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Strahlensätze

Strahlensatzfigur, Strahlenabschnitt, Parallelenabschnitt, Strahlensätze an sich schneidenden Geraden

Einleitung Strahlensätze

Die Strahlensätze gehören zu den wichtigsten Lehrsätzen der Geometrie. Sie bilden die Grundlage der zentrischen Streckung, einer der zentralen Ähnlichkeitsabbildungen.

Die Strahlensätze basieren auf der Grundkonstruktion, dass zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten werden. Dadurch werden die Strahlen in verschiedene Abschnitte unterteilt, über deren Verhältnisse die Strahlensätze verschiedene Aussagen formulieren.

Erster Strahlensatz

Werden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Längen der Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.

Strahlensatzfigur mit Geraden auf einer Seite des Scheitelpunktes

Du kannst auf jedem Strahl zwei Abschnitte ablesen: zwischen $S$ und $A$ sowie $S$ und $A'$ bzw. zwischen $S$ und $B$ sowie $S$ und $B'$. In Formeln lässt sich also die Aussage formulieren:

$\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}}=\frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$

Beispiel zum ersten Strahlensatz

Gilt für die Strecken einer Strahlensatzfigur beispielsweise

$\overline{SA}=2~\text{cm},~\overline{SB}=4~\text{cm},~\overline{SA'}=6~\text{cm}$

dann berechnet sich der fehlende Abschnitt zu

$\overline{SB'}=\overline{SB}\cdot\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}}= 4~\text{cm}\cdot\frac{6~\text{cm}}{2~\text{cm}}=12~\text{cm}$

Den ersten Strahlensatz kannst du auch auf die anderen Abschnitte der Strahlen erweitern, also diejenigen, die nicht in S beginnen. Demnach gilt zusätzlich:

$\frac{\overline{SA}}{\overline{AA'}}=\frac{\overline{SB}}{\overline{BB'}} \text{ und } \frac{\overline{SA'}}{\overline{AA'}}=\frac{\overline{SB'}}{\overline{BB'}}$

Sind z.B.

$\overline{SA}=2,4~\text{cm},~\overline{AA'}=3,2~\text{cm},~\overline{BB''}=3~\text{cm}$

gegeben, dann berechnet sich die fehlende Streckenlänge zu

$\overline{SB}=\overline{BB'}\cdot\frac{\overline{SA}}{\overline{AA'}}= 3~\text{cm}\cdot\frac{2,4~\text{cm}}{3,2~\text{cm}}=2,25~\text{cm}$

Zweiter Strahlensatz

Auch die Abschnitte auf den Parallelen, die das Strahlenpaar schneiden, stehen in bestimmten Verhältnissen zueinander. Diese werden im zweiten Strahlensatz formuliert:

Werden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt S von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Längen der von S ausgehenden Abschnitte auf den Strahlen wie die Längen der zugehörigen Abschnitte auf den Parallelen (siehe Abbildung oben).

In Formeln:

$\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} \text{ und } \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$

Beispiel zum zweiten Strahlensatz

Ein typisches Beispiel für die Anwendung des zweiten Strahlensatzes ist die Bestimmung der Höhe eines Objekts (z. B. eines Turms) durch den Vergleich mit einer bekannten Höhe.

Zweiter Strahlensatz Beispiel 1

Die unbekannte Höhe des Turms kannst du mit Hilfe der Schattenlänge eines Stabes mit einer bekannten Länge (z.B. 1m) bestimmen. Hierzu wird der Stab senkrecht so aufgestellt, dass das Ende seines Schattens mit dem Schattenende des Turms in S zusammenfällt. Nach dem zweiten Strahlensatz verhält sich die unbekannte Höhe des Turms zur Höhe des Stabes wie die Länge des Turmschattens (z.B. 50 m) zur Länge des Stabschattens (z.B. 4 m):

$\frac{\text{Höhe des Turms}}{\text{Länge des Stabs}}= \frac{h_1}{1~ \text{m}}=\frac{50 \text{m}}{4~\text{m}}=12,5$

$\Rightarrow h_1=12,5~\text{m}$

Der Turm ist also 12,5 m hoch.

Gültigkeit der Stahlensätze beidseitig vom Scheitelpunkt

Da wir nur die Längen von Strecken, nicht jedoch ihre Ausrichtung betrachten, gelten beide Strahlensätze auch dann unverändert, wenn die Parallelen auf verschiedenen Seiten des Scheitelpunkts liegen.

Strahlensatzfigur mit Geraden auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunktes

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Strahlensätze (1 Arbeitsblatt)