Strahlensätze – Einführung (2)

Strahlensätze – Einführung (2) Übung

• Berechne die fehlende Seitenlänge mit Hilfe des Strahlensatzes.

  Tipps

  Ein Dreieck, dessen drei Seitenlängen vorgegeben sind, ist eindeutig definiert.

  Wäre die Seitenlänge $|\overline{AD}|$ gesucht und alle anderen Seitenlängen bekannt, dann könntest du beispielsweise folgende Verhältnisgleichung nutzen:

  $\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|}=\dfrac{|\overline{AE}|}{|\overline{AC}|}$

  Nutze die gegebenen Relationen, um die Verhältnisgleichung für $|\overline{AE}|$ aufzustellen.

  $\frac{a}{b}=a~\text{:}~b$

  Lösung

  Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

  „Der Strahlensatz lässt sich immer anwenden, wenn zwei Strahlen – also Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt – von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten werden. Hierbei entstehen nämlich immer zwei ähnliche Dreiecke.“

  • Den Winkel am Anfangspunkt der Halbgeraden teilen sich die Dreiecke ohnehin. Da die Geraden parallel sind, sind die anderen Winkel jeweils Stufenwinkel zueinander; deshalb sind auch sie in beiden Dreiecken jeweils gleich.

  „Ähnliche Dreiecke sind Dreiecke, deren dreiWinkel gleich sind. Sie sind nützlich, weil ihre Seitenlängen immer in bestimmten Verhältnissen zueinander stehen. Zum einen ist das Verhältnis zweier beliebiger Seitenlängen eines Dreiecks für alle einander ähnlichen Dreiecke gleich, zum anderen das Verhältnis korrespondierender Seitenlängen zweier Dreiecke.

  • Beispielsweise ist das Verhältnis der roten Seiten beider Dreiecke dasselbe wie das der grünen Seiten beider Dreiecke. Außerdem sind die Verhältnisse zweier Strecken innerhalb eines Dreiecks gleich; beispielsweise das aus grüner und gelber Seitenlänge des großen Dreiecks und das aus grüner und gelber Seitenlänge des kleinen Dreiecks.

  „Das können wir hier nutzen, um die Länge der fehlenden Strecke $|\overline{AE}|$ zu berechnen. Dazu nutzen wir die folgende Verhältnisgleichung:

  $\dfrac{|\overline{AE}|}{|\overline{AC}|}=\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|}$

  Setzen wir die entsprechenden Zahlen ein und stellen nach $|\overline{AE}|$ um, so erhalten wir mit Hilfe des Taschenrechners: $|\overline{AE}|=26$.

  • Um die Gleichung nach $|\overline{AE}|$ umzustellen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $|\overline{AC}|$. Die Zahlen können wir dann in den Taschenrechner eintippen, um das Ergebnis zu erhalten.

• Bestimme, welche Verhältnisgleichungen beim Strahlensatz gelten.

  Tipps

  Suchst du dir zwei Seiten eines Dreiecks aus und setzt sie ins Verhältnis, dann ist das Ergebnis unabhängig davon, ob du dieses Dreieck größer oder kleiner machst, solange du die Winkel beibehältst.

  Das Verhältnis der oberen Seiten beider Dreiecke ist dasselbe wie das Verhältnis ihrer rechten unteren oder linken unteren Seiten.

  Die beiden parallelen Seiten haben das gleiche Verhältnis zueinander wie die beiden Seiten auf dem linken Strahl:

  $\dfrac{|\overline{BC}|}{|\overline{DE}|}=\dfrac{|\overline{AC}|}{|\overline{AE}|}$

  Lösung

  1.: $\dfrac{|\overline{AE}|}{|\overline{AC}|}$

  Das ist das Verhältnis von der linken unteren Seite des großen Dreiecks zur linken unteren Seite des kleinen Dreiecks (gelb). Dieses Verhältnis ist dasselbe wie das der beiden rechten unteren (grün) oder das der beiden oberen Seiten (rot). Wir sehen, dass nur eine dieser Möglichkeiten zur Auswahl steht, und verbinden:

  $\dfrac{|\overline{AE}|}{|\overline{AC}|}=\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|}$

  2.:$\dfrac{|\overline{BC}|}{|\overline{AC}|}$

  Hier wird der Quotient aus zwei Seitenlängen eines Dreiecks, nämlich des kleineren grünen und gelben, gebildet. Dieser Quotient ist derselbe wie der aus den entsprechenden Seiten des größeren Dreiecks, also:

  $\dfrac{|\overline{BC}|}{|\overline{AC}|}=\dfrac{|\overline{DE}|}{|\overline{AE}|}$

  3.:$\dfrac{|\overline{AC}|}{|\overline{AB}|}$

  Auch hier bilden wir wieder das Verhältnis aus zwei Seiten (gelb und rot) des kleineren Dreiecks. Wir setzen also auch die entsprechenden Seiten des größeren Dreiecks ins Verhältnis und erhalten:

  $\dfrac{|\overline{AC}|}{|\overline{AB}|}=\dfrac{|\overline{AE}|}{|\overline{AD}|}$

  4.:$\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{DE}|}$

  Diesmal setzen wir zwei Seiten (rot und grün) des größeren Dreiecks ins Verhältnis. Wählen wir die korrespondierenden Seiten des kleineren Dreiecks, so erhalten wir:

  $\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{DE}|}=\dfrac{|\overline{AB}|}{|\overline{BC}|}$

• Berechne die gesuchte Länge.

  Tipps

  Stelle eine Verhältnisgleichung auf, in der die gesuchte Größe $|\overline{DE}|$ vorkommt.

  Das Verhältnis zweier korrespondierender Seiten ist für alle Seiten gleich.

  Die Verhältnisse zweier verschiedener Seiten eines Dreiecks sind in beiden Dreiecken gleich.

  Lösung

  Um die Länge $|\overline{DE}|$ zu finden, wollen wir eine Verhältnisgleichung aufstellen, in der sowohl diese Länge vorkommt als auch alle anderen Längen bekannt sind. Dafür können wir die folgende Gleichung nutzen:

  $\dfrac{|\overline{DE}|}{|\overline{AD}|}=\dfrac{|\overline{BC}|}{|\overline{AB}|}$

  Die Längen $|\overline{BC}|=8$ und $|\overline{AB}|=10$ sind gegeben. Die Länge $|\overline{AD}|$ können wir als Summe der Längen $|\overline{AB}|$ und $|\overline{BD}|$ berechnen und erhalten $|\overline{AB}|=15$. Nun stellen wir noch nach der gesuchten Länge um und erhalten:

  $|\overline{DE}|=\dfrac{|\overline{BC}|}{|\overline{AB}|}\cdot|\overline{AD}|=\dfrac{8}{10}\cdot 15 = 12$

  Hier sei noch einmal gesagt, dass beim Strahlensatz oft mehrere Wege zum Ziel führen. Genauso gut kannst du hier rechnen:

  $\dfrac{|\overline{DE}|}{|\overline{BC}|}=\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|}$

  Daraus folgt dann:

  $|\overline{DE}|=\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|}\cdot|\overline{BC}|=\dfrac{15}{10}\cdot 8=12$

  Die Länge $|\overline{CE}|$ berechnen wir, indem wir $|\overline{AE}|$ berechnen und $|\overline{AC}|$ davon abziehen. Hierfür können wir beispielsweise folgendermaßen vorgehen:

  $\begin{array}{ll} & \dfrac{|\overline{AE}|}{|\overline{AC}|}=\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|}\\ \Longrightarrow \quad & |\overline{AE}|=\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|}\cdot |\overline{AC}|\\ \Longrightarrow \quad & |\overline{AE}|=\dfrac{15}{10}\cdot 9 = 13,5 \end{array}$

  Damit erhalten wir:

  $ |\overline{CE}|=|\overline{AE}|-|\overline{AC}|=13,5-9=4,5$

• Untersuche, welche Streckenlängen du mit den gegebenen Formeln ausrechnen kannst.

  Tipps

  Stelle jeweils die Verhältnisgleichung auf und stelle diese nach der gesuchten Länge um. (Es gibt jeweils mehr als nur eine mögliche Verhältnisgleichung; probiere herum, bis du die passende findest.)

  Die Strecken zwischen Parallelen lassen sich nicht direkt über Verhältnisgleichungen ausrechnen.

  Lösung

  Durch Auf- und Umstellen der Verhältnisgleichungen erhältst du Ausdrücke für die gesuchten Größen. Da für jede Strecke mehrere Verhältnisgleichungen existieren, kann es passieren, dass du erst herumprobieren musst, bis du die passende findest.

  Beginnen wir mit der Strecke $|\overline{AB}|$. Die Verhältnisgleichung, die wir hier nutzen können, ist die folgende:

  $\dfrac{|\overline{AB}|}{|\overline{AC}|}=\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AE}|}$

  Daraus erhalten wir durch Multiplikation mit $|\overline{AC}|$ auf beiden Seiten:

  $|\overline{AB}|=|\overline{AC}|\cdot\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AE}|}$ (grün)

  Auf dieselbe Art erhalten wir auch die übrigen drei Gleichungen:

  $|\overline{AE}|=|\overline{AD}|\cdot\dfrac{|\overline{AC}|}{|\overline{AB}|}$ (gelb)

  $|\overline{BC}|=|\overline{DE}|\cdot\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|}$ (blau)

  $|\overline{DE}|=|\overline{AE}|\cdot\dfrac{|\overline{BC}|}{|\overline{AC}|}$ (violett)

• Benenne die verschiedenen Arten von Winkeln an einer Doppelkreuzung mit parallelen Geraden.

  Tipps

  Zwei Dreiecke sind einander genau dann ähnlich, wenn alle korrespondierenden Winkel jeweils gleich groß sind.

  Der Scheitelwinkel eines Winkels befindet sich an derselben Geradenkreuzung wie der Winkel selbst. Stufenwinkel treten nur an Doppelkreuzungen mit (mindestens) zwei parallelen Geraden auf.

  Hier siehst du ein Paar von Nebenwinkeln.

  Lösung

  Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

  „Wir betrachten zunächst die Schnittpunkte dreier Geraden, von denen zwei parallel sind. Das bedeutet, diese zwei Geraden schneiden sich nie.“

  „An solch einer Doppelkreuzung können wir verschiedene Paare von Winkeln identifizieren, deren Größen auf verschiedene Arten zusammenhängen. Hier siehst du beispielsweise ein Paar von Scheitelwinkeln. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie gleich groß sind. An jeder Einzelkreuzung gibt es zwei Paare dieser Winkel.“

  „Paare von Stufenwinkeln treten nur an den genannten speziellen Doppelkreuzungen auf. Genauso wie bei Scheitelwinkeln sind auch hier die zwei Winkel immer gleich groß. Außerdem gibt es noch Wechselwinkel, die man auch als Stufenwinkel der Scheitelwinkel betrachten kann, und Nebenwinkel, die gemeinsam immer $180^\circ$ ergeben.“

  „Betrachten wir nun diese Figur mit parallelen Geraden, so fällt uns auf: Die Winkel des kleinen und großen Dreiecks sind jeweils Stufenwinkel zueinander. Deshalb müssen sie gleich groß sein, und da dann alle Winkel in beiden Dreiecken gleich groß sind, sind die Dreiecke ähnlich.“

  Diese Ähnlichkeit der Dreiecke ist der Grund dafür, dass der Strahlensatz überhaupt funktioniert. Sie tritt aber nur genau dann ein, wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind. Ansonsten gäbe es keine Stufenwinkel, weswegen die Winkel in den beiden Dreiecken verschieden wären.

• Gib die gesuchten Längen an.

  Tipps

  Achte genau darauf, welche Längen gesucht sind. Eine der Lösungen kannst du nicht nur durch Verhältnisgleichungen erhalten.

  Lösung

  Gesucht sind hier die Längen $|\overline{AF}|$, $|\overline{EG}|$ und $|\overline{DF}|$. Die Länge $|\overline{AF}|$ können wir direkt durch eine Verhältnisgleichung ausrechnen, indem wir das größte und das kleinste Dreieck betrachten, denn es gilt:

  $\dfrac{|\overline{AF}|}{|\overline{FG}|}=\dfrac{|\overline{AB}|}{|\overline{BC}|}$

  In dieser Gleichung sind alle Größen bis auf die gesuchte gegeben, und durch Umstellen erhalten wir:

  $|\overline{AF}|=|\overline{FG}|\cdot\dfrac{|\overline{AB}|}{|\overline{BC}|}=30\cdot\dfrac{8}{12}=20$

  Um die zweite gesuchte Länge $|\overline{EG}|$ zu erhalten, benötigen wir die Längen $|\overline{AG}|$ und $|\overline{AE}|$, da wir sie nicht direkt über den Strahlensatz ausrechnen können. Diese Längen erhalten wir durch die folgenden Verhältnisgleichungen:

  $\begin{array}{lll} &\dfrac{|\overline{AE}|}{|\overline{AC}|}&=\dfrac{|\overline{DE}|}{|\overline{BC}|}\\ \Longrightarrow &|\overline{AE}|&=|\overline{AC}|\cdot\dfrac{|\overline{DE}|}{|\overline{BC}|}=10\cdot\dfrac{18}{12}=15 \end{array}$

  $\begin{array}{lll} &\dfrac{|\overline{AG}|}{|\overline{AC}|}&=\dfrac{|\overline{FG}|}{|\overline{BC}|}\\ \Longrightarrow &|\overline{AG}|&=|\overline{AC}|\cdot\dfrac{|\overline{FG}|}{|\overline{BC}|}=10\cdot\dfrac{30}{12}=25 \end{array}$

  Und damit erhalten wir schließlich: $|\overline{EG}|=|\overline{AG}|-|\overline{AE}|=25-15=10$

  Die Strecke $|\overline{DF}|$ erhalten wir schließlich, indem wir die Länge $|\overline{AD}|$ von der vorhin berechneten Länge $|\overline{AF}|$ abziehen. Wir nutzen dazu zunächstad folgende Verhältnisgleichung:

  $\dfrac{|\overline{AD}|}{|\overline{AB}|}=\dfrac{|\overline{BE}|}{|\overline{BC}|}$

  Daraus ergibt sich durch Umstellen und Einsetzen die Länge $|\overline{AD}|=12$, die wir nun von $|\overline{AF}|$ abziehen. Wir erhalten:

  $|\overline{DF}|=20-12=8$

  Auch hier sei noch einmal gesagt, dass die gezeigte Lösung bei Weitem nicht die einzige mögliche ist. Wenn du einen anderen Weg gefunden hast, auf dem du die selben Ergebnisse erhältst, dann hast du (höchstwahrscheinlich) genauso richtig gerechnet.