Vereinigungsmenge

Vereinigungsmenge Übung

• Ergänze die fehlenden Begriffe in der Definition der Vereinigungsmenge.

  Tipps

  Schaue dir die Abbildung an: Du kannst erkennen, dass die Vereinigungsmenge zweier Mengen beide Mengen umfasst.

  In der Mathematik versteht man „und“ als ein sowohl als auch auch.

  Das Zeichen $\cap$ wird für eine Schnittmenge verwendet.

  Lösung

  Im abgebildeten Venn-Diagramm siehst du, dass es sich bei der Vereinigungsmenge um den Bereich handelt, den beide Mengen abdecken.

  Dennoch kannst du, um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, nicht einfach beide Mengen addieren. Du musst alle Elemente einmal aussortieren, die in beiden Mengen jeweils vorkommen. Dazu ein Beispiel: Die Menge $A$ besteht aus den Zahlen $1$, $2$, $3$, $4$ sowie $5$ und die Menge $B$ aus den Zahlen $4$, $5$, $6$ und $7$:

  $A=\{ 1, 2; 3; 4; 5\}$ $B=\{ 4; 5; 6; 7\}$

  Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ enthält die sieben Elemente $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ und $7$. Die Elemente $4$ und $5$ dürfen also nicht doppelt verwendet werden:

  $A \cup B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}$

  Übrigens: Das in der Definition verwendete „oder” ist kein ausschließendes „oder”, wie oft im alltäglichen Sprachgebrauch verwendet, wie z.B. bei „Bleib stehen oder ich schieße.”. Stattdessen meint es beides, also ein „oder” im Sinne von „oder auch”, wie z.B. bei „Mein Lieblingsessen ist Spagetti Bolognese oder Carbonara.”

• Entscheide, welche Aussagen in Bezug auf die Vereinigungsmenge zutreffen.

  Tipps

  Die Vereinigungsmenge zweier Mengen, von denen genau eine die leere Menge ist, entspricht der nichtleeren Menge.

  Du kannst immer zunächst die Elemente zweier Mengen zusammenpacken und dann die Elemente, die mehrfach vorkommen, wieder aussortieren.

  Lösung

  Um die Vereinigungsmenge zweier Mengen zu bestimmen, packst du einfach alle Elemente der einen Menge mit den Elementen der anderen Menge zusammen. Dann entfernst du alle Elemente, die mehrfach vorkommen, denn kein Element darf in der Vereinigungsmenge mehrfach auftreten:

  • Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ enthält also die Elemente $r$, $s$, $x$ und $y$; also insgesamt vier Elemente.
  • Die Mengen $C$ und $D$ sind identisch: Die Vereinigungsmenge fällt also „zusammen” und entspricht jeder einzelnen Menge. Bei zwei identischen Mengen musst du also alle Elemente einer der beiden Mengen wieder aussortieren, nachdem diese „zusammengepackt” worden sind: Somit bleiben nur die Elemente einer Menge erhalten.
  • Die Vereinigung der Mengen $A$ und $E$ stellt einen Sonderfall dar: Die leere Menge $E$ besteht ja aus keinem Element, so dass die Vereinigungsmenge dann dem Inhalt der Menge $A$ entspricht.

• Entscheide, welche Aussagen in Bezug auf die Vereinigungsmenge zutreffen.

  Tipps

  Du kannst auch ein Venn-Diagramm, auch Mengendiagramm genannt, nutzen. Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in $F$ oder in $G$ oder in $H$ vorkommen. Hierbei ist ein nicht ausschließendes Oder gemeint.

  Die Vereinigungsmenge darf keine Elemente mehrfach enthalten, muss aber alle Elemente der einzelnen Mengen beinhalten, also die Elemente der Mengen $F$, $G$ und $H$.

  Lösung

  Anschaulich kannst du dir die Vereinigungsmenge $F\cup G\cup H$ folgendermaßen vorstellen: Du packst alle Elemente von $F$, $G$ und $H$ zusammen und entfernst alle Elemente, die mehrfach vorkommen, denn kein Element darf in der Vereinigungsmenge mehrfach vorkommen.

  Die Vereinigungsmenge $F \cup G \cup H$ enthält also die Elemente 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10, also insgesamt zehn Elemente.

• Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten aus einem Skatblatt ein rote Karte oder eine Lusche zu ziehen.

  Tipps

  Um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, musst du alle Elemente, die doppelt sind, „aussortieren”.

  Du kannst auch erst die Anzahl aller roten Elemente bestimmen, dazu die Anzahl aller Luschen addieren und anschließend die Anzahl der Karten, die beide Merkmale in sich vereinigen, von dieser Summe abziehen.

  Die Anzahl der Luschen ergibt sich aus den drei Luschen Karten jeder Farbe.

  Die Anzahl der roten Karten entspricht der Summe von Herz- und Karokarten.

  Lösung

  Die Menge $R$ der rote Karten besteht aus 16 Elementen, denn für die Farben Herz und Karo gibt es jeweils 8 Karten.

  Die Menge $L$ der Luschen besteht aus $4\cdot 3=12$ Elementen, denn für jede der vier Farben gibt es die drei Luschen 7, 8 und 9.

  Nun kannst du nicht einfach 16 und 12 addieren, sonst würdest du diejenigen Elemente doppelt zählen, die sowohl in $R$ als auch in $L$ vorkommen. Diese Elemente lauten:

  $R\cap L=\{ \text{Pik 7}, \text{Pik 8}, \text{Pik 9}, \text{Kreuz 7}, \text{Kreuz 8}, \text{Kreuz 9} \}$.

  Damit gibt es also insgesamt $16+12-6=22$ Karten, die rot oder eine Lusche sind.

• Bestimme die Vereinigungsmenge der Mengen A und B.

  Tipps

  Sortiere zunächst alle Elemente aus, die zu keiner der beiden gegebenen Mengen gehören.

  Die Vereinigungsmenge umfasst alle Zahlen, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen.

  Die Vereinigungsmenge darf das gleiche Element nicht mehrfach enthalten.

  Lösung

  Die Zahlen 1 und 7 kannst du „aussortieren”, da diese weder Element von A noch von B sind.

  Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ enthält dann nur noch die Elemente 2, 3, 4 und 9, also insgesamt vier Elemente.

  Du kannst die Anzahl der Elemente der Vereinigungsmenge auch folgendermaßen berechnen:

  $\text{Anzahl der Elemente in }A$ $+\text{Anzahl der Elemente in }B$ $-\text{Anzahl der Elemente in } A \cap B$ $=2+3-1=4$.

  Du musst also die Schnittmenge in Abzug bringen, denn die Vereinigungsmenge darf keine doppelten Elemente enthalten: Die Zahl 4 darf also nicht zweimal gezählt werden.

• Ermittle die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ beim einmaligem zufälligen Ziehen aus einem Skatblatt einen König oder eine Herzkarte zu ziehen.

  Tipps

  Das „oder” in der Aufgabenstellung zeigt dir an, dass hier zunächst die Vereinigungsmenge der Menge der Herzkarten mit der Menge der Karten mit Königen bestimmt werden muss.

  Die Wahrscheinlichkeit berechnest du dann wie folgt:

  $P(E)= \frac{|E|}{|\Omega |}$

  $|E|$ steht hier für die Anzahl der Elemente der gefragten Vereinigungsmenge, während $|\Omega |$ die Gesamtzahl aller Karten widerspiegelt.

  Lösung

  Die Menge der vier Karten mit einem König $K$ lässt sich wie folgt beschreiben:

  $K=\big\{\text{König Karo; König Herz; König Pik; König Kreuz}\big\}$

  Die Menge der acht Herzkarten $H$ kann so dargestellt werden:

  $H=\big\{\text{Herz 7; Herz 8; Herz 9; ... ; Herz Ass}\big\}$

  Um nun die Vereinigungsmenge $E$ zu bestimmen, packst du alle Elemente der Mengen $H$ und $K$ zunächst zusammen.

  Dann werden alle doppelten Elemente einfach „aussortiert”:

  $E=\big\{\text{Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 10; Herz Bube; Herz Dame; Herz König; Herz Ass; König Karo; }$

  $\text{König Pik; König Kreuz}\big\}$

  Es verbleiben letztlich also noch elf Elemente in der Vereinigungsmenge.

  Die Wahrscheinlichkeit berechnest du dann mit $P(E)= \frac{|E|}{|\Omega |}$. $|E|$ steht hier für die Anzahl der Elemente der gefragten Vereinigungsmenge, während $|\Omega |$ die Gesamtzahl aller Karten widerspiegelt.

  Es ist also $P(E)= \frac{11}{32} = 0,34375$.

  Die Chance auf einen König oder eine Herzkarte liegt demnach bei ca. $34~\%$.