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Stochastische Unabhängigkeit – Baumdiagramm und Vierfeldertafel
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Grundlagen zum Thema Stochastische Unabhängigkeit – Baumdiagramm und Vierfeldertafel
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, zwei Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit zu überprüfen, indem du ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel nutzt.
Zunächst lernst du, wie du mithilfe von Baumdiagrammen feststellen kannst, ob zwei Ereignisse stochastisch voneinander abhängen. Anschließend siehst du, wie du mithilfe einer Vierfeldertafel auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen kannst.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie stochastische Unabhängigkeit, stochastische Abhängigkeit, Baumdiagramm und Vierfeldertafel.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die Formeln für stochastische Unabhängigkeit kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln haben.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, stochastische Unabhängigkeit in Sachkontexten zu überprüfen.
Transkript Stochastische Unabhängigkeit – Baumdiagramm und Vierfeldertafel
Abhängigkeiten sind im Leben mal mehr und mal weniger offensichtlich. Genauso ist es auch bei Abhängigkeiten, die zwischen Wahrscheinlichkeiten bestehen! Die Wenigsten würden zum Beispiel bestreiten, dass die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Krankheit zu bekommen, sinkt, wenn man sich gegen sie impfen lässt. Aber hängt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man gut und ruhig schläft, mit der Zeit zusammen, die man wöchentlich für's Lernen nutzt? Konstellationen wie diese lassen sich mit der richtigen Datengrundlage auf "stochastische Unabhängigkeit" überprüfen. Um zu untersuchen, ob die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse "A" und "B" gegeben ist, können wir entweder DIESE oder DIESE gleichwertige Voraussetzung überprüfen. Wenn wir festgestellt haben, dass eine der beiden Gleichungen erfüllt ist, ist auch die andere erfüllt und die vorliegenden Ereignisse sind stochastisch UNABHÄNGIG. Im Umkehrschluss gilt auch: Ist eine der beiden Gleichungen NICHT erfüllt, ist auch die andere nicht erfüllt und die Ereignisse sind stochastisch ABHÄNGIG. Die Datengrundlage, mit der wir stochastische Unabhängigkeit überprüfen können, ist häufig in Form eines Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel gegeben. Wie wir aus diesen Darstellungsformen jeweils die benötigten Informationen ziehen und nutzen können, schauen wir uns jetzt mal genauer an. Ein erstes Beispiel: Gegeben ist dieses Baumdiagramm, zu dem wir die Wahrscheinlichkeiten der nicht näher bestimmten Ereignisse "A", "B unter der Bedingung A" sowie "Nicht-A und B" haben. Wir möchten jetzt herausfinden, ob die Ereignisse "A" und "B" stochastisch unabhängig sind. Dafür kann man unterschiedliche Ansätze wählen. Eine Möglichkeit besteht darin, zu überlegen, welche Wahrscheinlichkeiten wir im Baumdiagramm ergänzen können. Zunächst können wir mit Gegenwahrscheinlichkeiten arbeiten und so die Wahrscheinlichkeiten für "nicht-A" und für "nicht-B unter der Bedingung A" ergänzen. Die Wahrscheinlichkeit für "B unter der Bedingung nicht-A" können wir dann mit der "Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit" berechnen. Und wenn wir diese Wahrscheinlichkeit eingetragen haben, können wir auch die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ergänzen. Erkennst du schon, ob die Ereignisse "A" und "B" stochastisch unabhängig sind oder nicht? Weil die bedingten Wahrscheinlichkeiten für "B" in der zweiten Stufe des Baumdiagramms voneinander abweichen, müssen die Ereignisse abhängig sein. Denn wenn Ereignis "A" eintritt, ist es unwahrscheinlicher, dass Ereignis "B" eintritt, als wenn Ereignis "A" NICHT eintritt. Um diese Erkenntnis auch RECHNERISCH zu untermauern, brauchen wir noch die Gesamtwahrscheinlichkeit von Ereignis "B". Dafür berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignis "A und B", indem wir die Wahrscheinlichkeiten des oberen Pfades multiplizieren, und addieren dazu dann die Wahrscheinlichkeit von "nicht-A und B". Wir sehen: Die Wahrscheinlichkeit von "B" ist UNgleich der Wahrscheinlichkeit für "B unter der Bedingung A". Das Kriterium für Unabhängigkeit ist also nicht erfüllt und die Ereignisse hängen stochastisch voneinander ab. Wir können uns merken: Wenn wir ein Baumdiagramm gegeben haben, bei dem zwischen zwei Ereignissen unterschieden wird, können wir erkennen, ob die Ereignisse stochastisch abhängig oder unabhängig voneinander sind, indem wir uns die ZWEITE Verzweigung des Baumdiagramms anschauen. Sind die Wahrscheinlichkeiten an diesen Ästen gleich und zwar egal, ob das erste Ereignis eingetreten ist oder nicht (wie es HIER der Fall wäre), sind die Ereignisse stochastisch unabhängig. In DIESEM Beispiel unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeiten, je nachdem, ob das erste Ereignis eingetreten ist oder nicht. Sie sind daher stochastisch abhängig. Um auf Nummer Sicher zu gehen, sollten wir das dann auch jeweils noch rechnerisch nachweisen. Ein weiteres typisches Aufgabenformat ist, dass wir eine Vierfeldertafel gegeben haben, wie zum Beispiel DIESE hier. Auch auf dieser Grundlage können wir bestimmen, ob die betrachteten Merkmale stochastisch voneinander abhängen. In dieser Vierfeldertafel sind die absoluten Häufigkeiten einer Studie zu der Lernzeitbelastung von Schüler*innen einerseits und ihrer Schlafqualität andererseits erfasst. Um auf stochastische Unabhängigkeit zu überprüfen, wählen wir jetzt eine beliebige Und-Verknüpfung – zum Beispiel einfach DIESE – und berechnen ihre Wahrscheinlichkeit. Um Schreibarbeit zu sparen, nennen wir die Ereignisse, einfach "A" und "B". Jetzt müssen wir die Anzahl von "A und B" durch die Gesamtmenge teilen und brauchen dann noch die Wahrscheinlichkeiten für "ruhiger Schlaf" sowie für "lernt mehr als fünf Stunden die Woche". Die beiden letzteren müssen wir dann noch multiplizieren. Wir sehen: "P von A UND B" ist nicht gleich dem Produkt aus "P von A" und "P von B". Auch das wäre ja eine Bedingung für stochastische Unabhängigkeit. Sie ist aber nicht erfüllt. Die betrachteten Ereignisse sind also stochastisch abhängig. Eine wichtige Bemerkung müssen wir an dieser Stelle noch machen. Die Tatsache, dass wir eine STOCHASTISCHE Abhängigkeit zwischen der Schlafqualität und Lernzeitbelastung festgestellt haben, heißt nicht zwangsweise, dass diese Merkmale auch KAUSAL zusammenhängen. Was wir aber auf Grundlage der Daten sagen können, ist, dass das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das andere Ereignis beeinflusst, wenn wir einen zufällig ausgewählten Fall aus DIESER Grundmenge betrachten. Wir fassen nochmal zusammen, wie wir Ereignisse mit Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln auf stochastische Unabhängigkeit überprüfen können. Die Voraussetzung für stochastische Unabhängigkeit ist grundsätzlich immer die gleiche. Wenn eine DIESER Formeln erfüllt ist, sind die Ereignisse A und B unabhängig voneinander. Ist das nicht der Fall, liegt stochastische ABHÄNGIGKEIT vor. Die Informationen, die wir zur Überprüfung von stochastischer Unabhängigkeit benötigen, können wir aus einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm relativ leicht ablesen. Bei einer Vierfeldertafel können wir die Wahrscheinlichkeiten der "Und-Verknüpfungen" und der Gesamtwahrscheinlichkeiten für "A" und "B" einfach ablesen. Dafür sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten hier nicht direkt ersichtlich. Diese können wir im Gegensatz dazu in einem Baumdiagramm ablesen. Dafür sind hier die Ereignisse in einer bestimmten Reihenfolge eingeordnet und wir müssen eventuell noch die Wahrscheinlichkeiten der "Und-Verknüpfungen" selbst ergänzen. Im Endeffekt führen beide Wege zum Ziel! Egal, ob du mit Baumdiagramm oder Vierfeldertafel arbeitest. Wenn du das noch ein bisschen trainierst, wirst du auch ohne ausufernde Lernzeiten gut vorbereitet sein und dann bestimmt auch gut schlafen können!
Stochastische Unabhängigkeit – Baumdiagramm und Vierfeldertafel Übung
-
Prüfe die Merkmale auf stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.
TippsBerechne die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$ aus den Zahlen der entsprechenden Felder in der Vierfeldertafel.
Dazu teilst du den Wert durch die Gesamtzahl $500$ unten rechts.Beispiel:
$P(\overline{A}) = \dfrac{145}{500} = 0,\!29$
Die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit lautet:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Die Ereignisse $A$ und $\overline B$ sind stochastisch abhängig, denn:
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(A)=\dfrac{355}{500}=0,\!71$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(\overline B)=\dfrac{165}{500}=0,\!33$
$~\color{#CCCCCC}{\bullet}~$ $P(A\cap \overline B)=\dfrac{130}{500}=0,\!26$
Es ist also $P(A\cap \overline B)=0,\!26\neq 0,\!71\cdot 0,\!33=0,\!2343$.
LösungDie Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn die Gleichung $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ gilt.
Ist diese Gleichung nicht erfüllt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig.
Wir berechnen zuerst die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$:
$P(A)=\dfrac{355}{500}=0,\!71$
$P(B)=\dfrac{335}{500}=0,\!67$
Nun berechnen wir auch die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge:
$P(A \cap B)=\dfrac{225}{500}=0,\!45$
Um die Gleichung zu überprüfen, ermitteln wir das Produkt der beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
$P(A) \cdot P(B)= 0,\!71 \cdot 0,\!67 = 0,\!4757$
Da $P(A) \cdot P(B)= 0,\!4757$ nicht mit $P(A\cap B)=0,\!45$ übereinstimmt, sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch abhängig.
-
Prüfe die Ereignisse auf stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.
TippsVervollständige zuerst die erste Stufe des Baumdiagramms.
Um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(B)=\dfrac{P(\overline A \cap B)}{P(\overline A)}$ berechnen zu können, benötigst du zuvor die beiden Wahrscheinlichkeiten $P(\overline A \cap B)$ und $P(\overline A)$.
Schließe im letzten Schritt auf die stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.
LösungDie Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $B$ unabhängig von $A$ bzw. $\overline A$ ist.
Das erkennst du am Baumdiagramm zum Beispiel daran, dass die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_{\overline A}(B)$ auf der zweiten Stufe des Baumdiagramms übereinstimmen. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, sind die Ereignisse stochastisch abhängig.Um diese Bedingung zu prüfen, ergänzen wir die fehlenden Wahrscheinlichkeiten:
An jeder Verzweigung ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten $1$. Wir können daher fehlende Wahrscheinlichkeiten an einzelnen Zweigen als Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse ergänzen:
- $P(\overline A)=1-P(A)=0,\!3$
- $P_A(\overline B)=1-P_A(B)=0,\!6$
Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(B)$ können wir nun mit der Formel $P_{\overline A}(B)=\dfrac{P(\overline A~\cap~ B)}{P(\overline A)}$ berechnen.
Die noch fehlende bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(\overline B)$ ergibt sich wieder als Gegenwahrscheinlichkeit.
Vergleichen wir die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)=0,\!4$ und $P_{\overline A}(B)=0,\!8$, so erkennen wir, dass die Ereignisse $A$ und $B$ nicht stochastisch unabhängig, sondern stochastisch abhängig sind.Die korrekte Reihenfolge der Schritte lautet:
1. Ergänze die Gegenwahrscheinlichkeit $P(\overline A)=0,\!3$ und $P_A(\overline B)=0,\!6$.
2. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit:
$P_{\overline A}(B)=\dfrac{P(\overline A\cap B)}{P(\overline A)}=\dfrac{0,\!24}{0,\!3}=0,\!8$.
3. Vervollständige die Beschriftung des Baumdiagramms mit der Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(\overline B)=0,\!2$.
4. Vergleiche die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe des Baumdiagramms an der oberen Verzweigung mit denen an der unteren Verzweigung.
5. Antwort: Da sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe unterscheiden, sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch abhängig.
-
Berechne die Wahrscheinlichkeiten.
TippsDie Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $E\cap T$ ist der Quotient aus der Anzahl von $E\cap T$ und der Gesamtanzahl.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde kein Tourist ist, beträgt:
$P(\overline{T})=\dfrac{72}{500} = 0,\!144$
Die Ereignisse $E$ und $T$ sind stochastisch unabhängig, falls gilt:
$P(E\cap T)=P(E)\cdot P(T)$
LösungIn der Vierfeldertafel stehen die Anzahlen zu den verschiedenen Merkmalen. Die Wahrscheinlichkeit eines Merkmals berechnest du daraus, indem du die jeweilige Anzahl durch die Gesamtzahl dividierst.
Zur Überprüfung der stochastischen Unabhängigkeit vergleichst du das Produkt der Wahrscheinlichkeit zweier Merkmale mit der Wahrscheinlichkeit, dass beide Merkmale zugleich auftreten.Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Tourist ist und ein klassisches Fahrrad ausleiht, beträgt:
$P(\overline E\cap T)=\dfrac{376}{500}=0,\!752$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde ein klassisches Fahrrad ausleiht, ist:
$P(\overline E)=\dfrac{444}{500}=0,\!888$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Kunde Tourist ist, beträgt:
$P(T)=\dfrac{428}{500}=0,\!856$
$~$
Um die Ereignisse $\overline E$ und $T$ auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen, vergleichen wir die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $\overline E\cap T$ mit dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von $\overline E$ und $T$.
Wir berechnen also $P(\overline E) \cdot P(T)=0,\!888\cdot 0,\!856\approx 0,\!760$.Da $P(\overline E\cap T)= 0,\!752 \neq 0,\!760=P(\overline E) \cdot P(T)$ gilt, sind die Ereignisse $\overline E$ und $T$ stochastisch abhängig.
-
Vervollständige das Baumdiagramm.
TippsDie Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses $A$ und seines Gegenereignisses $\overline A$ ist $1$. Dasselbe gilt auch für bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Im Bild siehst du ein Beispiel, wie die Wahrscheinlichkeit $P(\overline A)$ ergänzt werden kann.
Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_{\overline A}(B)$ an den Ästen der zweiten Stufe übereinstimmen.
LösungIn dem Baumdiagramm stehen auf der ersten Stufe die Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses $A$ und seines Gegenereignisses $\overline A$. Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ist $1$.
Du kannst $P(\overline A)$ also als Gegenwahrscheinlichkeit von $P(A)$ angeben:$P(\overline A)=1-P(A)=1-0,\!6=0,\!4$
Dasselbe gilt für die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_A(B)$ und $P_A(\overline B)$ im oberen Teil der zweiten Stufe des Baumdiagramms: Ihre Summe ist $1$, denn die beiden Ereignisse $B$ und $\overline B$ sind komplementär zueinander. Daher ist:
$P_A(\overline B)=1-P_A(B)=1-0,\!3=0,\!7$
Um die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_{\overline A}(B)$ und $P_{\overline A}(\overline B)$ im unteren Teil der zweiten Stufe des Baumdiagramms zu berechnen, verwenden wir die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:
$P_{\overline A}(B) = \dfrac{P(\overline A\cap B)}{P(\overline A)} = \dfrac{0,\!08}{0,\!4} = 0,\!2$
Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline A}(\overline B)$ ist nun wieder die Gegenwahrscheinlichkeit:
$P_{\overline A}(\overline B)=1-P_{\overline A}(B)=1-0,\!2=0,\!8$
Da sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_{A}(\overline B)=0,\!3$ und $P_{\overline A}(\overline B)=0,\!2$ unterscheiden, sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastsich abhängig.
-
Gib Formeln zur Überprüfung der stochastischen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen an.
TippsDie Ungleichheit in den Formeln steht nicht für stochastische Unabhängigkeit.
Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(B)$ übereinstimmt.
Beispiel:
Für die Ereignisse $A$ und $B$ gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:
- $P(A)=0,\!5$
- $P(B)=0,\!3$
- $P(A\cap B)=0,\!2$
Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch abhängig, da gilt:
$0,\!2 \neq 0,\!5 \cdot 0,\!3=0,\!15$
LösungStochastische Unabhängigkeit von Ereignissen $A$ und $B$ bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $A$ unabhängig ist von $B$ (und umgekehrt). Mit anderen Worten: Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ ist unabhängig von $B$, also dasselbe wie die absolute Wahrscheinlichkeit $P(A)$, also $P_B(A)=P(A)$.
Ganz analog gilt dann auch $P_A(B)=P(B)$.
Äquivalent zu beiden ist außerdem die Bedingung $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Du erhältst sie zum Beispiel, wenn du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit umstellst.Ist eine dieser drei Gleichungen nicht erfüllt $(\neq)$, gilt dies auch für die anderen, und die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch abhängig.
So erhältst du folgende Zuordnungen:
Stochastische Abhängigkeit:
- $P_B(A)\neq P(A)$
- $P_A(B)\neq P(B)$
- $P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)$
Stochastische Unabhängigkeit:
- $P_B(A)=P(A)$
- $P_A(B)=P(B)$
- $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
-
Prüfe die Merkmale auf stochastische Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.
TippsDie Wahrscheinlichkeit, dass zutreffend kein Regen vorausgesagt wird, ist $P(\overline R\cap Z)$.
Du kannst die Aufgabe mit einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel lösen.
LösungAm einfachsten zu lösen ist die Aufgabe mit einem Baumdiagramm, das auf der ersten Stufe das Merkmal $R$ bzw. $\overline R$ darstellt. Da $380$ der $1\,000$ Voraussagen Regen ankündigen, ist $P(R)=0,\!38$ und $P(\overline R)=0,\!62$. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Regenvoraussage zutrifft, ist $P_R(Z)=0,\!15$. Daraus erhalten wir die Gegenwahrscheinlichkeit $P_R(\overline Z)=0,\!85$. Zudem können wir die Wahrscheinlichkeit der Schnittmengen ${R\cap Z}$ und ${R\cap \overline Z}$ berechnen:
$P(R\cap Z)=P(R) \cdot P_R(Z)=0,\!38 \cdot 0,\!15=0,\!057$
$P(R\cap \overline Z)=P(R) \cdot P_R(\overline Z)=0,\!38 \cdot 0,\!85=0,\!323$
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Wettervorhersage zutreffend keinen Regen voraussagt, beträgt ${P(\overline R\cap Z)=0,\!093}$. Zusammen mit der Wahrscheinlichkeit $P(\overline R)=0,\!62$, dass eine Wettervorhersage keinen Regen voraussagt, erhalten wir:
$P_{\overline R}(Z)=\dfrac{P(\overline R\cap Z)}{P(\overline R)}=\dfrac{0,\!093}{0,\!62}=0,\!15$
Da diese Wahrscheinlichkeit mit der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_R(Z)$ übereinstimmt, ist die Qualität der Wettervorhersagen ($Z$) stochastisch unabhängig vom Inhalt ($R$) der Vorhersagen.
Mit einer Vierfeldertafel kannst du die Aufgabe ebenfalls lösen und kommst zu derselben Schlussfolgerung, nämlich dass die Merkmale $R$ und $Z$ stochastisch unabhängig sind. Für die Vierfeldertafel kannst du die Wahrscheinlichkeiten $P(R)=0,\!38$ und $P(\overline R\cap Z)=0,\!093$ direkt aus der Aufgabenstellung entnehmen. Daraus erhältst du außerdem $P(\overline R)=0,\!62$ als Gegenwahrscheinlichkeit zu $P(R)$. Die Gegenwahrscheinlichkeit zu der bedingten Wahrscheinlichkeit $P_R(Z)=0,\!15$ aus der Aufgabenstellung ist $P_R(\overline Z)=0,\!85$. Zusammen mit $P(R)=0,\!38$ erhältst du daraus die Wahrscheinlichkeit $P(R\cap \overline Z)=P(R) \cdot P_R(\overline Z)=0,\!38 \cdot 0,\!85=0,\!323$. Alle noch freien Felder in der Vierfeldertafel können nun durch die Summe in den Zeilen und Spalten ausgefüllt werden.
Aus der vollständigen Vierfeldertafel erhältst du dann beispielsweise:
$P(R) \cdot P(\overline Z)=0,\!38 \cdot 0,\!85=0,\!323$ und $P(R\cap \overline Z)=0,\!323$
Da die beiden Werte übereinstimmen, sind die Merkmale $R$ und $\overline Z$ stochastisch unabhängig. Folglich sind auch $R$ und $Z$ stochastisch unabhängig.
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