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Verhältnisse von Mengen – Gleichheit, Teilmengen, elementfremde Mengen 05:09 min

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Transkript Verhältnisse von Mengen – Gleichheit, Teilmengen, elementfremde Mengen

Die Spürnase Jonny hat uns auf der Suche nach dem gestohlenen Safe einer Baroness an einen verdächtigen Ort geführt Was für eine Entdeckung - in der Lagerhalle sind gleich mehrere Safes! Sieht so aus, als hätten wir die Höhle des Safeknackers entdeckt. Nun müssen wir nur noch herausfinden, welcher Safe der Baroness gehört. Mit seiner Spürnase kann Jonny den Inhalt der geschlossenen Safes erschnüffeln. So können wir mit Hilfe der Verhältnisse von Mengen ermitteln, welcher Safe der gestohlene Safe von der Baroness ist. Die Baroness hat in ihrem Safe 6 verschiedene Dinge, also Elemente, aufbewahrt: Geld, eine Halskette, einen Diamanten einen Pokal, ein Tagebuch und eine Krone. Die Ellipse stellt die Menge dar und wird mit Großbuchstaben benannt. Für die mathematische Schreibweise einer Menge nutzen wir geschweifte Klammern und Semikolons. Wir können bei Mengen vergleichen, wie viele Elemente die Mengen enthalten.
Das nennt man "Mächtigkeit". Dafür schreiben wir den Namen unserer Menge zwischen zwei senkrechte Striche. Nun: Wie viele unterschiedliche Elemente besitzt unsere Menge M? Es sind 6 Elemente. Die Mächtigkeit von M ist also gleich 6. Übrigens wäre die Mächtigkeit auch 6, wenn es noch einen zweiten Diamanten gäbe. Es geht nur um die Anzahl der unterschiedlichen Elemente. Ob der Safe der Baroness mit diesem Inhalt und dieser Mächtigkeit in der Lagerhalle steht? Jonny schnüffelt an Safe A.

Er riecht: Eine Socke, eine Uhr, ein Stück Käse und ein Autogramm. Safe A enthält vier unterschiedliche Elemente und hat somit eine Mächtigkeit von 4. Entspricht das dem Safeinhalt der Baroness? NEIN es sind vollkommen andere Elemente als im Safe der Baroness. Auch stimmt die Mächtigkeit der beiden Safes nicht überein. Kein Element der Menge M kommt in der Menge A vor - und umgekehrt. Somit sind die Mengen M und A komplett verschieden und man sagt: M und A sind elementfremd. Jonny schnüffelt nun an Safe B.

Er riecht: eine Halskette und einen Diamanten. Also enthält der Safe 2 unterschiedliche Elemente. Könnte das der Safe der Baroness sein? Schau mal: Alle Elemente aus Safe B kommen auch in dem Safe der Baroness vor. DOCH HALT in dem Safe der Baroness sind noch weitere Elemente enthalten. Es kommen also NICHT alle Elemente von Safe M auch in Safe B vor. Somit gibt es keine Übereinstimmung mit der Mächtigkeit von Safe M.

Die Menge B ist also komplett in der Menge M enthalten und man sagt: B ist eine Teilmenge von M. Übrigens können wir auch ausdrücken, welche Elemente in Safe M, aber NICHT in Safe B enthalten sind. Das nennt man das "KOMPLEMENT" dieser Mengen. Man sagt dann: M ohne B. Jonny schnüffelt erwartungsvoll an Safe C.

Kommen dir diese Elemente bekannt vor? Mit diesen sechs Elementen hat Safe C eine Mächtigkeit von 6. Schau mal: Es sind die gleichen Elemente wie die im Safe der Baroness. Außerdem ist die Mächtigkeit auch gleich. Was bedeutet das nun?

Die Mengen M und C sind identisch und wir sagen: M gleich C. Also haben wir den Safe der Baroness gefunden! Fassen wir zusammen, was du auf der Suche nach dem Safe alles gelernt hast. Die Anzahl der unterschiedlichen Elemente einer Menge nennt man "Mächtigkeit" und gibt sie als Zahl an. Achte auf die vertikalen Striche vor und hinter der Mengenbezeichnung. Stell dir vor: Die Elemente von Menge M und Menge A sind komplett unterschiedlich. Wir sagen dann: M und A sind elementfremd und schreiben es SO. Wenn die Mengen M und C gleich sind, sagt man: M gleich C. Hier sind alle Elemente der Menge B in Menge M enthalten. Aber in Menge M befinden sich noch weitere Elemente. Wir sagen dann: B ist eine Teilmenge von M und geschrieben wird das SO. Die Elemente, die in Menge M, aber nicht in der Menge B enthalten sind, bilden das "Komplement". Man sagt dann: M ohne B. Jonny hat den Fall gelöst! Doch er scheint ziemlich auf einen weiteren Safe abzufahren warum nur? Wer braucht schon Schmuck und Diamanten, wenn man eine menge Würstchen haben kann?

Verhältnisse von Mengen – Gleichheit, Teilmengen, elementfremde Mengen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Verhältnisse von Mengen – Gleichheit, Teilmengen, elementfremde Mengen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die mathematische Schreibweise der gegebenen Verhältnisse an.

    Tipps

    Wir schreiben $A\subset B$, wenn

    • die Menge $A$ komplett in der Menge $B$ enthalten ist und
    • die Menge $B$ noch weitere zusätzliche Elemente enthält.

    $A\cap B=\emptyset$ bedeutet, dass die Schnittmenge der Mengen $A$ und $B$ leer ist.

    Lösung

    Um die Beziehung zwischen Mengen untersuchen und angeben zu können, müssen wir zunächst klären, welche Verhältnisse zwischen Mengen vorliegen können und wie wir diese mathematisch korrekt angeben.

    Im Folgenden werden alle möglichen Verhältnisse definiert und die jeweilige mathematische Schreibweise angegeben.

    • Teilmenge: Ist die Menge $A$ komplett in Menge $M$ enthalten, während $M$ aber noch weitere zusätzliche Elemente enthält, so ist die Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $M$. Wir schreiben dann $A\subset M$.
    • Gleichheit von Mengen: Die Menge $M$ ist identisch mit der Menge $A$. Wir schreiben dann $M=A$.
    • Elementfremde Mengen: Die Menge $A$ und die Menge $M$ sind komplett verschieden. Wir schreiben dann $M\cap A=\emptyset$.
    • Komplement: Ist $M$ eine Teilmenge von $A$ und wir betrachten alle Elemente die in $A$, aber nicht in $M$ enthalten sind, so handelt es sich um das Komplement der Menge $M$ bezüglich der Menge $A$. Wir schreiben dann $M\setminus A$.
    • Mächtigkeit: Die Anzahl aller unterschiedlichen Elemente der Menge $A$ wird als Mächtigkeit der Menge $A$ bezeichnet. Wir schreiben dann $\vert A\vert$.
  • Definiere die unterschiedlichen Verhältnisse von Mengen.

    Tipps

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $A=\{1;4;5;7\}$ und $B=\{4;5\}$.

    Die Menge $B$ ist eine Teilmenge der Menge $A$.

    Gegeben sind die Mengen $C=\{1;3;7;9\}$ und $D=\{3;9\}$.

    Die Menge $E=\{1;7\}$ ist das Komplement der Menge $D$ bezüglich der Menge $C$.

    Lösung

    Um einen sicheren Umgang mit Mengen zu ermöglichen, müssen wir zunächst mit den Begriffen vertraut sein. Im Folgenden werden die Verhältnisse definiert und zusätzlich die jeweilige mathematische Schreibweise angegeben.

    Teilmenge

    Ist die Menge $A$ komplett in der Menge $M$ enthalten, während $M$ noch weitere zusätzliche Elemente enthält, so ist die Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $M$. Wir schreiben dann $A\subset M$.

    Gleichheit von Mengen

    Die Menge $A$ ist identisch mit der Menge $M$. Das heißt, dass alle Elemente der Menge $A$ allen Elementen der Menge $M$ entsprechen. Wir schreiben dann $A=M$.

    Elementfremde Mengen

    Die Menge $A$ und die Menge $M$ sind komplett voneinander verschieden. Das heißt, dass kein Element der Menge $A$ in der Menge $M$ enthalten ist. Wir schreiben dann $A\cap M=\emptyset$.

    Komplement

    Ist $M$ eine Teilmenge von $A$ und wir betrachten alle Elemente die in $A$, aber nicht in $M$ enthalten sind, so handelt es sich um das Komplement der Menge $M$ bezüglich der Menge $A$. Wir schreiben dann $A\setminus M$.

  • Bestimme die Verhältnisse der Mengen $A$, $B$ und $C$ zu der Menge $M$.

    Tipps

    Sind zwei Mengen elementfremd, so schreiben wir, dass ihre Schnittmenge leer ist.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    Gegeben sind die Mengen $D=\{2;5;9\}$ und $E=\{2;5\}$.

    Es liegt das Verhältnis $E\subset D$ vor.

    Lösung

    Gegeben sind folgende Mengen:

    $A=\text{\{Socke; Uhr; Käse; Autogramm\}}$,

    $B=\text{\{Halskette; Diamant\}}$,

    $C=\text{\{Pokal; Diamant; Geld; Krone; Tagebuch; Halskette\}}$ und

    $M=\text{\{Geld; Halskette; Diamant; Pokal; Tagebuch; Krone\}}$.

    Wir untersuchen die Mengen $A$, $B$ und $C$ bezüglich ihrer Beziehung zu der Menge $M$.

    Elementfremd

    Die Menge $A$ enthält kein Element, das auch in Menge $M$ vorkommt. Somit sind diese beiden Mengen elementfremd, das heißt vollkommen verschieden. Wir schreiben also $A\cap M=\emptyset$.

    Teilmenge

    Alle Elemente der Menge $B$ sind auch in Menge $M$ enthalten. Die Menge $M$ enthält aber noch weitere Elemente. Somit ist die Menge $B$ eine Teilmenge der Menge $M$. Wir schreiben dann $B\subset M$.

    Gleichheit

    Alle Elemente der Menge $C$ entsprechen genau allen Elementen der Menge $M$. Somit sind die Mengen $C$ und $M$ identisch. Wir schreiben dann $C=M$. Zudem ist die Mächtigkeit zweier identischer Mengen wieder identisch. Es gilt also auch $\vert C\vert =\vert M\vert$.

  • Untersuche die Aussagen auf ihre Richtigkeit.

    Tipps

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    Sei $D=\{a; b; c; f\}$ und $E=\{b; c\}$.

    Dann ist $D\subset E=\{a; f\}$.

    Die Menge {super; prima; hervorragend} ist Teilmenge der Menge {super; toll; prima; hervorragend; fantastisch}.

    Lösung

    Gegeben sind folgende Mengen:

    $A=\{1; 6; 8; 9; 10\}$,
    $B=\{1; 2; 5; 6; 8; 9; 10; 11\}$ und
    $C=\{2; 5; 11\}$.

    Zunächst überprüfen wir, wie diese Mengen zueinander stehen. Wir erkennen, dass folgende Verhältnisse gelten:

    • $A\subset B$ und
    • $C\subset B$.
    Die Mengen $A$ und $C$ sind also Teilmengen der Menge $B$. Zudem gelten die Verhältnisse:

    • $B\setminus A=\{2; 5; 11\}=C$,
    • $B\setminus C=\{1; 6; 8; 9; 10\}=A$ und
    • $B\setminus A=\{2; 5; 11\}\subset B$.
    Die übrig bleibenden beiden Verhältnisse hingegen sind nicht korrekt. Lass uns das überprüfen:

    • $A\setminus C=\{1; 6; 8; 9; 10\}=A\neq \emptyset$ und
    • $B\setminus C=\{1; 6; 8; 9; 10\}=A\not\subset C$.
  • Ermittle die Verhältnisse der gegebenen Mengen.

    Tipps

    Ist die Menge $A$ komplett in Menge $B$ enthalten, während $B$ noch weitere Elemente enthält, so ist die Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $B$.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $A=\{5; 7; 9\}$ und $B=\{4; 6; 8\}$.

    $A$ und $B$ sind elementfremd.

    Die Mächtigkeit einer Menge $A$ ist die Anzahl der unterschiedlichen Elemente der Menge $A$. Man schreibt $\vert A\vert$.

    Lösung

    Der Inhalt der Portmon­ees von Martin $M$, Patrick $P$ und Lena $L$ sind in Form von Mengen gegeben. Diese sind:

    $M=\{1ct; 1€; 2€\}$,

    $P=\{1ct; 2ct; 5ct; 50ct; 1€; 2€\}$ und

    $L=\{2ct; 5ct; 50ct\}$.

    Für diese Mengen gelten folgende Beziehungen:

    Teilmenge

    Da alle Elemente von $M$ in $P$ enthalten sind, aber $P$ noch weitere Elemente enthält, ist $M$ eine Teilmenge der Menge $P$. Ebenso ist auch $L$ eine Teilmenge von $P$.

    Elementfremd

    Die Mengen $M$ und $L$ haben keine gemeinsamen Elemente. Also sind in den Portmonees nicht die gleichen Münzen. Somit sind diese Mengen elementfremd.

    Mächtigkeit

    Für die Mächtigkeiten gilt:

    • $\vert M\vert =3$,
    • $\vert P\vert =6$ und
    • $\vert L\vert =3$.
    Patrick hat mehr Geldstücke in seinem Portmonee als seine Freunde. Somit ist die Mächtigkeit von $P$ größer als die Mächtigkeit von $L$, während die Mengen $M$ und $L$ dieselbe Mächtigkeit besitzen.

  • Bestimme die gesuchte Menge.

    Tipps

    Wenn du zwei elementfremde Mengen suchst, dann musst du darauf achten, dass beide Mengen keine gemeinsamen Elemente enthalten.

    Ist eine Menge $B$ Teilmenge einer Menge $A$, so sind alle Elemente der Menge $B$ in $A$ enthalten. $A$ enthält aber noch weitere Elemente.

    Lösung

    Auf Milans Arbeitsblatt sind folgende Mengen gegeben:

    $A=\{1; 2; 3; 4; 5\}$,
    $B=\{1; 3; 4; 5; 7\}$ und
    $C=\{2; 4; 6; 8; 9\}$.

    Gesucht sind diejenigen Mengen, welche die unteren Verhältnisse erfüllen. Schauen wir uns diese doch einmal gemeinsam an.

    Beispiel 1: $~ \{2; 3; 4\} \subset$ ?

    Hier ist eine Menge gesucht, bezüglich dieser die Menge $\{2; 3; 4\}$ eine Teilmenge ist. Wir müssen also schauen, in welcher der Mengen $A$, $B$ und $C$ alle drei Elemente, also $2$, $3$ und $4$ enthalten sind. Dieses Verhältnis ist für Menge $A$ erfüllt. Es ist $\{2; 3; 4\}\subset\ A$.

    Beispiel 2: $~$ ? $\setminus \{2; 8\}=\{4; 6; 9\}$

    Das Komplement der Menge $\{2; 8\}$ bezüglich der gesuchten Menge entspricht $\{4; 6; 9\}$. Wir müssen also schauen, in welcher der Mengen $A$, $B$ und $C$ die Elemente $2$ und $8$ enthalten sind. Diese sind nur in der Menge $C$ enthalten. Nun überprüfen wir, ob das Komplement auch wirklich stimmt. Wir entfernen aus der Menge $C$ die Elemente $2$ und $8$. Übrig bleibt die Menge $\{4; 6; 9\}$. Es ist also $C \setminus \{2; 8\}=\{4; 6; 9\}$.

    Beispiel 3: $~ \{1; 3; 5\}~\cap$ ? $=\emptyset$

    Hier ist eine Menge gesucht, welche elementfremd zu der Menge $\{1; 3; 5\}$ ist. Wir müssen also schauen, in welcher der Mengen $A$, $B$ und $C$ alle drei Elemente, also $1$, $3$ und $5$, nicht enthalten sind. Dieses Verhältnis ist für Menge $C$ erfüllt. Es ist $\{1; 3; 5\}\cap C=\emptyset$.