Teilbarkeit – Einführung

Teilbarkeit – Einführung Übung

• Gib die Definition der Teilbarkeit einer Zahl an.

  Tipps

  Teilbarkeit überprüfen bedeutet, dass du schauen sollst, ob eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl ohne Rest zu dividieren ist.

  Zum Beispiel ist $15 : 3$ ohne Rest zu teilen, denn $15:3=5$. Aber $15 : 4$ ist nicht ohne Rest zu teilen, denn $15:4=3$ Rest $3$. Man sagt $15$ ist nicht durch $4$ teilbar.

  Lösung

  Ob eine natürliche Zahl durch eine andere teilbar ist, kann man mittels Division prüfen. Die Division durch eine natürliche Zahl kann entweder aufgehen (es bleibt kein Rest) oder sie geht nicht auf (es bleibt ein Rest). Wenn eine Zahl ohne Rest durch eine natürliche Zahl (Divisor) dividiert werden kann, nennt man diese Zahl "teilbar" durch den Divisor.

  Geht die Division auf, wie zum Beispiel bei $16 : 8 = 2$, sagen wir $16$ ist durch $8$ teilbar.

  Oder anders ausgedrückt: $8$ ist Teiler von $16$.

  Bleibt bei der Division ein Rest, wie zum Beispiel bei $16 : 7 = 2$ Rest $2$, sagen wir $16$ ist nicht teilbar durch $7$.

  Oder anders ausgedrückt: $7$ ist kein Teiler von $16$.

• Vervollständige die Angaben zur Teilbarkeit.

  Tipps

  Gehe in Gedanken die einzelnen Reihen durch und überprüfe, ob zum Beispiel die $32$ in der $8$er Reihe vorkommt.

  Die $9$ kommt zum Beispiel in der $3$er Reihe vor $\rightarrow 3, 6, 9, 12 ...$. Daher gilt: $3 \mid 9$

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe musst du prüfen, ob die linke Zahl ohne Rest durch eine rechte Zahl teilbar ist.
  Das Zeichen $\mid$ heißt "teilt" und $\nmid$ heißt "teilt nicht".

  • $8 \mid 32$, da $32 : 8 = 4$
  • $3 \mid 12$, da $12 : 3 = 4$
  • $7 \mid 35$, da $35 : 7 = 5$
  • $17 \mid 17$, da $17 : 17 = 1$

  Hingegen gilt:
  $13 \nmid 32$, denn $32:13 = 2$ Rest $6$
  $8 \nmid 12$, denn $12:8 = 1$ Rest $4$
  $13 \nmid 35$, denn $35:13 = 2$ Rest $9$
  $7 \nmid 17$, denn $17:7 = 2$ Rest $3$
  usw.

• Entscheide, von welcher Zahl die jeweilige Zahl ein Teiler ist.

  Tipps

  Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ oder $5$ ist. Zum Beispiel $15$.

  Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn ihre letzten zwei Ziffern durch $4$ teilbar sind. Zum Beispiel $112$.

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch eine anderen Zahl teilbar ist, muss sie ohne Rest dividiert werden können.

  Diese Zahlen sind durch $5$ teilbar:

  • $25$, da $25 : 5 = 5$
  • $55$, da $55 : 5 = 11$
  • $30$, da $30 : 5 = 7$

  Diese Zahlen sind durch $4$ teilbar:

  • $12$, da $12 : 4 = 3$
  • $64$, da $64 : 4 = 16$
  • $176$, da $176 : 4 = 44$

  Diese Zahlen sind durch $7$ teilbar:

  • $49$, da $49 : 7 = 7$
  • $91$, da $91 : 7 = 13$
  • $119$, da $119 : 7 = 47$

  Hinweis: Theoretisch können auch mehrere Zahlen Teiler einer Zahl sein, das tritt in dieser Aufgabe allerdings nicht auf.

• Bestimme alle Teiler der Zahl.

  Tipps

  Um alle Teiler einer Zahl bestimmen zu können, helfen dir die Teilbarkeitsregeln. Zum Beispiel sind alle geraden Zahlen durch $2$ teilbar. Oder alle Zahlen, die eine $0$ oder $5$ am Ende haben, sind durch $5$ teilbar. So kannst du Schritt für Schritt alle Zahlen von der $1$ bis zu der jeweiligen Zahl durchgehen und überprüfen.

  Jede Zahl ist durch $1$ und sich selbst teilbar.

  Lösung

  Um alle Teiler zu finden, helfen dir die Teilbarkeitsregeln. Jede Zahl hat immer mindestens 2 Teiler: Die $1$ und sich selbst. Bei den restlichen Teilern musst du prüfen, welche Zahlen ohne Rest zu dividieren sind.

  $\mathbf{8}$ hat die Teiler $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{4}$ und $\mathbf{8}$:

  • $8:1=8$
  • $8:2=4$
  • $8:4=2$
  • $8:8=1$

  $\mathbf{36}$ hat die Teiler $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{3}$, $\mathbf{4}$, $\mathbf{6}$, $\mathbf{9}$, $\mathbf{12}$, $\mathbf{18}$ und $\mathbf{24}$:

  • $36:1=36$
  • $36:2=18$
  • $36:3=12$
  • $36:4=9$
  • $36:6=6$
  • $36:9=4$
  • $36:12=3$
  • $36:18=2$
  • $36:36=1$

  $\mathbf{71}$ hat die Teiler $\mathbf{1}$ und $\mathbf{71}$:

  • $71:1=71$
  • $71:71=1$

• Gib an, welche Aussagen zur Teilbarkeit richtig sind.

  Tipps

  Das Wort "gerecht" meint hier teilen ohne Rest.

  Überlege, welche Teiler die Zahl $16$ hat. Zum Beispiel kann man die $16$ ohne Rest durch die $2$ teilen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  • Man kann die Kekse gerecht auf $4$ Kinder verteilen.

  $\rightarrow~4$ ist durch $16$ teilbar, da $16 : 4 = 4$

  • Man kann die Kekse gerecht auf $8$ Kinder verteilen.

  $\rightarrow~8$ ist durch $16$ teilbar, da $16 : 8 = 2$

  Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

  • Man kann die Kekse gerecht auf $3$ Kinder verteilen.

  $\rightarrow~3$ ist nicht durch $16$ teilbar, da $16 : 3 = 5$ Rest $1$

  • Man kann die Kekse gerecht auf $5$ Kinder verteilen.

  $\rightarrow ~5$ ist nicht durch $16$ teilbar, da $16 : 5 = 3$ Rest $1$

• Ermittle, welche Zahlen die Bedingungen erfüllen.

  Tipps

  Ermittle alle Teiler der Zahl $54$. Überprüfe, durch welche Zahlen, sie ohne Rest teilbar ist.
  Zum Beispiel teilt $3$ die $54$, da $54:3=18$.

  Ermittle zuerst alle Teiler von $35$ und anschließend alle Teiler von $42$, markiere nur diejenigen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

  Nicht alle möglichen Lösungen sind in der Zahlenreihe aufgeführt. Es können daher jeweils nur die Zahlen markiert werden, welche aufgeführt sind.

  Lösung

  Um alle Teiler einer Zahl zu ermitteln, muss man alle Zahlen finden, die durch die Zahl ohne Rest teilbar sind.

  $\mathbf{54}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{3}$, $\mathbf{6}$, $\mathbf{9}$, $\mathbf{18}$, $\mathbf{27}$, $\mathbf{54}$
  $\rightarrow$ Also werden $3, 6, 9,18, 27$ grün markiert.

  $\mathbf{35}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{5}$, $\mathbf{7}$, $\mathbf{35}$
  $\mathbf{42}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{3}$, $\mathbf{6}$, $\mathbf{7}$, $\mathbf{14}$, $\mathbf{21}$, $\mathbf{42}$
  $\rightarrow$ Die Zahlen $35$ und $42$ haben die $1$ und die $7$ als gemeinsamen Teiler. Die $7$ wird mit gelb markiert.

  $\mathbf{40}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{4}$, $\mathbf{5}$, $\mathbf{8}$, $\mathbf{10}$, $\mathbf{20}$, $\mathbf{40}$
  $\mathbf{20}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{4}$, $\mathbf{5}$, $\mathbf{10}$, $\mathbf{20}$
  $\rightarrow$ Die Zahlen $8$ und $40$ sind Teiler von $40$, aber kein Teiler von $20$. Sie werden blau markiert.

  Hinweis: Nicht alle möglichen Lösungen sind in der Zahlenreihe aufgeführt. Es können daher jeweils nur die Zahlen markiert werden, welche aufgeführt sind.