Volumen von Kugeln mit unterschiedlichen Radien

Volumen von Kugeln mit unterschiedlichen Radien Übung

• Bestimme jeweils die Relation der Radien zueinander.

  Tipps

  Wenn Paul $3$ Schokokäfer besitzt und Paula dreimal so viele, dann besitzt Paula $9$ Schokokäfer.

  Ein Drittel von $15$ ist $5$.

  Beachte jeweils die Reihenfolge der Relation.

  Lösung

  Wenn bekannt ist, dass bei zwei Kugeln der Radius der einen Kugel ein Vielfaches oder ein Teil des Radius' der anderen Kugel ist, kann man mit dieser Relation auch berechnen, wie sich die resultierenden Volumina zueinander verhalten.

  Sei $r_1$ der Radius der einen und $r_2$ der der anderen Kugel.

  • Wenn $r_1$ doppelt so groß ist wie $r_2$, erhält man $k=2$, also $r_1=2\cdot r_2$.
  • Ist umgekehrt $r_2$ dreimal so groß wie $r_1$, dann ist $r_1$ ein Drittel des Radius' $r_2$. Es ist somit $k=\frac13$ und damit $r_1=\frac13\cdot r_2$.

• Berechne, um welchen Faktor das Volumen der Kugel sich ändert, wenn der Radius geändert wird.

  Tipps

  Beachte die Klammern beim Potenzieren eines Produktes.

  Es gilt $(a\cdot b)^b=a^n\cdot b^n$.

  Du kannst beim Multiplizieren die Reihenfolge vertauschen (Kommutativgesetz der Multiplikation).

  Beachte, dass das neue Volumen $V_1$ in Relation zu dem alten $V_2$ angegeben werden soll.

  Schaue dir oben noch einmal die Formel für $V_2$ an.

  Lösung

  Wenn eine Kugel den Radius $r_2$ hat, ist durch die hier zu sehende Formel das Volumen dieser Kugel gegeben. Verändert man nun den Radius zu $r_1=k\cdot r_2$, also um den Faktor $k$, so ändert sich das Volumen wie folgt.

  $V_1=\frac43\cdot \pi\cdot r_1^3=\frac43\cdot \pi\cdot (k\cdot r_2)^3$.

  Ein Produkt wird potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird.

  $V_1=\frac43\cdot \pi\cdot k^3\cdot r_2^3$.

  Durch Vertauschen der Faktoren gelangt man zu

  $V_1=k^3\cdot \left(\frac43\cdot \pi\cdot r_2^3\right)$.

  Der Term in der Klammer ist das Volumen $V_2$. Somit ist

  $V_1=k^3\cdot V_2$.

  Die Veränderung des Radius' um den Faktor $k$ wirkt sich bei dem Volumen um den Faktor $k^3$ aus.

• Berechne das jeweilige Volumen.

  Tipps

  Hier ist die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel mit dem Radius $r$ abgebildet.

  Du kannst mit dem veränderten Radius das Volumen berechnen.

  Du kannst auch den Umstand ausnutzen, dass eine Änderung des Radius' um den Faktor $k$ das Volumen um den Faktor $k^3$ verändert.

  Beachte, dass du je nach Rundung und Art der Rechnung abweichende Ergebnisse erhältst.

  Lösung

  Zunächst kann das Volumen von der Kugel mit dem Radius $3~m$ berechnet werden:

  $V_1=\frac43\cdot \pi\cdot (3~m)^3\approx 113,1~m^3$.

  Wird der Radius verändert, ändert sich auch das Volumen.

  • $r_2=3\cdot 3~m=9~m$ führt zu $V_2=\frac43\cdot \pi\cdot (9~m)^3\approx 3053,6~m^3$. Man hätte auch ebenso gut das Volumen $V_1$ mit $3^3=27$ multiplizieren können. Das Ergebnis ist das Gleiche (bis auf eine Kommastelle durch das runden).
  • $r_3=\frac12\cdot 3~m$. Das Halbieren des Radius' resultiert in einem Achtel des Volumens $V_1$, also $V_3\approx 14,1~cm^3$.
  • Wird der Radius verzehnfacht, $r_4=10\cdot 3~m=30~m$, so erhält man das $1000$-fache Volumen $V_4\approx113100~m^3$.

• Arbeite heraus, wie sich der Radius verändert, wenn das Volumen verändert wird.

  Tipps

  Beachte, dass eine Veränderung des Radius' um den Faktor $k$ zu einer Veränderung des Volumens um den Faktor $k^3$ führt.

  Du kannst auch zunächst das Volumen der Eiskugel ausrechnen, dieses mit dem Faktor $1,5$ multiplizieren und dann die Gleichung

  $V=\frac43\cdot \pi\cdot r_2^3$

  nach $r_2$ auflösen.

  Lösung

  In diesem Video und auch in den Übungen dazu wurde schon herausgearbeitet, wie sich das Volumen einer Kugel verändert, wenn der Radius geändert wird.

  Wie jedoch verhält sich der Radius, wenn das Volumen geändert wird?

  Zum Beispiel behauptet ein Eisdielenbesitzer, dass das Volumen seiner Kugeln jetzt $1,5$-mal so groß wie vorher. Natürlich könnte man dies überprüfen. Man kann dies auch mit Hilfe des Radius' nachweisen.

  Wenn die Eiskugel anfangs einen Radius von $2~cm$ hatte, erhält man das Volumen

  $V_1=\frac43\cdot \pi\cdot (2~cm)^3\approx 33,5~cm^3$.

  Das $1,5$-fache Volumen beträgt dann $50,25~cm^3$.

  Um den Radius dieser Kugel auszurechnen, muss eine Gleichung gelöst werden.

  $\begin{array}{rclll} 50,25&=&\frac43\cdot \pi\cdot r_2^3&|&\cdot \frac34~|~:\pi\\ 12&\approx&r_2^3&|&\sqrt[3]{~~}\\ 2,3&\approx&r_2 \end{array}$

  Wenn man sich nochmals klarmacht, dass eine Veränderung des Radius' um den Faktor $k$ zu einer Veränderung des Volumens um den Faktor $k^3$ führt, kann man feststellen, dass eine Veränderung des Volumens um den Faktor $s$ zu einer Veränderung des Radius' um den Faktor $\sqrt[3]{s}$ führt.

  In diesem Beispiel bedeutet dies, dass der neue Radius gerade

  $r_2=\sqrt[3]{1,5}\cdot 2~cm\approx 2,3~cm$

  ist. $~~~~~$✓

• Gib die Volumenformel für eine Kugel an.

  Tipps

  Beachte, dass das Volumen als Einheit häufig $cm^3$, $m^3$ oder Liter hat.

  Die Formel für die Fläche eines Kreises lautet $A=\pi\cdot r^2$.

  Ein Würfel mit der Kantenlänge $a$ hat das Volumen $V=a^3$.

  Lösung

  Das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r$ beträgt

  $V=\frac43\cdot \pi\cdot r^3$.

  $\pi=3,1415...$ ist die sogenannte Kreiszahl, welche auch in der Flächenformel für einen Kreis, $A=\pi\cdot r^2$, vorkommt.

  Der Radius $r$ ist in Längeneinheiten ($cm$, $m$, ...) angegeben. Damit ist $r^3$ eine Volumeneinheit ($cm^3$, $m^3$, ...).

• Ermittle den Radius der kleinsten Kugel.

  Tipps

  Das gerundete Volumen von Pauls Schokoladenkugel beträgt $904,8~cm^3$.

  Verdoppelung von $r_1$ führt zu einem achtfachen Volumen.

  Verdreifachung von $r_1$ führt zu einem $27$-fachen Volumen.

  Berechne das Volumen der drei verschieden großen Schokoladenkugeln der drei Schwestern und addiere diese Volumina.

  Diese Summe muss mit dem Volumen von Pauls Schokoladenkugel übereinstimmen.

  Lösung

  Zuerst kann das Volumen von Pauls Schokoladenkugel berechnet werden.

  $V=\frac43\cdot \pi\cdot (6~cm)^3\approx 904,8~cm^3$.

  Die einzelnen Kugeln für Pauls Schwestern haben die folgenden Volumina:

  • Für Anna $V_1=\frac43\cdot \pi\cdot r_1^3$.
  • Für Mira $V_2=\frac43\cdot \pi\cdot r_2^3=\frac43\cdot \pi\cdot (2\cdot r_1)^3=8\cdot V_1$.
  • Für Alina $V_3=\frac43\cdot \pi\cdot r_3^3=\frac43\cdot \pi\cdot (3\cdot r_1)^3=27\cdot V_1$.

  Nun können diese Volumina addiert werden zu

  $V_1+V_2+V_3=V_1+8\cdot V_1+27\cdot V_1=36\cdot V_1$.

  Dieses Volumen muss mit dem Volumen von Pauls Schokoladenkugel übereinstimmen.

  $36\cdot V_1=V$.

  Somit erhält man

  $36\cdot \frac43\cdot \pi\cdot r_1^3=\frac43\cdot \pi\cdot 6^3$.

  Multiplikation mit $\frac34$ und Division durch $\pi$ sowie $36$ führen zu

  $r_1^3=\frac1{36}\cdot 6^3=6$.

  Zuletzt wird die dritte Wurzel gezogen:

  $r_1=\sqrt[3]{6} \approx 1,82$ [cm].