Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (1)

Strahlensätze – Dreiecksabschnitte (1) Übung

• Benenne die Dreiecksabschnitte, welche zu sehen sind.

  Tipps

  Ein Dreiecksabschnitt liegt dann vor, wenn eine lange Dreiecksseite unterteilt wird in eine kürzere und ein Reststück. Dies ist der Dreiecksabschnitt.

  Bei ähnlichen Dreiecken ist immer eines der Dreiecke kleiner als das andere und kann somit in das andere Dreieck gelegt werden. Je nachdem, wie man das kleinere Dreieck legt, entstehen verschiedene Dreiecksabschnitte.

  Kein Dreiecksabschnitt liegt vor, wenn beide (sowohl die längere als auch die kürzere) Seiten komplett zu sehen sind.

  Lösung

  Als Beispiel ist die Lösung für das untere Bild hier zu sehen.

  Man kann sich zunächst anschauen, zu welcher Seite kein Dreiecksabschnitt zu erkennen ist: Dies ist die rote. Es sind sowohl die längere als auch die kürzere rote Seite zu sehen.

  Somit erkennt man hier einen gelben und einen blauen Dreiecksabschnitt. Diese sind in dem Bild besonders hervorgehoben.

  Ebenso kann man in dem oberen Bild den roten sowie gelben und in dem mittleren Bild den roten sowie blauen Dreiecksabschnitt erkennen.

• Stelle die Gleichungen mit den Dreiecksabschnitten auf.

  Tipps

  Setze jeweils eine kleinere Seite ins Verhältnis zu dem entsprechenden Dreiecksabschnitt.

  Beachte, dass die entsprechenden Seiten (diese sind durch die Farbe zu erkennen) in Relation zueinander gesetzt werden.

  Die Anordnung in Zähler und Nenner muss jeweils übereinstimmen.

  Lösung

  Man kann auch Seitenverhältnisse mit den Dreiecksabschnitten formulieren. Dabei wird zu einer Seite jeweils der kleinere Teil sowie der Abschnitt betrachtet.

  In dem rechten Dreieck gilt: $\frac{\text{kr}}{\text{rA}}=\frac{\text{kb}}{\text{bA}}$.

  In dem linken Dreieck gilt: $\frac{\text{kr}}{\text{rA}}=\frac{\text{kg}}{\text{gA}}$.

• Leite das Seitenverhältnis her.

  Tipps

  Mache dir zunächst klar, wie lang die entsprechenden Seiten oder Dreiecksabschnitte sind.

  Der Abschnitt links unten ist die kleine rote Seite. Dann ist der Teil, welcher diese Seite zu der langen ergänzt, der rote Abschnitt.

  Jetzt musst du dieses Bild noch mit dem obigen abgleichen.

  Lösung

  Die Lösung ist hier zu sehen.

  Zunächst kann man sich klarmachen, welches die kleinen Seiten und welches die zugehörigen Dreiecksabschnitte sind.

  • Die kleine rote Seite ist 4 Einheilten lang, der entsprechende Dreiecksabschnitt 8.
  • Die kleine gelbe Seite ist 6 Einheiten lang, der entsprechende Dreiecksabschnitt 12.

  Dies führt zu der Gleichung $\frac48=\frac 6{12}=\frac12$.

• Ordne der jeweiligen Strahlensatzsituation die Gleichung zu.

  Tipps

  Schaue dir in jedem der Bilder an, welche der Seiten die kleine ist und welches der Dreiecksabschnitt.

  Hier siehst du die entsprechenden Bezeichnungen und Gleichungen.

  Es sind in jedem der Bilder nur die Seiten bezeichnet, um die es geht.

  Lösung

  Zunächst kann man sich bei jeder der gezeigten Situationen anschauen, welche der Seiten die kleine ist und welches der Dreiecksabschnitt.

  Somit kann unter Zuhilfenahme der nebenstehenden Skizze jeweils die Gleichung formuliert werden, von links nach rechts:

  • $\frac ab=\frac cd$
  • $\frac ba=\frac cd$
  • $\frac ba=\frac fe$
  • $\frac eb=\frac fa$

• Gib die Besonderheiten von ähnlichen Dreiecken an.

  Tipps

  Dies ist die Situation eines Strahlensatzes. Dadurch entstehen zwei ähnliche Dreiecke.

  • Das kleinere mit der grünen, der orangen und der blauen Seite und
  • das größere mit den gleichfarbigen Seiten.

  Wenn in zwei Dreiecken die Seitenlängen übereinstimmen, nennt man diese Dreiecke kongruent oder auch deckungsgleich.

  Kongruente Dreiecke sind ein Sonderfall für ähnliche Dreiecke.

  Du kannst dir ähnliche Dreiecke vorstellen wie Dreiecke, die durch Streckung auseinander hervorgehen.

  Die beiden Dreiecke sind maßstabgetreu.

  Lösung

  Was sind ähnliche Dreiecke?

  In ähnlichen Dreiecken stimmen die Seitenverhältnisse überein.

  Dies ist gerade das, was Strahlensätze sagen.

  Zusätzlich haben ähnliche Dreiecke auch noch die Winkel gemeinsam.

  Ein Sonderfall ähnlicher Dreiecke sind kongruente Dreiecke. Kongruent bedeutet deckungsgleich. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie

  • in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS) oder
  • in zwei Seiten und dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel (SWS) oder
  • von einer Seite und den beiden dieser Seite anliegenden Winkeln (WSW).

• Berechne den roten Dreiecksabschnitt sowie die rote Gesamtseite.

  Tipps

  Die mit $x$ bezeichnete Seite ist der rote Dreiecksabschnitt.

  Wenn du dir diese Figur gespiegelt und gedreht vorstellst, hast du die oben zu sehende Situation.

  Die mit $y$ gekennzeichnete Seite ist die lange rote Seite.

  Beachte, es gilt der folgende Strahlensatz:

  $\large{\frac{\text{lange rote}}{\text{kurze rote}}=\frac{\text{lange gelbe}}{\text{kurze gelbe}}}$,

  dabei ist die lange gelbe Seite 20 Einheiten lang.

  Mit diesem Strahlensatz kannst du überprüfen, ob der Wert für $y$ korrekt ist. Du kannst diesen Wert auch damit berechnen.

  Lösung

  Zunächst kann die Länge des roten Dreiecksabschnittes $x$ berechnet werden. Es gilt

  $\frac {3,5}x=\frac5{15}$.

  Zunächst wird der Kehrwert gebildet

  $\frac x{3,5}=\frac{15}5$.

  Nun kann mit $3,5$ multipliziert werden und man erhält

  $x=\frac{15}5\cdot 3,5=3\cdot 3,5=10,5$.

  Die lange rote Seite ergibt sich, indem man die kleine rote und den entsprechenden Dreiecksabschnitt addiert:

  $y=3,5+10,5=14$.

  Nun kann man mit einem bereits bekannten Strahlensatz prüfen, ob dieses Ergebnis stimmt. Es muss gelten

  $\frac{20}5=4=\frac{14}{3,5}$ $\surd$