der identischen Funktion spiegeln. Dann zeichnest du die Gerade durch die beiden Bildpunkte und erhältst damit den Graphen der gesuchten Umkehrfunktion. Da dieser auch eine Gerade ist, kannst du dann die Funktionsgleichung direkt ablesen. Bei der algebraischen Bestimmung stellst du die Funktionsgleichung nach x um und vertauschst danach die Variablen x und y. Egal ob du die Umkehrfunktion algebraisch oder graphisch bestimmst, das Ergebnis ist dasselbe. Auf Wiedersehen und bis zum nächsten Mal.

1 Kommentar
  1. Wieder einmal allererste Sahne! Übrigens wird die Umkehrfunktion beim Thema "Lineare Funktionen" oftmals ausgelassen. Für Schüler, die meinen Kommentar lesen und ihre mündliche Note verbessern wollen: dieses tolle Video ist deine Chance, um ein Referat über die Umkehrfunktion zu halten. Ein freiwilliges Referat ist auch DIE Chance, um einen Lehrer wohlwollend zu stimmen, wenn die Note auf der Kippe steht :-).

    Von Green Spirit, vor etwa 6 Jahren

Umkehrfunktion von linearen Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Umkehrfunktion von linearen Funktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die graphische Bestimmung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion.

    Tipps

    Schau dir das Bild oben einmal an. Hier sind alle gemeinsamen Schritte schon eingezeichnet. Womit beginnst du?

    Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert. Es genügt also, wenn du zwei Punkte der Funktion spiegelst und die Bildpunkte dann miteinander verbindest. So erhältst du die Umkehrfunktion.

    Lösung

    Bei der graphischen Bestimmung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion hilft uns die Identitätsfunktion.

    Sie lautet $y=x$. $x$- und $y$-Wert sind stets identisch.

    1. Wir zeichnen zuerst ein geeignetes Koordinatensystem und zeichnen die Ursprungsfunktion ein.
    2. Dann zeichnen wir den Funktionsgraphen der Identitätsfunktion, um
    3. anschließend die Ursprungsfunktion, deren Umkehrfunktion wir bestimmen möchten, an ihr zu spiegeln.
    4. Wenn wir die Funktion an der identischen Funktion spiegeln wollen, genügen uns zwei Punkte mit ihren jeweiligen gesiegelten Bildpunkten, denn die Funktion ist eine Gerade und eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert. Um die Funktion zu spiegeln, müssen wir eine senkrechte Linie zur Identitätsfunktion ziehen, um dadurch die Punkte zu spiegeln.
    5. Dann müssen wir die Bildpunkte miteinander verbinden und wir erhalten die Umkehrfunktion.
    6. Schließlich können wir die Funktionsgleichung aus dem Koordinatensystem und dem Graphen ablesen.
  • Gib die Funktionsgleichung der Funktion sowie deren Umkehrfunktion an.

    Tipps

    Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus ihrem Graphen abzulesen, müssen wir den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$ oder $b$ oder $n$) und die Steigung ($m$) bestimmen.

    Es gibt zwei Möglichkeiten, die Umkehrfunktion der Funktion anzugeben. Entweder liest du die Funktionsgleichung aus dem Graphen ab oder du bestimmst sie algebraisch.

    Lösung

    Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus ihrem Graphen abzulesen, müssen wir den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$) und die Steigung ($m$) bestimmen.

    Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse von $f$ ist $c=2$. Wir können vom Schnittpunkt mit der $y$-Achse vier Schritte nach rechts und einen Schritt nach unten gehen, um wieder auf den Graphen der Funktion zu gelangen. Die Steigung ist also $m=-\frac{1}{4}$.

    Folglich lautet die Funktionsgleichung $f(x)=-\frac{1}{4}x+2$.

    Die Umkehrfunktion wurde durch die Spiegelung des Funktionsgraphen an der Identitätsfunktion $y=x$ graphisch bestimmt.

    Nun gibt es zwei Möglichkeiten die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion anzugeben. Entweder liest du die Funktionsgleichung genau so wie bei der Funktion aus dem Graphen ab, oder du bestimmst die algebraisch.

    Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet: $f^{-1}(x)=-4x+8$

  • Gib die algebraische Bestimmung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion an.

    Tipps

    Eine lineare Funktion ist durch eine Steigung ($m$) und dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$) angegeben.

    Um die Umkehrfunktion der linearen Funktion zu bilden, müssen wir zunächst die Funktionsgleichung nach $x$ auflösen und anschließend die Variablen $x$ und $y$ vertauschen.

    Lösung

    Allgemein lautet die Funktionsgleichung einer linearen Funktion:

    $f(x):y=mx+c$ mit $m,c \in \mathbb{R}$

    Um die Umkehrfunktion der linearen Funktion zu bilden, müssen wir zunächst die Funktionsgleichung nach $x$ auflösen und anschließend die Variablen $x$ und $y$ tauschen:

    \begin{align} y&=m\cdot x+c&&|-c \\ y-c&=m\cdot x&&|:x \\ x&=\frac{y-c}{m} \\ \\ y&=\frac{x-c}{m} \\ \end{align}

    Wir erhalten als Umkehrfunktion:

    $f^{-1}(x)=y=\frac{x}{m}-\frac{c}{m}$

  • Gib die Funktionsgleichungen von Funktion und Umkehrfunktion an.

    Tipps

    Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus ihrem Graphen abzulesen, müssen wir den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$ oder $b$ oder $n$) und die Steigung ($m$ oder $a$) bestimmen.

    Erinnere dich an das Steigungsdreieck. Suche dir zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen. Zähle die Kästchen von Punkt zu Punkt. Wenn du erst rechts und dann hoch gehst, ist die Steigung positiv. Wenn du erst rechts und dann nach unten gehst, ist die Steigung negativ.

    Lösung

    Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus ihrem Graphen abzulesen, müssen wir den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$) und die Steigung ($m$) bestimmen. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $f(x)=m\cdot x + c$ mit $m,~c~ \in \mathbb{R}$.

    Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse von $f$ ist $c=1$.

    Wir können vom Schnittpunkt mit der $y$-Achse zwei Schritte nach rechts und drei Schritte nach oben gehen, um wieder auf dem Graphen der Funktion zu landen. Die Steigung ist also $m=\frac{3}{2}$.

    Demnach lautet die Funktion $f(x)=\frac{3}{2}x+1$.

    Die Umkehrfunktion wurde durch die Spiegelung der Funktion an der Identitätsfunktion $y=x$ graphisch bestimmt.

    Nun gibt es zwei Möglichkeiten die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion anzugeben. Entweder liest du die Funktionsgleichung genau so wie bei der Funktion aus dem Graphen ab, oder du bestimmst die algebraisch.

    Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet:

    $f^{-1}(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$

  • Bestimme algebraisch die Umkehrfunktion von $f(x)=-\frac{1}{3}x+4$.

    Tipps

    Wir können die Umkehrfunktion einer Funktion entweder graphisch oder algebraisch bestimmen.

    Algebraisch können wir die Umkehrfunktion einer Funktion bestimmen, indem wir die Funktionsgleichung der Funktion nach $x$ umstellen und dann die beiden Variablen $x$ und $y$ vertauschen.

    Lösung

    Wir können die Umkehrfunktion einer Funktion entweder graphisch oder algebraisch bestimmen.

    Wenn wir die Umkehrfunktion graphisch bestimmen wollen, müssen wir die Funktion an der identischen Funktion $y=x$ spiegeln.

    Algebraisch können wir die Umkehrfunktion einer Funktion bestimmen, indem wir die Funktionsgleichung der Funktion nach $x$ umstellen und dann die beiden Variablen $x$ und $y$ vertauschen:

    \begin{align} f(x)&=y=-\frac{1}{3}x+4 \\ y&=-\frac{1}{3}x+4 &&|-4\\ y-4&=-\frac{1}{3}x &&|\cdot (-3)\\ -3 \cdot (y-4)&=x \\ -3y+12&=x \\ \end{align}

    Nun ist die Gleichung nach $x$ umgeformt. Als nächstes vertauschen wir die Variablen $x$ und $y$:

    $y=-3x+12$

    Unsere Umkehrfunktion lautet:

    $f^{-1}(x)=-3x+12$

  • Bestimme die Umkehrfunktionen der linearen Funktionen mithilfe der allgemeinen Formel.

    Tipps

    Eine lineare Funktion ist immer durch $y=mx+c$ gegeben.

    Hier ein Beispiel. Die Umkehrfunktion von $f(x)=5x+2$ lautet $f^{-1}(x)=\frac{x}{5}-\frac{2}{5}$.

    Lösung

    Eine lineare Funktion ist immer durch $y=mx+c$ gegeben.

    Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, können wir die Werte einfach in die allgemeine Form der Umkehrfunktion bei linearen Funktionen einsetzen.

    $f^{-1}(x)=\frac{x}{m}-\frac{c}{m}$

    Wichtig hierbei ist, dass wir auf die Vorzeichen und das richtige Rechnen mit Brüchen achten.

    Wenn wir durch einen Bruch teilen, so können wir auch mit dem Kehrwert multiplizieren.

    Hierzu ein Beispiel:

    \begin{align} f(x)&=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} \\ f^{-1}(x)&=\frac{x}{(-\frac{3}{4})}-\frac{\frac{1}{2}}{(-\frac{3}{4})} \\ f^{-1}(x)&=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3} \\ \end{align}