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Teilbarkeit – Einführung

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Team Digital
Teilbarkeit – Einführung
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Teilbarkeit – Einführung

Inhalt

Einführung: Teilbarkeit

Die Teilbarkeit spielt nicht nur in der Mathematik eine wichtige Rolle. Auch im Alltag ist es gut zu wissen, welche Zahl sich wie teilen lässt. Aber welche Zahlen sind überhaupt teilbar und welche Teilbarkeitsregeln gibt es? In diesem Text wird die Teilbarkeit einfach erklärt.

Division mit und ohne Rest

Die Division durch eine natürliche Zahl kann aufgehen oder nicht aufgehen. Geht sie auf, so gibt es keinen Rest. Geht sie nicht auf, so bleibt ein Rest über. Schauen wir uns als Beispiel an, wie man die $16$ teilen kann. Teilt man die $16$ durch $8$, so erhält man:

$16:8=2$

Teilen wir $16$ durch $8$, so geht die Rechnung ohne Rest auf.

  • Wir sagen: $\it{16}$ ist durch $\it{8}$ teilbar.
  • Oder: $\it{8}$ ist ein Teiler von $\it{16}$.

Wollen wir die $16$ nun durch $5$ teilen, so wird es etwas schwieriger. Wir können die $15$ auf $5$ aufteilen und erhalten $3$. Es bleibt jedoch noch $1$ übrig. Das ist der Rest.

$16:5= 3 \,\text{Rest} \,1$

Bei der Rechnung $16$ geteilt durch $5$ handelt es sich um eine Division mit Rest.

  • Wir sagen: $\it{16}$ ist nicht durch $\it{5}$ teilbar.
  • Oder: $\it{5}$ ist kein Teiler von $\it{16}$.

Wann ist eine Zahl teilbar?

Betrachten wir zunächst die Begriffe Vielfaches und Teiler. Beide Begriffe hängen eng miteinander zusammen. So ist eine Zahl genau dann ein Teiler einer anderen Zahl, wenn diese ein Vielfaches der Zahl ist.

Die $3$ ist ein Teiler der $12$, weil die $12$ ein Vielfaches der $3$ ist.

$12:3 = 4$
$3 \cdot 4 = 12$

  • Eine natürliche Zahl, die eine Zahl ohne Rest teilt, wird Teiler genannt.

So ist die $7$ ein Teiler der $35$.

$35:7=5$

Ist eine Zahl ein Teiler einer anderen, so kann das durch einen senkrechten Strich zwischen den beiden Zahlen symbolisiert werden.

$7 \mid 35$

  • Gelesen wird das als: $\it{7}$ teilt $\it{35}$.

Ist eine Zahl kein Teiler einer anderen, so kann das durch einen durchgestrichenen senkrechten Strich zwischen den beiden Zahlen symbolisiert werden.

$4 \nmid 35$

  • Gelesen wird das als: $\it{4}$ teilt $\it{35}$ nicht.

Allgemeine Teilbarkeitsregeln sind zudem:

  • Jede natürliche Zahl ist durch $\bf{1}$ teilbar.
  • Jede natürliche Zahl (außer die $0$) ist durch sich selbst teilbar.

Da dies immer gilt, werden diese beiden Teiler auch triviale Teiler genannt. Der Begriff „trivial“ kommt aus dem Lateinischen und kann mit „offensichtlich“ übersetzt werden.

Zusammenfassung: Was ist Teilbarkeit?

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Thema Teilbarkeit zusammen.

  • Eine natürliche Zahl, die eine Zahl ohne Rest teilt, wird Teiler genannt.
  • Die Kurzschreibweise ist: $7 \mid 35$ und wird gelesen als $\it{7}$ teilt $\it{35}$.
  • Jede natürliche Zahl ist durch $1$ teilbar.
  • Jede natürliche Zahl (außer die $0$) ist durch sich selbst teilbar.

Es gelten zudem bei bestimmten Zahlen verschiedene Teilbarkeitsregeln. Dabei gelten einfache Regeln für die Teilbarkeit der 3, 6 und 9, die Teilbarkeit der 2, 5 und 10, die Teilbarkeit der 4 und 8 sowie die Teilbarkeit von Summen und Produkten. Zusätzlich zum Video und dem Text findest du bei sofatutor noch Übungen zum Thema Teilbarkeit.

Transkript Teilbarkeit – Einführung

Kekse! Wer kann da schon widerstehen? Stell dir vor, du hast sechzehn Kekse und kannst die auf dich und deine Freunde aufteilen! Ja schon klar, „teilen“ ist vielleicht nicht das Erste, was einem da in den Sinn kommt. Aber damit es nicht zu gewalttätigen Szenen kommt, muss es natürlich gerecht zugehen und jeder soll gleich viele bekommen! Auf wie viele Personen kannst du die Kekse verteilen? Und wie viele Kekse bekommt dann jeder? Um diese Fragen zu beantworten, schauen wir uns die „Teilbarkeit“ von natürlichen Zahlen an. Sechzehn Kekse also. Die kann man zum Beispiel auf vier Personen aufteilen. Dann bekommt jeder vier Stück. Oder man teilt sogar unter insgesamt acht hungrigen Mäulern. Dann bekommt jeder zumindest noch zwei. Wenn man allerdings unter fünf Personen sechzehn Kekse aufteilen möchte, wird es heikel. Nachdem jeder drei bekommen hat, bleibt nur noch einer übrig. Und das bei fünf potenziellen Keksliebhabern. Da ist Streit vorprogrammiert. Aus mathematischer Sicht halten wir fest: Die Division durch eine natürliche Zahl kann entweder aufgehen, es bleibt also kein Rest, oder aber sie geht nicht auf und es bleibt ein Rest. Geht die Division auf, wie bei „sechzehn geteilt durch acht“, sagen wir „sechzehn ist durch acht teilbar“. Oder andersherum ausgedrückt: „acht ist ein Teiler von sechzehn“. Bleibt bei der Division hingegen ein Rest über, wie zum Beispiel bei „sechzehn geteilt durch sieben“, ist die Sachlage eine andere. Wir sagen: sechzehn ist nicht durch sieben teilbar, beziehungsweise sieben ist kein Teiler der sechzehn. Der Begriff „Teiler“ ist eng mit dem Begriff „Vielfaches“ verknüpft. Denn eine natürliche Zahl – wie zum Beispiel drei – ist genau dann ein Teiler einer anderen Zahl – wie zum Beispiel zwölf – wenn die andere Zahl ein Vielfaches des Teilers ist. Also durch die Multiplikation des Teilers mit einer anderen natürlichen Zahl entsteht. Bis hier hin alles klar? Sehr gut! Das Ganze schreit nach einem Merksatz! Ein Teiler einer Zahl ist eine natürliche Zahl, die diese Zahl ohne Rest teilt. So ist zum Beispiel die sieben ein Teiler der fünfunddreißig. Dafür gibt es, wie fast immer in der Mathematik, auch eine Kurzschreibweise: Der senkrechte Strich zwischen der sieben und der fünfunddreißig zeigt an, dass die sieben ein Teiler der fünfunddreißig ist. Das können wir genauso notieren, wenn wir die fünf als Teiler der fünfunddreißig betrachten, und lesen: „Fünf teilt Fünfunddreißig.“ Wollen wir hingegen verdeutlichen, dass eine Zahl kein Teiler einer anderen Zahl ist, wie zum Beispiel bei vier und fünfunddreißig, machen wir das, indem wir den senkrechten Strich nochmal durchstreichen. Wir lesen: „Vier teilt fünfunddreißig nicht“. Ein paar Beispiele zum Üben. Hier siehst du ein paar Zahlenpaare. Handelt es sich bei den vorderen Zahlen um einen Teiler der dazugehörenden hinteren Zahl? Was meinst du? Pausiere das Video kurz und überlege selbst, welches Zeichen du zwischen die Zahlen eintragen würdest. Hier sind die geordneten Lösungen! Zwei Dinge können wir noch festhalten. Jede natürliche Zahl ist durch eins teilbar. So wie in diesem Beispiel. Außerdem ist auch jede natürliche Zahl ein Teiler von sich selbst. So wie hier. Da dies immer der Fall ist, nennen wir diese beiden Teiler auch die trivialen Teiler. Für die, die es ganz genau wissen wollen: „Trivial“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie „offensichtlich“. Wir fassen zusammen: Ein Teiler einer Zahl ist eine natürliche Zahl, die diese Zahl ohne Rest teilt. So ist zum Beispiel die sieben ein Teiler der fünfunddreißig. Wir schreiben das so. Und lesen: „Sieben teilt fünfunddreißig.“ Und die Kekse? Können wir die jetzt endlich mal aufteilen? Ach, die sind schon weg. War ja klar! Was würdest du denn gerne mal teilen? Teile es uns gerne mit!

11 Kommentare

11 Kommentare
  1. cooles Viedeo

    Von Leo, vor 15 Tagen
  2. Tolles Video!!!

    Von Karlotta, vor etwa einem Monat
  3. Um die Frage zu beantworten kauf doch einfach mehr Kekse

    Von Ratte, vor etwa einem Monat
  4. Gutes Vidio!!!

    Von Puni 123, vor etwa 2 Monaten
  5. danke für das video

    Von Rida, vor 3 Monaten
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Teilbarkeit – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Teilbarkeit – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definition der Teilbarkeit einer Zahl an.

    Tipps

    Teilbarkeit überprüfen bedeutet, dass du schauen sollst, ob eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl ohne Rest zu dividieren ist.

    Zum Beispiel ist $ 15 : 3 $ ohne Rest zu teilen, denn $15:3=5$. Aber $ 15 : 4 $ ist nicht ohne Rest zu teilen, denn $15:4=3$ Rest $3$. Man sagt $15$ ist nicht durch $4$ teilbar.

    Lösung

    Ob eine natürliche Zahl durch eine andere teilbar ist, kann man mittels Division prüfen. Die Division durch eine natürliche Zahl kann entweder aufgehen (es bleibt kein Rest) oder sie geht nicht auf (es bleibt ein Rest). Wenn eine Zahl ohne Rest durch eine natürliche Zahl (Divisor) dividiert werden kann, nennt man diese Zahl "teilbar" durch den Divisor.

    Geht die Division auf, wie zum Beispiel bei $ 16 : 8 = 2 $, sagen wir $16$ ist durch $8$ teilbar.

    Oder anders ausgedrückt: $8$ ist Teiler von $16$.

    Bleibt bei der Division ein Rest, wie zum Beispiel bei $16 : 7 = 2 $ Rest $ 2 $, sagen wir $16$ ist nicht teilbar durch $7$.

    Oder anders ausgedrückt: $7$ ist kein Teiler von $16$.

  • Vervollständige die Angaben zur Teilbarkeit.

    Tipps

    Gehe in Gedanken die einzelnen Reihen durch und überprüfe, ob zum Beispiel die $32$ in der $8$er Reihe vorkommt.

    Die $9$ kommt zum Beispiel in der $3$er Reihe vor $ \rightarrow 3, 6, 9, 12 ...$. Daher gilt: $ 3 \mid 9$

    Lösung

    Bei dieser Aufgabe musst du prüfen, ob die linke Zahl ohne Rest durch eine rechte Zahl teilbar ist.
    Das Zeichen $ \mid $ heißt "teilt" und $ \nmid $ heißt "teilt nicht".

    • $ 8 \mid 32 $, da $ 32 : 8 = 4 $
    • $ 3 \mid 12 $, da $ 12 : 3 = 4 $
    • $ 7 \mid 35 $, da $ 35 : 7 = 5 $
    • $ 17 \mid 17 $, da $ 17 : 17 = 1 $
    Hingegen gilt:
    $ 13 \nmid 32$, denn $32:13 = 2$ Rest $6$
    $ 8 \nmid 12$, denn $12:8 = 1$ Rest $4$
    $ 13 \nmid 35$, denn $35:13 = 2$ Rest $9$
    $ 7 \nmid 17$, denn $17:7 = 2$ Rest $3$
    usw.

  • Entscheide, von welcher Zahl die jeweilige Zahl ein Teiler ist.

    Tipps

    Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ oder $5$ ist. Zum Beispiel $15$.

    Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn ihre letzten zwei Ziffern durch $4$ teilbar sind. Zum Beispiel $112$.

    Lösung

    Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch eine anderen Zahl teilbar ist, muss sie ohne Rest dividiert werden können.

    Diese Zahlen sind durch $5$ teilbar:

    • $ 25 $, da $ 25 : 5 = 5 $
    • $ 55 $, da $ 55 : 5 = 11 $
    • $ 30 $, da $ 30 : 5 = 7 $
    Diese Zahlen sind durch $4$ teilbar:

    • $ 12 $, da $ 12 : 4 = 3 $
    • $ 64 $, da $ 64 : 4 = 16 $
    • $ 176 $, da $ 176 : 4 = 44 $
    Diese Zahlen sind durch $7$ teilbar:

    • $ 49 $, da $ 49 : 7 = 7 $
    • $ 91 $, da $ 91 : 7 = 13 $
    • $ 119 $, da $ 119 : 7 = 47 $
    Hinweis: Theoretisch können auch mehrere Zahlen Teiler einer Zahl sein, das tritt in dieser Aufgabe allerdings nicht auf.

  • Bestimme alle Teiler der Zahl.

    Tipps

    Um alle Teiler einer Zahl bestimmen zu können, helfen dir die Teilbarkeitsregeln. Zum Beispiel sind alle geraden Zahlen durch $2$ teilbar. Oder alle Zahlen, die eine $0$ oder $5$ am Ende haben, sind durch $5$ teilbar. So kannst du Schritt für Schritt alle Zahlen von der $1$ bis zu der jeweiligen Zahl durchgehen und überprüfen.

    Jede Zahl ist durch $1$ und sich selbst teilbar.

    Lösung

    Um alle Teiler zu finden, helfen dir die Teilbarkeitsregeln. Jede Zahl hat immer mindestens 2 Teiler: Die $1$ und sich selbst. Bei den restlichen Teilern musst du prüfen, welche Zahlen ohne Rest zu dividieren sind.

    $\mathbf{8}$ hat die Teiler $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{4}$ und $\mathbf{8}$:

    • $8:1=8$
    • $8:2=4$
    • $8:4=2$
    • $8:8=1$
    $\mathbf{36}$ hat die Teiler $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{3}$, $\mathbf{4}$, $\mathbf{6}$, $\mathbf{9}$, $\mathbf{12}$, $\mathbf{18}$ und $\mathbf{24}$:

    • $36:1=36$
    • $36:2=18$
    • $36:3=12$
    • $36:4=9$
    • $36:6=6$
    • $36:9=4$
    • $36:12=3$
    • $36:18=2$
    • $36:36=1$
    $\mathbf{71}$ hat die Teiler $\mathbf{1}$ und $\mathbf{71}$:

    • $71:1=71$
    • $71:71=1$
  • Gib an, welche Aussagen zur Teilbarkeit richtig sind.

    Tipps

    Das Wort "gerecht" meint hier teilen ohne Rest.

    Überlege, welche Teiler die Zahl $16$ hat. Zum Beispiel kann man die $16$ ohne Rest durch die $2$ teilen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • Man kann die Kekse gerecht auf $4$ Kinder verteilen.
    $ \rightarrow~4$ ist durch $16$ teilbar, da $16 : 4 = 4 $
    • Man kann die Kekse gerecht auf $8$ Kinder verteilen.
    $ \rightarrow~8$ ist durch $16$ teilbar, da $ 16 : 8 = 2 $

    Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

    • Man kann die Kekse gerecht auf $3$ Kinder verteilen.
    $ \rightarrow~3$ ist nicht durch $16$ teilbar, da $16 : 3 = 5 $ Rest $1$
    • Man kann die Kekse gerecht auf $5$ Kinder verteilen.
    $ \rightarrow ~5$ ist nicht durch $16$ teilbar, da $16 : 5 = 3 $ Rest $1$
  • Ermittle, welche Zahlen die Bedingungen erfüllen.

    Tipps

    Ermittle alle Teiler der Zahl $54$. Überprüfe, durch welche Zahlen, sie ohne Rest teilbar ist.
    Zum Beispiel teilt $3$ die $54$, da $54:3=18$.

    Ermittle zuerst alle Teiler von $35$ und anschließend alle Teiler von $42$, markiere nur diejenigen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

    Nicht alle möglichen Lösungen sind in der Zahlenreihe aufgeführt. Es können daher jeweils nur die Zahlen markiert werden, welche aufgeführt sind.

    Lösung

    Um alle Teiler einer Zahl zu ermitteln, muss man alle Zahlen finden, die durch die Zahl ohne Rest teilbar sind.

    $\mathbf{54}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{3}$, $\mathbf{6}$, $\mathbf{9}$, $\mathbf{18}$, $\mathbf{27}$, $\mathbf{54}$
    $\rightarrow$ Also werden $3, 6, 9,18, 27$ grün markiert.

    $\mathbf{35}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{5}$, $\mathbf{7}$, $\mathbf{35}$
    $\mathbf{42}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{3}$, $\mathbf{6}$, $\mathbf{7}$, $\mathbf{14}$, $\mathbf{21}$, $\mathbf{42}$
    $\rightarrow$ Die Zahlen $35$ und $42$ haben die $1$ und die $7$ als gemeinsamen Teiler. Die $7$ wird mit gelb markiert.

    $\mathbf{40}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{4}$, $\mathbf{5}$, $\mathbf{8}$, $\mathbf{10}$, $\mathbf{20}$, $\mathbf{40}$
    $\mathbf{20}$ hat die Teiler: $\mathbf{1}$, $\mathbf{2}$, $\mathbf{4}$, $\mathbf{5}$, $\mathbf{10}$, $\mathbf{20}$
    $\rightarrow$ Die Zahlen $8$ und $40$ sind Teiler von $40$, aber kein Teiler von $20$. Sie werden blau markiert.

    Hinweis: Nicht alle möglichen Lösungen sind in der Zahlenreihe aufgeführt. Es können daher jeweils nur die Zahlen markiert werden, welche aufgeführt sind.

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