Stochastische Unabhängigkeit – Musiker

Stochastische Unabhängigkeit – Musiker Übung

• Vervollständige die Vierfeldertafel.

  Tipps

  Rechts unten steht eine $1$ in der Vierfeldertafel. Daran erkennst du, dass du die Prozente als Dezimalbrüche, also Kommazahlen eintragen sollst.

  Es gilt:

  $20\%=0,2$

  Hier siehst du, mit welchen Wahrscheinlichkeiten du die Vierfeldertafel ausfüllen musst.

  Es gilt:

  • $P(EC)=P(EC\cap CP)+P(EC\cap \overline{CP})$
  • $P(\overline{EC})=P(\overline{EC}\cap CP)+P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$

  • $P(CP)=P(EC\cap CP)+P(\overline{EC}\cap CP)$
  • $P(\overline{CP})=P(EC\cap \overline{CP})+P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$

  • $P(CP)+P(\overline{CP})=1$
  • $P(EC)+P(\overline{EC})=1$

  Lösung

  Wir füllen die Vierfeldertafel mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten aus:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & P(EC\cap CP) & P(EC\cap \overline{CP}) & P(EC) \\ \hline \overline{EC} & P(\overline{EC}\cap CP) & P(\overline{EC}\cap \overline{CP}) & P(\overline{EC}) \\ \hline & P(CP) & P(\overline{CP}) & 1 \end{array}$

  Zunächst tragen wir die angegebenen Werte ein:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & P(EC\cap CP) & P(EC\cap \overline{CP}) & \color{#669900}{0,6} \\ \hline \overline{EC} & P(\overline{EC}\cap CP) & \color{#669900}{0,1} & P(\overline{EC}) \\ \hline & \color{#669900}{0,8} & P(\overline{CP}) & 1 \end{array}$

  Es gilt:

  • $1-P(EC)=P(\overline{EC})$
  • $1-P(CP)=P(\overline{CP})$

  Damit folgt:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & P(EC\cap CP) & P(EC\cap \overline{CP}) & 0,6 \\ \hline \overline{EC} & P(\overline{EC}\cap CP) & 0,1 & \color{#669900}{0,4} \\ \hline & 0,8 & \color{#669900}{0,2} & 1 \end{array}$

  Zudem gilt:

  • $P(EC\cap \overline{CP})=P(\overline{CP})-P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$
  • $P(EC\cap CP)=P(EC)-P(EC\cap \overline{CP})$
  • $P(\overline{EC}\cap CP)=P(\overline{EC})-P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$

  Daraus ergibt sich:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & \color{#669900}{0,5} & \color{#669900}{0,1} & 0,6 \\ \hline \overline{EC} & \color{#669900}{0,3} & 0,1 & 0,4 \\ \hline & 0,8 & 0,2 & 1 \end{array}$

• Gib an, ob das Erscheinen der Musiker stochastisch unabhängig ist.

  Tipps

  Nutze eine Vierfeldertafel, um die Wahrscheinlichkeit $P(EC\cap CP)$ zu bestimmen.

  Ist folgende Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ereignisse $A$ und $B$ nicht stochastisch unabhängig:

  • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

  Lösung

  Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

  • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

  Damit müssen wir überprüfen, ob bei uns die folgende Gleichung eine wahre Aussage liefert:

  • $P(EC\cap CP)=P(EC)\cdot P(CP)$

  Folgende Wahrscheinlichkeiten können wir direkt aus der Aufgabenstellung ableiten:

  • $P(EC)=0,6$
  • $P(CP)=0,8$
  • $P(\overline{EC}\cap \overline{CP})=0,1$

  Die Wahrscheinlichkeit $P(EC\cap CP)$ erhalten wir mithilfe einer Vierfeldertafel:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & 0,5 & 0,1 & 0,6 \\ \hline \overline{EC} & & 0,1 & \\ \hline & 0,8 & 0,2 & 1 \end{array}$

  Mit $P(EC\cap CP)=0,5$ folgt:

  • $P(EC\cap CP)=0,5\neq 0,48=P(EC)\cdot P(CP)$

  Damit ist das Erscheinen der Musiker nicht stochastisch unabhängig.

• Untersuche die Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit $P(J\cap T)$ kannst du mithilfe einer Vierfeldertafel bestimmen.

  Sind die Ereignisse $J$ und $T$ stochastisch unabhängig, dann gilt:

  • $P(J\cap T)=P(J)\cdot P(T)$

  Lösung

  Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

  • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

  Damit müssen wir überprüfen, ob bei uns folgende Gleichung eine wahre Aussage liefert:

  • $P(J\cap T)=P(J)\cdot P(T)$

  Folgende Wahrscheinlichkeiten können wir direkt aus der Aufgabenstellung ableiten:

  • $P(J)=0,55$
  • $P(T)=0,4$
  • $P(\overline{J}\cap \overline{T})=0,3$

  Die Wahrscheinlichkeit $P(J\cap T)$ erhalten wir mithilfe einer Vierfeldertafel:

  $\begin{array}{c|c|c|c} & J & \overline{J} & \\ \hline T & 0,25 & 0,15 & 0,4 \\ \hline \overline{T} & & 0,3 & \\ \hline & 0,55 & 0,45 & 1 \end{array}$

  Mit $P(J\cap T)=0,25$ folgt:

  • $P(J\cap T)=0,25\neq 0,22=P(J)\cdot P(T)$

  Damit ist die Abwesenheit von Jana und Timo nicht stochastisch unabhängig.

• Ermittle die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  In dem Grundkurs sitzen insgesamt $24$ Schüler und Schülerinnen.

  Beachte, dass die Tabelle absolute Werte enthält.

  $M$ steht für die Mädchen und $\overline{M}$ für die Jungs.

  Es gibt $6+4=10$ Mädchen in dem Kurs.

  Lösung

  In dem Grundkurs sitzen insgesamt $6+9+4+5=24$ Schüler und Schülerinnen.

  Davon sind $6+4=10$ Mädchen ($M$) und $9+5=14$ Jungs ($\overline{M}$). Es gilt also:

  • $P(M)=\dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12}$
  • $P(\overline{M})=\dfrac{14}{24}=\dfrac{7}{12}$

  Es fahren insgesamt $6+9=15$ Schüler und Schülerinnen mit dem Fahrrad zur Schule:

  • $P(F)=\dfrac{15}{24}=\dfrac{5}{8}$

  Es fahren insgesamt $4+5=9$ Schüler und Schülerinnen nicht mit dem Fahrrad zur Schule:

  • $P(\overline{F})=\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}$

  $6$ Mädchen fahren mit dem Fahrrad zur Schule:

  • $P(M\cap F)=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}$

• Gib die Beziehung für die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse $A$ und $B$ an.

  Tipps

  Die Multiplikation ist kommutativ. Das heißt, dass du die Faktoren vertauschen darfst.

  Lösung

  Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

  • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

  Damit gilt auch:

  • $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A)$

• Bestimme, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mit zwei Würfeln ein Pasch gewürfelt wird, beträgt:

  • $\dfrac 16 \cdot \dfrac 16=\dfrac 1{36}$

  Die Schnittmenge der Ereignisse $A$ und $B$ enthält zwei Ergebnisse, nämlich $(2;2)$ und $(4;4)$.

  Die Ergebnismenge für das Würfeln mit zwei Würfeln enthält $36$ Ergebnisse, nämlich:

  $\Omega = \lbrace(1,1); (1,2); (1,3); ... ; (2,1); (2,2); ... ; (6,6)\rbrace$

  Lösung

  Wir untersuchen nun die folgenden beiden Ereignisse:

  • $A$: Der grüne Würfel zeigt eine $2$ oder eine $4$.
  • $B$: Es wird ein Pasch gewürfelt.

  Jede Augenzahl eines herkömmlichen Würfels fällt mit der Wahrscheinlichkeit $\frac 16$. Die Ergebnismenge für das Würfeln mit zwei Würfeln enthält $36$ Ergebnisse, nämlich:

  $\Omega = \lbrace(1,1); (1,2); (1,3); ... ; (2,1); (2,2); ... ; (6,6)\rbrace$

  Damit gilt für das Ereignis $A$:

  • $P(A)=\dfrac 16+\dfrac 16=\dfrac 26=\dfrac 13$

  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mit zwei Würfeln ein Pasch gewürfelt wird, beträgt $\frac 1{36}$. Es sind insgesamt $6$ verschiedene Pasche möglich. Damit erhalten wir:

  • $P(B)=\dfrac 6{36}=\frac 16$

  Die Schnittmenge der Ereignisse $A$ und $B$ enthält zwei Ergebnisse, nämlich $(2;2)$ und $(4;4)$. Damit gilt:

  • $P(A\cap B)=\dfrac 1{36}+\dfrac 1{36}=\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$

  Damit ist $P(A\cap B)=\frac 1{18}=P(A)\cdot P(B)$. Die Ereignisse $A$ und $B$ sind also stochastisch unabhängig.