Stochastische Unabhängigkeit – Musiker

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Grundlagen zum Thema Stochastische Unabhängigkeit – Musiker
In diesem Video geht es darum zu entscheiden, ob zwei Ereignisse unabhängig sind. Hier ist die Aufgabenstellung: Die Musiker "Bird" (CP) und "Mr Slowhand" (EC) treffen sich öfter montags zu einer Jam-Session im Carlyle. CP ist an 80 % der Montage dort, EC an 60 %. An 10 % aller Montage sind beide nicht dort. Entscheide, ob das Erscheinen der Musiker stochastisch unabhängig ist. Um die gegebenen Daten zu ordnen und schnell unsere Schlüsse daraus ziehen zu können, tragen wir die Angaben aus der Aufgabe in eine Vierfeldertafel ein. Mit der Formel der stochastischen Unabhängigkeit können wir dann die Aufgabe lösen.
Stochastische Unabhängigkeit – Musiker Übung
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Vervollständige die Vierfeldertafel.
TippsRechts unten steht eine $1$ in der Vierfeldertafel. Daran erkennst du, dass du die Prozente als Dezimalbrüche, also Kommazahlen eintragen sollst.
Es gilt:
$20\%=0,2$
Hier siehst du, mit welchen Wahrscheinlichkeiten du die Vierfeldertafel ausfüllen musst.
Es gilt:
- $P(EC)=P(EC\cap CP)+P(EC\cap \overline{CP})$
- $P(\overline{EC})=P(\overline{EC}\cap CP)+P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$
- $P(CP)=P(EC\cap CP)+P(\overline{EC}\cap CP)$
- $P(\overline{CP})=P(EC\cap \overline{CP})+P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$
- $P(CP)+P(\overline{CP})=1$
- $P(EC)+P(\overline{EC})=1$
LösungWir füllen die Vierfeldertafel mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten aus:
$\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & P(EC\cap CP) & P(EC\cap \overline{CP}) & P(EC) \\ \hline \overline{EC} & P(\overline{EC}\cap CP) & P(\overline{EC}\cap \overline{CP}) & P(\overline{EC}) \\ \hline & P(CP) & P(\overline{CP}) & 1 \end{array}$
Zunächst tragen wir die angegebenen Werte ein:
$\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & P(EC\cap CP) & P(EC\cap \overline{CP}) & \color{#669900}{0,6} \\ \hline \overline{EC} & P(\overline{EC}\cap CP) & \color{#669900}{0,1} & P(\overline{EC}) \\ \hline & \color{#669900}{0,8} & P(\overline{CP}) & 1 \end{array}$
Es gilt:
- $1-P(EC)=P(\overline{EC})$
- $1-P(CP)=P(\overline{CP})$
$\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & P(EC\cap CP) & P(EC\cap \overline{CP}) & 0,6 \\ \hline \overline{EC} & P(\overline{EC}\cap CP) & 0,1 & \color{#669900}{0,4} \\ \hline & 0,8 & \color{#669900}{0,2} & 1 \end{array}$
Zudem gilt:
- $P(EC\cap \overline{CP})=P(\overline{CP})-P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$
- $P(EC\cap CP)=P(EC)-P(EC\cap \overline{CP})$
- $P(\overline{EC}\cap CP)=P(\overline{EC})-P(\overline{EC}\cap \overline{CP})$
$\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & \color{#669900}{0,5} & \color{#669900}{0,1} & 0,6 \\ \hline \overline{EC} & \color{#669900}{0,3} & 0,1 & 0,4 \\ \hline & 0,8 & 0,2 & 1 \end{array}$
-
Gib an, ob das Erscheinen der Musiker stochastisch unabhängig ist.
TippsNutze eine Vierfeldertafel, um die Wahrscheinlichkeit $P(EC\cap CP)$ zu bestimmen.
Ist folgende Gleichung nicht erfüllt, so sind die Ereignisse $A$ und $B$ nicht stochastisch unabhängig:
- $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
LösungZwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
- $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
- $P(EC\cap CP)=P(EC)\cdot P(CP)$
- $P(EC)=0,6$
- $P(CP)=0,8$
- $P(\overline{EC}\cap \overline{CP})=0,1$
$\begin{array}{c|c|c|c} & CP & \overline{CP} & \\ \hline EC & 0,5 & 0,1 & 0,6 \\ \hline \overline{EC} & & 0,1 & \\ \hline & 0,8 & 0,2 & 1 \end{array}$
Mit $P(EC\cap CP)=0,5$ folgt:
- $P(EC\cap CP)=0,5\neq 0,48=P(EC)\cdot P(CP)$
-
Untersuche die Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit.
TippsDie Wahrscheinlichkeit $P(J\cap T)$ kannst du mithilfe einer Vierfeldertafel bestimmen.
Sind die Ereignisse $J$ und $T$ stochastisch unabhängig, dann gilt:
- $P(J\cap T)=P(J)\cdot P(T)$
LösungZwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
- $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
- $P(J\cap T)=P(J)\cdot P(T)$
- $P(J)=0,55$
- $P(T)=0,4$
- $P(\overline{J}\cap \overline{T})=0,3$
$\begin{array}{c|c|c|c} & J & \overline{J} & \\ \hline T & 0,25 & 0,15 & 0,4 \\ \hline \overline{T} & & 0,3 & \\ \hline & 0,55 & 0,45 & 1 \end{array}$
Mit $P(J\cap T)=0,25$ folgt:
- $P(J\cap T)=0,25\neq 0,22=P(J)\cdot P(T)$
-
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten.
TippsIn dem Grundkurs sitzen insgesamt $24$ Schüler und Schülerinnen.
Beachte, dass die Tabelle absolute Werte enthält.
$M$ steht für die Mädchen und $\overline{M}$ für die Jungs.
Es gibt $6+4=10$ Mädchen in dem Kurs.
LösungIn dem Grundkurs sitzen insgesamt $6+9+4+5=24$ Schüler und Schülerinnen.
Davon sind $6+4=10$ Mädchen ($M$) und $9+5=14$ Jungs ($\overline{M}$). Es gilt also:
- $P(M)=\dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12}$
- $P(\overline{M})=\dfrac{14}{24}=\dfrac{7}{12}$
- $P(F)=\dfrac{15}{24}=\dfrac{5}{8}$
- $P(\overline{F})=\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}$
- $P(M\cap F)=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}$
-
Gib die Beziehung für die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse $A$ und $B$ an.
TippsDie Multiplikation ist kommutativ. Das heißt, dass du die Faktoren vertauschen darfst.
LösungZwei Ereignisse $A$ und $B$ sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
- $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
- $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A)$
-
Bestimme, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.
TippsDie Wahrscheinlichkeit dafür, dass mit zwei Würfeln ein Pasch gewürfelt wird, beträgt:
- $\dfrac 16 \cdot \dfrac 16=\dfrac 1{36}$
Die Schnittmenge der Ereignisse $A$ und $B$ enthält zwei Ergebnisse, nämlich $(2;2)$ und $(4;4)$.
Die Ergebnismenge für das Würfeln mit zwei Würfeln enthält $36$ Ergebnisse, nämlich:
$\Omega = \lbrace(1,1); (1,2); (1,3); ... ; (2,1); (2,2); ... ; (6,6)\rbrace$
LösungWir untersuchen nun die folgenden beiden Ereignisse:
- $A$: Der grüne Würfel zeigt eine $2$ oder eine $4$.
- $B$: Es wird ein Pasch gewürfelt.
$\Omega = \lbrace(1,1); (1,2); (1,3); ... ; (2,1); (2,2); ... ; (6,6)\rbrace$
Damit gilt für das Ereignis $A$:
- $P(A)=\dfrac 16+\dfrac 16=\dfrac 26=\dfrac 13$
- $P(B)=\dfrac 6{36}=\frac 16$
- $P(A\cap B)=\dfrac 1{36}+\dfrac 1{36}=\dfrac 2{36}=\dfrac 1{18}$

Stochastische Unabhängigkeit – Definition

Stochastische Unabhängigkeit - anschauliche Erklärung

Stochastische Unabhängigkeit

Stochastische Unabhängigkeit und Vierfeldertafel

Stochastische Unabhängigkeit – Musiker

Stochastische Unabhängigkeit – Beispiel Herzdame

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