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Verhältnisse

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Team Digital
Verhältnisse
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Grundlagen zum Thema Verhältnisse

Inhalt

Verhältnisse – Mathematik

Bei vielen Rezepten sind Mengen in bestimmten Verhältnissen angegeben. Aber was sagt ein Verhältnis aus? Und wie kann man zwei Größen in ein Verhältnis setzen? Dazu schauen wir uns zunächst eine Definition des Verhältnisses und die Bedeutung von Verhältnisangaben an.

Verhältnisse in der Mathematik angeben – Definition

Was ist ein Verhältnis in der Mathematik? Dazu schauen wir uns ein Beispiel an: Laut einem Rezept braucht man drei Teile Kartoffeln auf einen Teil Käse. Die Beziehung zwischen der Kartoffelmenge und der Käsemenge nennt man Verhältnis. Wir haben verschiedene Möglichkeiten das Verhältnis anzugeben:

$3$ zu $1$

$3:1$

$\frac{3}{1}$

Die Reihenfolge, in der wir die beiden Größen notieren, ist bei Verhältnissen wichtig.

Mengenverhältnisse anpassen

Wir können mit Verhältnissen in der Mathematik auch Mengenangaben berechnen. Dazu schauen wir uns ein anderes Rezept an: Ein Beeren-Bananen-Smoothie enthält $4$ Teile Erdbeere und $3$ Teile Banane. Das Rezept gilt für eine Portion. Wir schauen uns in einer Tabelle an, wie wir mithilfe dieses Verhältnisses bestimmen können, welche Mengen für mehrere Personen benötigt werden:

Portionen Erdbeere Banane
$1$ $4$ $3$
$2$ $8$ $6$
$3$ $12$ $9$
$10$ $40$ $30$

Um das Rezept auf zwei Personen anzupassen, verdoppeln wir einfach den Anteil an Erdbeere und den Anteil an Banane. Um es auf drei Personen anzupassen, verdreifachen wir den Anteil an Erdbeere und an Banane usw. So können wir mit dem Verhältnis berechnen, welche Mengen benötigt werden.

Wir erkennen auch, dass hinter jeder Angabe das Verhältnis $4:3$ steckt, indem wir die jeweiligen Brüche kürzen:

$\frac{8}{6}=\frac{8:2}{6:2}=\frac{4}{3}$

$\frac{12}{9}=\frac{12:3}{9:3}=\frac{4}{3}$

$\frac{40}{30}=\frac{40:10}{30:10}=\frac{4}{3}$

Darstellung von Verhältnissen

Wir haben bereits gesehen, dass wir zum Aufstellen von Verhältnissen in der Mathematik Tabellen verwenden können. Wir können Verhältnisse aber auch mit einem Kästchendiagramm darstellen. Dazu betrachten wir ein weiteres Rezept: Für Chew-Mokka-Brownies braucht man $3$ Teile Karamell auf $5$ Teile Schokolade.

Erklärung Verhältnis bilden und bestimmen

Bei diesem Diagramm steht jedes Kästchen für einen Teil der Gesamtmenge. Es zeigt das Verhältnis von Karamell zu Schokolade als $3:5$.

In diesem Video zu Verhältnissen …

… wird das Verhältnis in der Mathematik einfach erklärt. Dazu wird der Frage nachgegangen, was ein Verhältnis bedeutet? Anhand verschiedener Beispiele wird das Verhältnis in der Mathematik zunächst eingeführt. Dazu werden auch unterschiedliche Schreibweisen eines Verhältnisses vorgestellt. Anschließend wird anhand von Tabellen eine Erklärung hergeleitet, wie man mit dem Verhältnis in der Mathematik Größenangaben anpassen und mit Verhältnissen berechnen kann. Außerdem werden verschiedene mathematische Darstellungen von Verhältnissen vorgestellt.

Weitere Übungen und Arbeitsblätter zum Verhältnis in der Mathematik findest du auf dieser Seite. Falls du noch mehr zum Thema Verhältnisse wissen möchtest, kannst du dir das Video Verhältnisse umkehren ansehen. Viel Spaß!

Transkript Verhältnisse

Leelees neueste Idee auf dem Weg zum Internet-Star, ist ein eigener Koch-Vlog-Kanal die Küchenkönigin. Leelee ist nicht gerade eine Meisterköchin, aber wozu muss man kochen können, wenn man das Rezept für perfekte Verhältnisse besitzt? Schauen wir mal, was Leelee als erstes zubereitet: Königsklasse Käsekartoffeln. Laut Rezept braucht man 3 Teile Kartoffeln auf einen Teil Käse. Die Beziehung zwischen der Kartoffelmenge und der Käsemenge nennt man "Verhältnis". Du schreibst es entweder mithilfe des Wörtchens "zu" oder du benutzt einen Doppelpunkt oder einen Bruch. Ganz egal, wie du es aufschreibst, du sagst immer: 3 zu 1. Die Bedeutung der Zahlen und ihre Reihenfolge stehen im Rezept. Erst die Kartoffeln, dann der Käse. Macht Leelee aber einen Fehler und vertauscht das Verhältnis erhält sie 3 Teile Käse auf einen Teil Kartoffeln. Ein Kartoffel-Käse-Verhältnis von 1 zu 3 gäbe ein komplettes Käse-Chaos. Das ist der Grund, weshalb die Reihenfolge bei Verhältnissen wichtig ist. Es ist genau wie bei Brüchen: Drei Eintel ist etwas anderes als ein Drittel. Okay, das war ein tolles Rezept für Leute, die fettiges Stadionessen mögen. Kommen wir jetzt aber zu etwas Leichterem, einem Yogi-Beeren-Bananen-Smoothie. Das Rezept verlangt 4 Teile Erdbeere auf 3 Teile Banane. Aber das Rezept gilt nur für eine Portion. Was muss Leelee für mehr als eine Person zusammenmischen? Wir kennen jetzt schon verschiedene Arten, um Verhältnisse aufzuschreiben. Jetzt schauen wir, wie wir unsere Daten mit einer Tabelle ordnen können. Wir wissen, dass wir für jeweils 4 Teile Erdbeere 3 Teile Banane benötigen. Wie wäre es mit Smoothies für zwei Personen? Wenn wir den Anteil an Erdbeeren verdoppeln, haben wir 8 Teile Erdbeere und brauchen dann 6 Teile Banane. Und für drei Personen? Da bekommen wir ein Verhältnis von 12 Teilen Erdbeere zu 9 Teilen Banane. Die Smoothies sind noch immer im perfekten Verhältnis von 4 zu 3 gemischt. Wenn wir nämlich die Verhältnisse als Brüche schreiben, sind diese Brüche gleich. 12 durch 9, lässt sich zu, 4 durch 3 kürzen. Kann Leelee auch einen Supersmoothie für ihren Yogakurs mit 10 Teilnehmern mixen? Da brauchen wir wohl einen größeren Mixer. Leelees letztes Rezpt ist eines für Chew-Mokka-Brownies. Dafür braucht sie 3 Teile Karamell auf 5 Teile Schokolade. Dieses Verhältnis können wir noch auf andere Weise darstellen: In einem Kästchendiagramm. Bei diesem Diagramm steht jedes Kästchen für einen Teil der Gesamtmenge. Das hier zeigt das Verhältnis von Karamell zu Schokolade als 3 zu 5. Aber wie können wir mit dem Diagramm Leelees Rezept verdoppeln? Indem wir ganz einfach den Wert jedes Kästchens, von 1 auf 2 ändern. Jetzt stehen die oberen 3 Rechtecke für 6 Teile Karamell und die 5 Rechtecke unten stehen für 10 Teile Schokolade. Nun haben wir das entsprechende Verhältnis von 6 zu 10. Wenn wir die Verhältnisse als Brüche betrachten, können wir sechs Zehntel zu drei Fünfteln kürzen, die Verhältnisse sind also gleich. Fassen wir zusammen: Ein Verhältnis beschreibt die Beziehung zwischen zwei Zahlen. Man kann sie mit dem Wörtchen "zu" aufschreiben mit einem Doppelpunkt oder als Bruch. Man kann sie auch als Tabellen oder als Kästchendiagramm graphisch darstellen. Nicht vergessen: Die Reihenfolge ist bei Verhältnissen wichtig. Zeit für Leelee, ihre Brownies einem Geschmackstest zu unterziehen. Hey, Leelee. Sag deinen Fans doch mal, wie sie schmecken.

30 Kommentare

30 Kommentare
  1. o(* ̄▽ ̄*)o

    Von Lucas, vor 16 Tagen
  2. DAS VIDEO IST SEHR HILFREICH ICH BIN IN DER $:KLASSE UND AUF DEM WEG INS ÜBERTRITT IN DAS GYMNASIUM ICH HABE ALLES VERSTANDE !!!!!
    SUPER VIDEO ICH EMPFEHLE ES WEITER!!!!!!! :)

    Von Luna, vor 4 Monaten
  3. Super Video

    Von MNE and CH Bayern München Fan, vor 7 Monaten
  4. Die hat sicher Milionen von Fans

    Von MNE and CH Bayern München Fan, vor 7 Monaten
  5. Wirklich gut erklärt

    Von Pommes Ritter, vor 7 Monaten
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Verhältnisse Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Verhältnisse kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die korrekten Aussagen zu Verhältnissen an.

    Tipps

    Bist du dir nicht sicher, ob zwei Brüche gleich sind, kannst du sie auf den gleichen Nenner bringen: Bei $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{1}$ ergibt sich:

    $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} \neq \frac{1}{2} $

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Verhältnisse gibt man immer ausschließlich mit Hilfe von Brüchen an.
    Verhältnisse kannst du auf verschiedene Arten darstellen. Brüche gehören dazu, allerdings kannst du auch das Wort "zu" oder einen Doppelpunkt verwenden.

    • Die Reihenfolge bei Verhältnissen ist egal. $\frac{1}{3}$ ist nämlich das Gleiche wie $\frac{3}{1}$.
    Bei Verhältnissen ist die Reihenfolge von großer Bedeutung. Das Vertauschen der Reihenfolge kehrt das Verhältnis um.

    Diese Aussagen sind richtig:

    • Verhältnisse muss man immer in der richtigen Reihenfolge angeben.
    • Verhältnisse kann man durch das Wort "zu", einen Doppelpunkt oder einen Bruch angeben.
    • In einem Kästchendiagramm können Verhältnisse graphisch dargestellt werden.
  • Bestimme die Verhältnisse.

    Tipps

    Um die Anteile in der Tabelle zu berechnen, kannst du von der ersten Zeile ausgehen. Du kommst zu den Einträgen einer anderen Zeile, indem du alle Einträge in der ersten Zeile mit der gleichen Zahl multiplizierst.

    Das Multiplizieren einer Zeile mit der gleichen Zahl entspricht dem Erweitern eines Bruchs.

    Lösung

    Um die Anteile in der Tabelle zu berechnen, kannst du von der ersten Zeile ausgehen. Du kommst zu den Einträgen einer anderen Zeile, indem du alle Einträge in der ersten Zeile mit der gleichen Zahl multiplizierst.

    Dabei bleibt das Verhältnis von $4:3$ immer gleich. Das entspricht dem Erweitern eines Bruchs. In der zweiten Zeile multiplizierst du also alle Einträge mit $2$. Dann erhältst du für die Anteile der Erdbeeren:

    $4 \cdot 2 = 8$

    und für die Bananen:

    $3 \cdot 2 = 6$.

    Das Verhältnis ist immer noch das Gleiche:

    $\frac{8}{6}= \frac{4}{3}$.

    Die anderen Einträge der Tabelle kannst du genauso bestimmen.

  • Erschließe die gleichen Verhältnisse.

    Tipps

    Verhältnisse kannst du durch das Wort „zu“, einen Doppelpunkt oder einen Bruch angeben. $5$ zu $1$, $5:1$ und $\frac{5}{1}$ bedeuten das Gleiche.

    So wie du Brüche erweitern kannst, kannst du die beiden Anteile der Verhältnisse auch mit der jeweils gleichen Zahl multiplizieren. $10$ zu $2$ gibt das gleiche Verhältnis an wie $5$ zu $1$.

    Lösung

    Verhältnisse kannst du durch das Wort „zu“, einen Doppelpunkt oder einen Bruch angeben. $5$ zu $1$, $5:1$ und $\frac{5}{1}$ bedeuten das Gleiche. Allerdings musst du immer die Reihenfolge beachten. So wie du Brüche erweitern kannst, kannst du die beiden Anteile der Verhältnisse auch mit der jeweils gleichen Zahl multiplizieren. $10$ zu $2$ gibt das gleiche Verhältnis an wie $5$ zu $1$. Mit diesen Überlegungen kannst du die gleichen Verhältnisse bestimmen:

    • $3$ zu $1$ ist das gleiche Verhältnis wie $\frac{6}{2}$.
    • $4 : 5$ bedeutet das Gleiche wie $4$ zu $5$.
    • $\frac{12}{9}$ ist das gleiche Verhältnis wie $4$ zu $3$.
    • $2$ zu $5$ und $\frac{10}{25}$ geben das gleiche Verhältnis an.
  • Bestimme die Verhältnisse.

    Tipps

    Das erste Verhältnis von Stunden zu Müll ist mit $1:3$ gegeben.

    Lösung

    Das erste Verhältnis von Stunden zu Müll ist mit $1:3$ gegeben. Um die Anteile in der Tabelle zu berechnen, kannst du von der ersten Zeile ausgehen. Du kommst zu den Einträgen einer anderen Zeile, indem Du alle Einträge in der ersten Zeile mit der gleichen Zahl multiplizierst.

    Dabei bleibt das Verhältnis von $1:3$ immer gleich. In der zweiten Zeile multiplizierst du also alle Einträge mit $2$. Dann erhältst du zum Beispiel für $2$ Stunden:

    $2 \cdot 3= 6$ Kilogramm Müll.

    Das Verhältnis von $1:3$ bleibt hier gleich:

    $\frac{2}{6}= \frac{1}{3}$.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Kästchendiagrammen.

    Tipps

    Im Diagramm sind drei Teile Karamell und fünf Teile Schokolade zu sehen.

    Das Verhältnis gibst du am besten in der einfachsten Form an, also mit den kleinstmöglichen Zahlen. Ist es in einem Bruch dargestellt, kürze ihn soweit wie möglich.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Lässt man jedes Kästchen für $2$ Teile der Gesamtmenge stehen, dann verändert sich das Verhältnis.
    Solange jedes Kästchen für den gleichen Anteil an der Gesamtmenge steht, verändert sich nur die Gesamtmenge, aber nicht das Verhältnis der Zutaten.

    • Das Diagramm zeigt ein Verhältnis von Karamell zu Schokolade von $\frac{5}{3}$.
    Das Diagramm zeigt 3 Kästchen Karamell und 5 Kästchen Schokolade. Hier wurde das Verhältnis vertauscht.

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Das Diagramm zeigt ein Verhältnis von Karamell zu Schokolade von $3:5$.
    • Steht jedes Kästchen für $3$ Teile der Gesamtmenge, dann hat sich die Gesamtmenge an Brownies verdreifacht.
    • Um das Verhältnis anzugeben, steht im Diagramm jedes Kästchen für einen Teil der Gesamtmenge.
    Das Verhältnis gibst du am besten in der einfachsten Form an, also mit den kleinstmöglichen Zahlen. Ist es in einem Bruch dargestellt, kürze ihn soweit wie möglich.

  • Erarbeite, wie man mit Verhältnisgleichungen rechnet.

    Tipps

    Gleiche Verhältnisse kannst du natürlich auch gleichsetzen. Das ist hilfreich, wenn du bereits ein Verhältnis und einen Anteil gegeben hast und den passenden Anteil berechnen willst, der dieses Verhältnis erhält.

    In der Verhältnisgleichung wird jedem Anteil eine Variable zugeordnet. Die zugeordneten Variablen kannst du dann in die Verhältnisgleichung einsetzen.

    Lösung

    Der Lückentext kann so vervollständigt werden:

    • In einer Verhältnisgleichung werden zwei Verhältnisse $a:b$ und $c:d$ gleichgesetzt. Also:
    • $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
    Gleiche Verhältnisse kannst du natürlich auch gleichsetzen. Das ist hilfreich, wenn du bereits ein Verhältnis und einen Anteil gegeben hast und den passenden Anteil berechnen willst, der dieses Verhältnis erhält.

    • Verhältnisgleichungen werden häufig verwendet um aus drei bekannten Anteilen einen vierten auszurechnen. In unserem Fall ist das gewünschte Verhältnis von Kies $a=4$ zu Zement $b=1$, sowie eine gegebene Menge Kies $c=40$ bekannt.
    In der Verhältnisgleichung wird jedem Anteil eine Variable zugeordnet.

    • Damit kann sie die Verhältnisgleichung aufstellen:
    • $\frac{4}{1}=\frac{40}{d}$
    Die zugeordneten Variablen kannst du dann in die Verhältnisgleichung einsetzen.

    • (...) Um das Mischungsverhältnis von $4:1$ zu erhalten, benötigt Sarah also $10~\text{kg}$ Zement.
    Die Lösung der Gleichung gibt die benötigte Menge Zement an.

    • (...) Wieder stellt sie eine Verhältnisgleichung auf:
    • $\frac{4}{1}=\frac{c}{8}$
    • Sie benötigt also nur $32~\text{kg}$ ihres Kieses.
    Die Berechnung funktioniert hier analog zur ersten Gleichung.

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