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Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz 06:14 min

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Transkript Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz

Um die Spürnase Jonny auf der Suche nach einem Safeknacker zu unterstützen, braucht die Polizei ein Phantombild. Der Täter wurde von mehreren Zeugen gesehen und beschrieben. Mit Hilfe von Mengenoperationen können wir die Polizei beim Erstellen des Phantombilds unterstützen. Schauen wir mal, wie das funktioniert. Es gibt verschiedene Beschreibungen zu dem gesuchten Safeknacker. Jede Beschreibung ist wie eine eigene Menge. Erinnere dich: Eine Menge kannst du als Ellipse darstellen. Sie enthält verschiedene Elemente und wird mit einem Großbuchstaben benannt, zum Beispiel A. Der erste Zeuge beschreibt den Räuber als Mann mit dunkelblonden Haaren und einer Brille. Außerdem hat der Verbrecher dicke Augenbrauen und einen Schnurrbart. Der zweite Zeuge beschreibt den Räuber ebenfalls als Mann mit einer Brille. Außerdem hat er blaue Augen und eine breite Nase. Welche Merkmale haben beide Zeugen erkannt? Beide haben einen Mann mit Brille gesehen. Das können wir verdeutlichen, indem wir beide Mengen so übereinander schieben, dass sie sich in einem Teil überschneiden. Hier befinden sich die Elemente, die zu beiden Mengen gehören und man nennt den Teil "Schnittmenge der Mengen A und B." Das Wort und ist hier unser Signalwort. Man schreibt: A geschnitten B ist gleich der Menge mit den Elementen Brille und Mann. Erinnere dich: Die Elemente einer Menge werden zwischen geschweifte Klammern geschrieben und die einzelnen Elemente werden durch Semikolons getrennt. Zurück zu unseren Zeugenaussagen. Welche Merkmale hat nur Zeuge A, aber nicht Zeuge B genannt? Es sind die Elemente Schnurrbart, dunkelblonde Haare und dicke Augenbrauen. Wir betrachten nun also die Elemente, die in Menge A, aber nicht in Menge B enthalten sind, also diesen Teil. Diesen Teil nennt man Differenzmenge und das Signalwort ist aber nicht. Wir schreiben: A ohne B ist gleich der Menge mit den Elementen Schnurrbart, dunkelblond und dicke Augenbrauen. Und welche Elemente sind in Menge B, aber nicht in Menge A enthalten? Das wäre dieser Teil hier. B ohne A entspricht nun der Menge mit den Elementen breite Nase und blaue Augen. Für das Phantombild brauchen wir möglichst viele Merkmale des Täters, damit es eindeutiger wird. Dafür nutzen wir alle Elemente, egal, ob sie in Menge A oder in Menge B vorkommen. Das nennen wir "Vereinigungsmenge" und das Signalwort ist oder. Wir schreiben: A vereinigt mit B ist gleich der Menge mit allen diesen Elementen. Merke dir: Gemeinsame Elemente kommen in der Vereinigungsmenge nur einmal vor. Nun haben wir unser Phantombild mit allen beschriebenen Merkmalen erstellt - so ein auffälliger Mann ist sicher schnell gefunden! Kurz darauf hat Jonny, der Polizeihund, auch schon einen passenden Verdächtigen geschnappt. Er sieht dem Phantombild sehr ähnlich - aber passt auch seine Kleidung zur Beschreibung eines weiteren Zeugen? Der Zeuge hat am Täter Turnschuhe, Shorts, einen Schal, ein T-Shirt und eine Regenjacke gesehen. Unser Verdächtiger trägt Sandalen, Shorts, einen Schal und eine Uhr. Wie sieht die Schnittmenge aus? Sie enthält die Elemente Shorts und Schal. Was bedeutet das für unseren Fall? Diese Kleidungsstücke wurden vom Zeugen beschrieben und der Verdächtige trägt sie! Und was hat der Zeuge beschrieben, was der Verdächtige aber nicht anhat? Diese Elemente sind in der Differenzmenge C ohne D enthalten. Das sind die Turnschuhe, die Regenjacke und das T-Shirt. Welche Kleidungsstücke trägt der Verdächtige, die aber nicht von dem Zeugen genannt wurden? Das wäre die Differenzmenge D ohneC mit den Elementen Sandalen und Uhr. Wenig aussagekräftig ist hier übrigens die Vereinigungsmenge. Das sind die Kleidungsstücke, die entweder von dem Zeugen beschrieben odervon dem Verdächtigen getragen wurden, also alle Elemente. Das hat hier aber keine sinnvolle Funktion. Wie es aussieht, müssen wir den Verdächtigen laufen lassen - es gibt zu viele Abweichungen. Lass uns noch kurz zusammenfassen, welche Mengenoperationen du kennengelernt hast. Zwei Mengen A und B besitzen eine Schnittmenge, in welcher nur diejenigen Elemente vorkommen, die in Menge A und in Menge B enthalten sind. Wir schreiben hierfür: A geschnitten mit B. Die Elemente, die in Menge A aber nicht in Menge B vorkommen, liefert uns die Differenzmenge. aber nicht ist hier unser Signalwort. Für die zutreffende Mengenoperation schreiben wir: A ohne B. Die Elemente, die in der Vereinigungsmenge der Mengen A und B vorkommen, sind alle Elemente aus der Menge A oder der Menge B. Wir schreiben für diese Mengenoperation: A vereinigt mit B. Der Verdächtige ist auf freiem Fuß, aber Schnüffelnase Jonny lässt nicht locker. Jonny, der Mann ist doch unschuldig!!! Aaaaah, aber von Beruf Briefträger

2 Kommentare
  1. Wurde viel besser erklärt 😘

    Von Ananya, vor etwa einem Monat
  2. Super Video habe alles verstanden und kann es mir einwandfrei merken!

    Von jan R., vor etwa einem Monat

Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib jeweils die zutreffende Mengenoperation und das passende Signalwort an.

    Tipps

    Jedes Element der Vereinigungsmenge zweier Mengen $A$ und $B$ ist in $A$ oder in $B$ enthalten.

    Jedes Element der Differenzmenge von $A$ und $B$ ist in $A$, aber nicht in $B$, enthalten.

    Folgendes gilt für die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen:

    $ \begin{array}{l|l} \text{Symbol} & \text{Interpretation} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \cup B & A\ \text{vereinigt mit}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \end{array} $

    Lösung

    Hier abgebildet sind die gegebenen Mengen mit den zugehörigen Mengenoperationen sowie den jeweiligen Signalwörtern.

    Alle Elemente der Schnittmenge $A\cap B$ sind in der Menge $A$ UND in der Menge $B$ enhalten.

    Die Elemente der Differenzmenge $A\setminus B$ sind in der Menge $A$ ABER NICHT in der Menge $B$ enthalten.

    Alle Elemente der Vereinigungsmenge $A\cup B$ sind in der Menge $A$ ODER in der Menge $B$ enthalten.

  • Gib die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen an.

    Tipps

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    Sei $A=\{1;\ 2;\ 3\}$ und $B=\{2;\ 4\}$. Dann gilt:

    $A\cap B=\{2\}$.

    Die Differenzmenge $A\setminus B$ enthält alle Elemente, die in $A$, aber nicht in $B$ enthalten sind.

    Ist eine Menge $B$ Teilmenge einer Menge $A$, so schreiben wir $B\subseteq A$.

    Lösung

    Die Bezeichnungen der Mengenoperationen sowie ihre mathematischen Schreibweisen kannst du der nachfolgenden Tabelle entnehmen:

    $ \begin{array}{l|l} \text{mathematische Schreibweise} & \text{Bezeichnung} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \cup B & A\ \text{vereinigt mit}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \\ B \setminus A & B\ \text{ohne}\ A \end{array} $

    Handelt es sich bei einer Menge $B$ um die Teilmenge einer Menge $A$, so schreiben wir $B\subseteq A$. Ist $A$ hingegen die Teilmenge von $B$, so schreiben wir $A\subseteq B$.

  • Bestimme die gesuchten Mengen.

    Tipps

    Folgendes gilt für die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen:

    $A\cap B\quad\rightarrow\quad$ Schnittmenge von $A$ und $B$
    $A\cup B\quad\rightarrow\quad$ Vereinigungsmenge von $A$ und $B$
    $A\setminus B\quad\rightarrow\quad$ Differenzmenge von $A$ und $B$

    In der Schnittmenge zweier Mengen sind alle gemeinsamen Elemente dieser beiden Mengen enthalten.

    Bei der Bildung der Differenzmenge spielt die Reihenfolge der Mengen eine wichtige Rolle. Für den Fall $A\neq B$ ist zu beachten, dass Folgendes für die Differenzmengen gilt:

    $A\setminus B \neq B\setminus A$

    Das bedeutet, dass die Operation $A$ ohne $B$ nicht dieselbe Menge liefert wie die Operation $B$ ohne $A$.

    Lösung

    Folgende Mengen sind uns bekannt:

    • $A=\{$Mann; Brille; Schnurrbart; dunkelblond; dicke Augenbrauen$\}$
    • $B=\{$Mann; Brille; Schnurrbart; blaue Augen; breite Nase$\}$
    • $C=\{$Shorts; Schal; Turnschuhe; Regenjacke; T-Shirt$\}$
    • $D=\{$Shorts; Schal; Sandalen; Uhr$\}$
    Nun möchten wir ausgehend von diesen Mengen Schnitt- und Differenzmengen bestimmen.

    Insbesondere bei der Bestimmung der Differenzmengen müssen wir uns sehr gut konzentrieren. Denn sobald zwei Mengen $A$ und $B$ vorliegen, welche voneinander verschieden sind, ist die Differenzmenge $A$ ohne $B$ eine andere als die Differenzmenge $B$ ohne $A$. Die Reihenfolge der Mengen spielt hier also eine Rolle.

    Schnittmenge $~ A\cap B$

    Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $A$ UND in $B$ enthalten sind. Es folgt:

    $A\cap B=\{$Brille; Mann$\}$

    Differenzmenge $~ A\setminus B$

    Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $A$, ABER NICHT in $B$ enthalten sind. Es folgt:

    $A\setminus B=\{$Schnurrbart; dunkelblond; dicke Augenbrauen$\}$

    Schnittmenge $~ C\cap D$

    Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $C$ UND in $D$ enthalten sind. Es folgt:

    $C\cap D=\{$Shorts; Schal$\}$

    Differenzmenge $~ D\setminus C$

    Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $D$, ABER NICHT in $C$ enthalten sind. Es folgt:

    $D\setminus C=\{$Sandalen; Uhr$\}$

  • Bilde die gesuchte Menge.

    Tipps

    Gehe in dieser Aufgabe Schritt für Schritt vor. Bestimme zunächst die Schnittmenge $A\cap B$. Diese enthält alle Elemente, die in $A$ UND in $B$ enthalten sind.

    Im nächsten Schritt betrachtest du nun die gesuchte Differenzmenge. Du ziehst von der Schnittmenge $A\cap B$ alle Elemente ab, die in $C$ enthalten sind.

    Lösung

    Doktor Evil muss folgende Menge $E$ finden:

    $A=\{3;\ 8;\ 12;\ 18;\ 23;\ 31;\ 52\}$
    $B=\{3;\ 7;\ 11,5;\ 18;\ 23;\ 30;\ 52\}$
    $C=\{1;\ 5;\ 12;\ 18;\ 21;\ 31;\ 50\}$
    $D=A\cap B$
    $E=D\setminus C$

    Hierzu rechnen wir Schritt für Schritt. Wir bestimmen zunächst die Schnittmenge:

    $D=A\cap B=\{3;\ 18;\ 23;\ 52\}$

    Nun bestimmen wir die gesuchte Differenzmenge:

    $E=D\setminus C=\{3;\ 23;\ 52\}$

  • Ermittle die Lösung der gegebenen Mengenoperationen.

    Tipps

    Folgende Bedeutung haben die gegebenen Operationen:

    $ \begin{array}{l|l} \text{Verwendung} & \text{Interpretation} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \end{array} $

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    Sei $A=\{5;\ 2;\ 10\}$ und $B=\{2;\ 11;\ 8\}$ gegeben, so gilt:

    $A\setminus B=\{5;\ 10\}$

    Lösung

    Folgende Mengen sind uns bekannt:

    • $L=\{13;\ 4;\ 81;\ 22;\ 0,8\}$
    • $M=\{11;\ 4;\ 81;\ 19;\ 0,9\}$
    • $J=\{11;\ 6;\ 81;\ 22;\ 0,9\}$
    Diese enthalten diejenigen Lösungen, die Lisa, Maria und Julia in ihren Klassenarbeiten berechnet haben. Um festzustellen, wie viele Lösungen sie gemeinsam haben, berechnen wir einige Schnitt- und Differenzmengen:

    Schnittmenge $L\cap M$
    Wir suchen alle Zahlen, die in $L$ UND in $M$ enthalten sind. So erhalten wir folgende Schnittmenge:

    $L\cap M=\{4;\ 81\}$

    Demnach ist die Auswahl $L\cap M=\{4;\ 0,9\}$ falsch.

    Schnittmenge $L\cap J$
    Nun suchen wir alle Einträge, die in $L$ UND in $J$ enthalten sind. So erhalten wir folgende Schnittmenge:

    $L\cap J=\{81;\ 22\}$

    Differenzmenge $M\setminus J$
    Gesucht sind alle Elemente, die in $M$, aber nicht in $J$ enthalten sind. Wir erhalten dann folgende Differenzmenge:

    $M\setminus J=\{4;\ 19\}$

    Differenzmenge $J\setminus L$
    Gesucht sind alle Zahlen, die in $J$, aber nicht in $L$ enthalten sind. Wir erhalten dann folgende Differenzmenge:

    $J\setminus L=\{11;\ 6;\ 0,9\}$

    Demnach ist die Auswahl $J\setminus L=\{13;\ 4;\ 0,8\}$ falsch.

  • Bestimme die Schnitt- und Differenzmengen.

    Tipps

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $R_3\setminus L=\{$Milch; Stärke$\}$

    Wenn zwei Mengen kein gemeinsames Element haben, so entspricht ihre Schnittmenge der leeren Menge $\{\}$.

    Lösung

    Chefkoch Luigi hat folgende Zutaten:

    $L=\{$Mehl; Zucker; Butter; Backpulver; Puderzucker$\}$

    Und je folgende Zutaten braucht er für die vier Rezepte:

    $R_1=\{$Mehl; Butter; Zucker; Vanillezucker$\}$
    $R_2=\{$Mehl; Milch; Eier; Zucker$\}$
    $R_3=\{$Mehl; Milch; Stärke; Zucker$\}$
    $R_4=\{$Milch; Stärke; Vanillezucker$\}$

    Wir möchten schauen, welche Zutaten dem Chefkoch für diese Rezepte fehlen. Dafür bestimmen wir einige Schnitt- und Differenzmengen:

    • $R_1\setminus L=\{$Vanillezucker$\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept fehlt dem Koch Vanillezucker.
    • $R_2\setminus L=\{$Eier; Milch$\}\ \rightarrow$ Hier fehlen ihm sogar zwei Zutaten.
    • $R_3\cap L=\{$Mehl; Zucker$\}\ \rightarrow$ Mit diesem Rezept hat er nur Mehl und Zucker gemeinsam.
    • $R_4\cap L=\{\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept fehlen ihm alle Zutaten.
    Die Mengen $R_4$ und $L$ sind nämlich elementfremd. Das bedeutet, dass sie kein gemeinsames Element haben. Daher entspricht ihre Schnittmenge der leeren Menge.

    Demnach eignet sich das erste Rezept am besten.