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Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz

Wenn du Mengen kombinierst, bist du wie ein Detektiv! Entdecke, wie Mengenoperationen dir helfen, Eigenschaften zu verbinden und zu analysieren. Lerne die Schnittmenge, Differenzmenge und Vereinigungsmenge kennen. Interessiert? Dann lies weiter und erfahre mehr!

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Team Digital
Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mengenoperationen – Schnitt, Vereinigung, Differenz kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib jeweils die zutreffende Mengenoperation und das passende Signalwort an.

    Tipps

    Jedes Element der Vereinigungsmenge zweier Mengen $A$ und $B$ ist in $A$ oder in $B$ enthalten.

    Jedes Element der Differenzmenge von $A$ und $B$ ist in $A$, aber nicht in $B$, enthalten.

    Folgendes gilt für die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen:

    $ \begin{array}{l|l} \text{Symbol} & \text{Interpretation} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \cup B & A\ \text{vereinigt mit}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \end{array} $

    Lösung

    Hier abgebildet sind die gegebenen Mengen mit den zugehörigen Mengenoperationen sowie den jeweiligen Signalwörtern.

    Alle Elemente der Schnittmenge $A\cap B$ sind in der Menge $A$ UND in der Menge $B$ enthalten.

    Die Elemente der Differenzmenge $A\setminus B$ sind in der Menge $A$, ABER NICHT in der Menge $B$ enthalten.

    Alle Elemente der Vereinigungsmenge $A\cup B$ sind in der Menge $A$ ODER in der Menge $B$ enthalten.

  • Bestimme die gesuchten Mengen.

    Tipps

    Folgendes gilt für die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen:

    • $A\cap B\quad\rightarrow\quad$ Schnittmenge von $A$ und $B$
    • $A\cup B\quad\rightarrow\quad$ Vereinigungsmenge von $A$ und $B$
    • $A\setminus B\quad\rightarrow\quad$ Differenzmenge von $A$ und $B$

    In der Schnittmenge zweier Mengen sind alle gemeinsamen Elemente dieser beiden Mengen enthalten.

    Bei der Bildung der Differenzmenge spielt die Reihenfolge der Mengen eine wichtige Rolle. Für den Fall $A\neq B$ ist zu beachten, dass Folgendes für die Differenzmengen gilt:

    • $A\setminus B \neq B\setminus A$
    Das bedeutet, dass die Operation $A$ ohne $B$ nicht dieselbe Menge liefert wie die Operation $B$ ohne $A$.

    Lösung

    Folgende Mengen sind uns bekannt:

    • $A=\{$Mann; Brille; Schnurrbart; dunkelblond; dicke Augenbrauen$\}$
    • $B=\{$Mann; Brille; Schnurrbart; blaue Augen; breite Nase$\}$
    • $C=\{$Shorts; Schal; Turnschuhe; Regenjacke; T-Shirt$\}$
    • $D=\{$Shorts; Schal; Sandalen; Uhr$\}$

    Nun möchten wir ausgehend von diesen Mengen Schnitt- und Differenzmengen bestimmen.

    Insbesondere bei der Bestimmung der Differenzmengen müssen wir uns sehr gut konzentrieren. Denn sobald zwei Mengen $A$ und $B$ vorliegen, welche voneinander verschieden sind, ist die Differenzmenge $A$ ohne $B$ eine andere als die Differenzmenge $B$ ohne $A$. Die Reihenfolge der Mengen spielt also eine Rolle.

    Schnittmenge $~ A\cap B$

    Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $A$ UND in $B$ enthalten sind. Es folgt:

    $A\cap B=\{$Brille; Mann$\}$

    Differenzmenge $~ A\setminus B$

    Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $A$, ABER NICHT in $B$ enthalten sind. Es folgt:

    $A\setminus B=\{$Schnurrbart; dunkelblond; dicke Augenbrauen$\}$

    Schnittmenge $~ C\cap D$

    Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $C$ UND in $D$ enthalten sind. Es folgt:

    $C\cap D=\{$Shorts; Schal$\}$

    Differenzmenge $~ D\setminus C$

    Hier sind alle die Elemente gesucht, die in $D$, ABER NICHT in $C$ enthalten sind. Es folgt:

    $D\setminus C=\{$Sandalen; Uhr$\}$

  • Ermittle die Lösung der gegebenen Mengenoperationen.

    Tipps

    Folgende Bedeutung haben die gegebenen Operationen:

    $ \begin{array}{l|l} \text{Verwendung} & \text{Interpretation} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \end{array} $

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    Sei $A=\{5;\ 2;\ 10\}$ und $B=\{2;\ 11;\ 8\}$ gegeben, so gilt:

    $A\setminus B=\{5;\ 10\}$

    Lösung

    Folgende Mengen sind uns bekannt:

    • $L=\{13;\ 4;\ 81;\ 22;\ 0,8\}$
    • $M=\{11;\ 4;\ 81;\ 19;\ 0,9\}$
    • $J=\{11;\ 6;\ 81;\ 22;\ 0,9\}$
    Diese enthalten diejenigen Lösungen, die Lisa, Maria und Julia in ihren Klassenarbeiten berechnet haben. Um festzustellen, wie viele Lösungen sie gemeinsam haben, berechnen wir einige Schnitt- und Differenzmengen:

    Schnittmenge $L\cap M$

    Wir suchen alle Zahlen, die in $L$ UND in $M$ enthalten sind. So ermitteln wir folgende Schnittmenge:

    $L\cap M=\{4;\ 81\}$

    Demnach ist die Auswahl $L\cap M=\{4;\ 0,9\}$ falsch.

    Schnittmenge $L\cap J$

    Nun suchen wir alle Einträge, die in $L$ UND in $J$ enthalten sind. So ermitteln wir folgende Schnittmenge:

    $L\cap J=\{81;\ 22\}$

    Differenzmenge $M\setminus J$

    Gesucht sind alle Elemente, die in $M$, aber nicht in $J$ enthalten sind. Wir ermitteln dann folgende Differenzmenge:

    $M\setminus J=\{4;\ 19\}$

    Differenzmenge $J\setminus L$

    Gesucht sind alle Zahlen, die in $J$, aber nicht in $L$ enthalten sind. Wir ermitteln dann folgende Differenzmenge:

    $J\setminus L=\{11;\ 6;\ 0,9\}$

    Demnach ist die Auswahl $J\setminus L=\{13;\ 4;\ 0,8\}$ falsch.

  • Bestimme die Schnitt- und Differenzmengen.

    Tipps

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $R_3\setminus L=\{$Milch; Stärke$\}$

    Wenn zwei Mengen kein gemeinsames Element haben, so entspricht ihre Schnittmenge der leeren Menge $\{\}$.

    Lösung

    Chefkoch Luigi hat folgende Zutaten:

    • $L=\{$Mehl; Zucker; Butter; Backpulver; Puderzucker$\}$

    Und je folgende Zutaten braucht er für die vier Rezepte:

    • $R_1=\{$Mehl; Butter; Zucker; Vanillezucker$\}$
    • $R_2=\{$Mehl; Milch; Eier; Zucker$\}$
    • $R_3=\{$Mehl; Milch; Stärke; Zucker$\}$
    • $R_4=\{$Milch; Stärke; Vanillezucker$\}$

    Wir möchten schauen, welche Zutaten dem Chefkoch für diese Rezepte fehlen. Dafür bestimmen wir einige Schnitt- und Differenzmengen:

    • $R_1\setminus L=\{$Vanillezucker$\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept fehlt dem Koch Vanillezucker.
    • $R_2\setminus L=\{$Eier; Milch$\}\ \rightarrow$ Hier fehlen ihm sogar zwei Zutaten.
    • $R_3\cap L=\{$Mehl; Zucker$\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept hat er nur Mehl und Zucker in seinem Vorrat.
    • $R_4\cap L=\{\}\ \rightarrow$ Für dieses Rezept fehlen ihm alle Zutaten.

    Die Mengen $R_4$ und $L$ sind nämlich elementfremd. Das bedeutet, dass sie kein gemeinsames Element haben. Daher entspricht ihre Schnittmenge der leeren Menge.

    Demnach eignet sich das erste Rezept am besten.

  • Gib die mathematische Schreibweise der Mengenoperationen an.

    Tipps

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    Sei $A=\{1;\ 2;\ 3\}$ und $B=\{2;\ 4\}$. Dann gilt:

    $A\cap B=\{2\}$.

    Die Differenzmenge $A\setminus B$ enthält alle Elemente, die in $A$, aber nicht in $B$ enthalten sind.

    Ist eine Menge $B$ Teilmenge einer Menge $A$, so schreiben wir $B\subseteq A$.

    Lösung

    Die Bezeichnungen der Mengenoperationen sowie ihre mathematischen Schreibweisen kannst du der nachfolgenden Tabelle entnehmen:

    $ \begin{array}{l|l} \text{mathematische Schreibweise} & \text{Bezeichnung} \\ \hline A \cap B & A\ \text{geschnitten}\ B \\ A \cup B & A\ \text{vereinigt mit}\ B \\ A \setminus B & A\ \text{ohne}\ B \\ B \setminus A & B\ \text{ohne}\ A \end{array} $

    Handelt es sich bei einer Menge $B$ um die Teilmenge einer Menge $A$, schreiben wir $B\subseteq A$. Ist $A$ hingegen die Teilmenge von $B$, schreiben wir $A\subseteq B$.

  • Bilde die gesuchte Menge.

    Tipps

    Gehe in dieser Aufgabe Schritt für Schritt vor. Bestimme zunächst die Schnittmenge $A\cap B$. Diese enthält alle Elemente, die in $A$ UND in $B$ enthalten sind.

    Im nächsten Schritt betrachtest du die gesuchte Differenzmenge. Du ziehst von der Schnittmenge $A\cap B$ alle Elemente ab, die in $C$ enthalten sind.

    Lösung

    Doktor Evil muss folgende Menge $E$ finden:

    • $A=\{3;\ 8;\ 12;\ 18;\ 23;\ 31;\ 52\}$
    • $B=\{3;\ 7;\ 11,5;\ 18;\ 23;\ 30;\ 52\}$
    • $C=\{1;\ 5;\ 12;\ 18;\ 21;\ 31;\ 50\}$
    • $D=A\cap B$
    • $E=D\setminus C$

    Hierzu rechnen wir Schritt für Schritt. Wir bestimmen zunächst die Schnittmenge:

    $D=A\cap B=\{3;\ 18;\ 23;\ 52\}$

    Danach bestimmen wir die gesuchte Differenzmenge:

    $E=D\setminus C=\{3;\ 23;\ 52\}$