Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen?

Was sind Lösungen quadratischer Gleichungen? Übung

• Ergänze die Erklärung zu Gleichungen.

  Tipps

  Bei einer Gleichung steht links und rechts des Gleichheitszeichens ein Term.

  Ein Term ist eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen und Operationszeichen.

  • Man kann den Wert eines Terms bestimmen, zum Beispiel $2+4$, dieser ist $6$, oder
  • bei Termen mit Variablen durch Einsetzen von Zahlen für die Variablen den Wert bestimmen, zum Beispiel $2\cdot x$ ist für $x=4$ gerade $2\cdot4=8$.

  Lösung

  Eine Gleichung, in welcher sich nur Zahlen befinden, ist eine Aussage, bei welcher man entscheiden kann, ob sie richtig oder falsch ist.

  $5-3=2$ ist eine richtige Aussage.

  $5-3=4$ ist eine falsche Aussage.

  Befindet sich eine unbekannte Größe in einer Gleichung, so kann man für diese Größe Werte einsetzen und prüfen, ob die Aussage richtig ist.

  Am Beispiel der quadratischen Gleichung $x^2-3x+2=0$ bedeutet dies für $x=1$

  $1^2-3\cdot 1+2=0$.

  Dies ist eine wahre Aussage.

  Man kann also sagen, dass die Lösung einer Gleichung eine Zahl ist, welche, in die Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

• Bestimme, für welches $x$ die Gleichung wahr ist.

  Tipps

  Setze verschiedene Werte für $x$ in der Gleichung ein.

  Die Lösung einer Gleichung ist eine Zahl, welche, für die Variable in die Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

  Die Gleichung besitzt zwei Lösungen.

  Lösung

  $x^2-3x+2=0$ ist eine quadratische Gleichung.

  Für welche $x$ erhält man eine wahre Aussage?

  Wie wäre es mit $1$? $1^2-3\cdot 1+2=0$ $\surd$. $1$ ist also eine Lösung.

  Man könnte noch weitere $x$ probieren:

  $x=2$ würde dies ergeben: $2^2-3\cdot 2+2=0$ $\surd$.

  $x=3$ ergäbe keine richtige Gleichung: $3^2-3\cdot 3+2=2\neq 0$ Dies ist eine falsche Aussage.

  Quadratische Gleichungen haben in aller Regel zwei Lösungen. Es ist aber auch möglich, dass sie manchmal nur eine oder keine Lösung haben.

• Entscheide, ob eine Gleichung vorliegt.

  Tipps

  In einer Gleichung findest du ein Gleichheitszeichen.

  Links und rechts des Gleichheitszeichens befinden sich Terme.

  Es gibt Gleichungen,

  • welche eine wahre oder
  • falsche Aussage beinhalten.

  Lösung

  In einer Gleichung kommt ein Gleichheitszeichen vor:

  $=$.

  Links und rechts von dem Gleichheitszeichen stehen Terme:

  Term$_1=$Term$_2$.

  Ein Term ist eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variabeln und Rechenzeichen.

  Also ist

  • $x+2=34$ eine Gleichung,
  • $x+2\le34$ keine Gleichung. Hier liegt eine Ungleichung vor.
  • $x+2$ keine Gleichung,
  • $1+2=3$ eine Gleichung,
  • $2+2=3$ eine Gleichung, allerdings eine falsche Aussage.

• Ordne der jeweiligen Gleichung eine Lösung zu.

  Tipps

  Setze das jeweilige $x$ in die Gleichungen ein.

  Eine Zahl ist Lösung einer Gleichung, wenn sie, für die Variable eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

  Du kannst auch die jeweilige Gleichung durch Äquivalenzumformungen lösen.

  Lösung

  Um zu prüfen, ob ein vorgegebener Wert für eine Variable eine Gleichung erfüllt, kann man diesen Wert für die Variable in der Gleichung einsetzen: Wenn dies zu einer wahren Aussage führt, so ist durch diesen Wert eine Lösung der Gleichung gegeben.

  • $x=3$ löst die Gleichung $x^2-3x=0$, denn $3^2-3\cdot 3=0$ $\surd$
  • $x=4$ löst die Gleichung $2x-2=6$, denn $2\cdot 4-2=6$ $\surd$
  • $x=5$ löst die Gleichung $0,2x^2-2x+5=0$, denn $0,2\cdot 5^2-2\cdot5+5=0$ $\surd$
  • $x=6$ löst die Gleichung $2(x-4)+2=x$, denn $2(6-4)+2=6$ $\surd$.

• Beschreibe, was man unter einer Lösung einer Gleichung versteht.

  Tipps

  $5-3=2$ ist eine Gleichung.

  Eine Gleichung ist eine Aussage. Bei dieser Gleichung kann man entscheiden, ob die Aussage wahr ist.

  $5-x=2$ ist eine Gleichung mit einer Variablen.

  Für welches $x$ ist diese Gleichung erfüllt?

  Setze für $x=4$ in der Gleichung $5-x=2$ ein. Führt dies zu einer wahren Aussage?

  Lösung

  Befindet sich eine Variable in einer Gleichung, so kann man für diese Zahlen einsetzen und prüfen, ob die Aussage richtig ist.

  Am Beispiel der quadratischen Gleichung $x^2-3x+2=0$ bedeutet dies für $x=1$:

  $1^2-3\cdot 1+2=1-3+2=0$. Dies ist eine wahre Aussage.

  Man kann also sagen, dass die Lösung einer Gleichung eine Zahl ist, welche, in die Gleichung eingesetzt, zu einer wahren Aussage führt.

• Bestimme die beiden Lösungen der Gleichung.

  Tipps

  Diese quadratische Gleichung besitzt $2$ verschiedene Lösungen.

  Allgemein kann eine quadratische Gleichung

  • keine,
  • eine oder
  • zwei Lösungen besitzen.

  Beide Lösungen sind ganzzahlig und in der Nähe von $0$ zu finden.

  Gib dir Werte für $x$ vor und setze diese für die Variable in die Gleichung ein. Ist diese erfüllt, so ist dieses $x$ eine Lösung.

  Lösung

  Es sind die beiden Lösungen der Gleichung $2x^2-2x-4=0$ gesucht.

  Man kann

  • $x=1$ in die Gleichung einsetzen: $2\cdot1^2-2\cdot1-4=-4\neq0$ oder
  • $x=-1$: $2\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)-4=0$ $\surd$. Das bedeutet, dass durch $x=-1$ eine Lösung der quadratischen Gleichung gegeben ist.
  • $x=2$: $2\cdot2^2-2\cdot2-4=0$ $\surd$. Also ist auch durch $x=2$ eine Lösung der Gleichung gegeben.

  Mehr als diese beiden Lösungen gibt es nicht.

  Es gibt auch quadratische Gleichungen

  • mit keiner Lösung: $x^2=-1$ oder
  • mit einer Lösung: $x^2=0$, mit $x=0$.