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Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe – Aufgabe: Würfeln

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe – Aufgabe: Würfeln
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe – Aufgabe: Würfeln

Die Aufgabe lautet: Ein Würfel werde 3000 mal geworfen. a) Wie oft ist mit der Augenzahl 6 zu rechnen. b) Gib Intervalle an, in denen die Anzahl der Augenzahl 6 mit eine Wahrscheinlichkeit von 90% (95%) liegen wird. (Wenn nichts anderes gesagt wird, ist in Aufgabe b) ein Intervall gemeint, in dessen Mitte sich der Erwartungswert befindet.) Lösung: a) Das einmalige Werfen eines Würfels kann als Bernoulli-Versuch aufgefasst werden, wenn nur die Ergebnisse "6" (Erfolg) und "keine 6" (Mißerfolg) zugelassen werden. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist ⅙. Das 3000-malige Werfen ist dann eine Bernoulli-Kette. Die Zufallsgröße "X = Anzahl der Erfolge" ist binomialverteilt. Der Erwartungswert - nach dem hier gefragt ist - ist deshalb gleich np; in diesem Fall also 3000⅙ = 500. Der Antwortsatz könnte lauten:

Es ist ca. 500 mal mit der Augenzahl 6 zu rechnen.

b) Da die Laplace-Bedingung erfüllt ist, können wir die Sigma-Regeln verwenden, um die 90%- bzw. die 95%-Umgebung um den Erwartungswert auszurechnen. Die Antwort könnte dann lauten:

Mit einer 90%igen (95%igen) Wahrscheinlichkeit wird die absolute Häufigkeit der Augenzahl 6 zwischen 467 und 533 (460 und 540) (jeweils einschließlich) liegen.

Transkript Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe – Aufgabe: Würfeln

Hallo, wir haben hier einen Würfel und mit dem wollen wir mal richtig Gas geben. Der soll 3000-mal geworfen werden. Es soll dann geschätzt werden mit wie vielen sechsen zu rechnen ist und wir wollen einen Bereich angeben in dem mit 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit beziehungsweise mit 95-prozentiger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der sechsen liegen wird. Und das ist so eine Standardschätzaufgabe und dann geht das gleich los. Die Aufgabe lautet, ein Würfel werde 3000-mal geworfen. Und Aufgabe a ist, wie oft ist mit der Augenzahl sechs zu rechnen? Das einmalige Werfen eines Würfels können wir als Bernoulli Versuch auffassen, wenn wir nur zwischen sechs und keine sechs unterscheiden wollen. Sechs soll dabei Erfolg sein, keine sechs soll Misserfolg sein. Die Erfolgswahrscheinlichkeit P ist dann ein Sechstel und das 3000-malige Werfen des Würfels ist dann eine Bernoulli Kette der Länge n gleich 3000. Wir können die Zufallsgröße X gleich Anzahl der Erfolge definieren und diese Zufallsgröße ist binomialverteilt. Der Erwartungswert Mü, nach dem hier gefragt ist, ist dann gleich n-mal P und in unserem Fall ist das 3000 mal ein Sechstel, was gleich 500 ist. Dann können wir den Antwortsatz hinschreiben. Und der könnte zum Beispiel so aussehen, es ist circa 500-mal mit der Augenzahl sechs zu rechnen. Diese Zahl hier entspricht einem Punkt auf der Zahlengeraden und deshalb haben wir hier eine Punktschätzung. Kommen wir zur Aufgabe b, die lautet, gib Intervalle, in denen die Augenzahl sechs mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 Prozent beziehungsweise von 95 Prozent liegen wird, an. Wir wollen die Sigma Regeln verwenden und kontrollieren zunächst, ob die Laplace Bedingung, Sigma gleich Wurzel aus n-mal p mal q größer als drei, erfüllt ist. N ist bei uns 3000. P ist die Erfolgswahrscheinlichkeit, die ist ein Sechstel. Q ist eins minus P, also fünf Sechstel. Daraus brauchen wir die Wurzel, die ist ungefähr gleich 20,41 und das ist größer als drei. Eine Sigma Regel lautet, P von Mü minus 1,64-mal Sigma kleiner gleich X kleiner gleich Mü plus 1,64-mal Sigma ist ungefähr gleich 90 Prozent. In unserem Fall ist Mü minus 1,64-mal Sigma 500 minus 1,64 mal 20,41 und das ist ungefähr gleich 466,5. Mü plus 1,64 Sigma entspricht hier 500 plus 1,64-mal, als Näherungswert hier, 20,41 und das ist ungefähr gleich 533,5. Also, haben wir, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X Werte zwischen 467 und 533 annimmt ungefähr gleich 90 Prozent ist. Eine weitere Sigma Regel lautet, P von Mü minus 1,96-mal Sigma kleiner gleich X kleiner gleich Mü plus 1,96 Sigma ist ungefähr gleich 95 Prozent. Wir rechnen das jetzt konkret aus, Mü ist 500 dann minus 1,96-mal ja Sigma ist bei uns ungefähr 20,41 und das ist ungefähr 459,996, ja und hier ist es wichtig, dass wirklich diese drei Nachkommastellen haben, denn hätten wir nur auf die zweite Nachkommastelle gerundet, wäre da 460,00 rausgekommen. Und dann hätten wir hier nicht erkennen können, ob die Zahl, die hier tatsächlich rauskommt größer oder kleiner als 460 ist, wäre die Zahl, die hier rauskommt größer als 460, zum Beispiel 460,001 wäre die linke Grenze die nächstgrößere ganze Zahl, also die 461. Da aber die Zahl, die hier rauskommt tatsächlich kleiner als 460 ist, ist unsere linke Grenze nun die 460. Kommen wir zur rechten Grenze, ja das habe ich hier schon mal heimlich vorbereitet. Auch hier brauchen wir die dritte Nachkommastelle, denn so können wir erkennen, dass dieses Ergebnis hier größer als 540 ist und weil unsere rechte Grenze die nächste ganze Zahl ist, die links dieses Ergebnisses, das ist auf der Zahlengeraden liegt, ist in dem Fall unsere rechte Grenze die 540. Hätten wir hier 539,999 herausbekommen, wäre die korrekte Grenze hier die 539 gewesen, weil das eben die nächste ganze Zahl ist, die dann links dieses Ergebnisses auf der Zahlengeraden liegt. Es wäre also die 539 gewesen, obwohl wir beim Runden auf zwei Stellen nach dem Komma dann korrekterweise auf die 540 gekommen wären. Wir haben also herausgefunden, P von 460 kleiner gleich X kleiner gleich 540 ist ungefähr 95 Prozent. Wir haben hier ein Intervall angegeben und deshalb ist das Ganze hier eine Intervallschätzung, wie auch gerade eben schon gesehen bei dem 90 Prozent Intervall. So das war es dazu. Wir haben eine Punktschätzung abgegeben, indem wir den Erwartungswert berechnet haben und wir haben einen 90 Prozentbereich beziehungsweise einen 95 Prozentbereich angegeben und das waren die Intervallschätzungen. So jetzt mag sich der aufmerksame Adett fragen, wo jetzt denn in der ganzen Geschichte die Grundgesamtheit war. Nun die Grundgesamtheit besteht aus allen möglichen Würfen eines Würfels. Sie ist also prinzipiell unendlich. Und bevor das jetzt philosophisch wird oder schwierig in der Vorstellung, um diese Aufgabe zu lösen, brauchen wir nur die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und über alles Andere brauchen wir uns in dem Fall keine Gedanken zu machen. Das kommt selten vor eine Statistik, aber hier ist es wirklich so. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

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