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Rechtsseitiger Hypothesentest – Kandidatur

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Martin Wabnik
Rechtsseitiger Hypothesentest – Kandidatur
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Rechtsseitiger Hypothesentest – Kandidatur

In diesem Video geht es um einen Mathematiker, der (vielleicht) in die Politik gehen möchte. Die Aufgabe lautet: Ein Mathematiker möchte sich nur dann für die Partei MDA ("Mathematiker dürfen alles") als Kandidat aufstellen lassen, wenn zu erwarten ist, dass bei der nächsten Wahl mit einem höheren Stimmanteil zu rechnen ist als bei der letzten Wahl (20 %). Führe einen rechtsseitigen Hypothesentest durch (Signifikanzniveau 10 %, Stichprobenumfang 120).

Rechtsseitiger Hypothesentest – Kandidatur Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rechtsseitiger Hypothesentest – Kandidatur kannst du es wiederholen und üben.
  • Vergleiche die Ungleichung $P(X\geq g)\leq \alpha$ mit möglichen umgangssprachlichen Umschreibungen.

    Tipps

    Beim rechtsseitigen Hypothesentest liegt der Ablehnbereich immer auf der rechten Seite.

    Wenn z. B. $a \leq b$ ist, kann $a$ höchstens so groß wie $b$ sein.

    Da wir hier von binomialverteilten Zufallsgrößen ausgehen, gilt:

    Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße $X$, die kleiner oder gleich $g$ sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ kleiner oder gleich $g$ ist.

    Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße $X$, die größer oder gleich $g$ sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ größer oder gleich $g$ ist.

    Lösung

    Führen wir einen rechtsseitigen Hypothesentest durch, so liegt der Ablehnbereich immer auf der rechten Seite. Es liegen also solche Werte der Zufallsgröße $X$ im Ablehnbereich, die größer oder gleich einer bestimmten Zahl sind. Die Werte im Ablehnbereich sind dann mindestens so groß wie diese Zahl.

    Die gesamte Wahrscheinlichkeit des Ablehnbereichs besteht aus der Summe der Wahrscheinlichkeit aller Werte der Zufallsgröße $X$, die mindestens so groß wie eine bestimmte Zahl sind. Anders formuliert ist das die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ mindestens so groß wie eine bestimmte Zahl ist.

    Das Signifikanzniveau $\alpha$ (auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt) ist immer eine „höchstens“-Angabe: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ mindestens so groß wie eine bestimmte Zahl ist, soll höchstens so groß wie $\alpha$ sein.

    Um die Entscheidungsregel aufzustellen, suchen wir nun die kleinste Zahl $g$, für die das gilt. Also: Gesucht ist die kleinste Zahl $g$, für die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $X$ mindestens so groß wie $g$ ist, höchstens so groß wie $\alpha$ ist.

    $g$ ist dann die kleinste Zahl im Ablehnbereich $\{g; g+1; ... ; n\}$ – wobei $n$ der Stichprobenumfang bzw. die Anzahl der Versuche ist.

    Eine Zufallsgröße ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsversuchs reelle Zahlen zuordnet. Zu jeder reellen Zahl $r$ lässt sich so ein Ereignis definieren, das genau dann eintritt, wenn $X=r$ ist. Damit kommt dem Wert $r$ der Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zu.

    Eine binomialverteilte Zufallsgröße hat nur endlich viele Werte, deren Wahrscheinlichkeiten größer als $0$ sind. Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ist gleich 1. Deshalb können wir die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq g)$ bestimmen, indem wir die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße $X$ bilden, die größer oder gleich $g$ sind.

    Geben wir $P(X\geq g)\leq \alpha$ in der Entscheidungsregel an, ist also die kleinste natürliche Zahl $g$ zu finden, für die die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße $X$, die größer oder gleich $g$ sind, kleiner oder gleich $\alpha$ ist.

    Eine Summe der Werte einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ ist keine Wahrscheinlichkeit und hat deshalb mit der Ungleichung $P(X\geq g)\leq \alpha$ in der Entscheidungsregel nichts zu tun.

  • Teste die Behauptung eines Klavierstimmers mit einem rechtsseitigen Hypothesentest.

    Tipps

    Wir wollen mit diesem Test unterscheiden, ob der Klavierstimmer erkennen kann, wer als letztes an dem Klavier gespielt hat oder ob es sich dabei um Zufall handelt.

    $H_0$ wird nur dann verworfen, wenn $p$ signifikant höher ist als $0,5$.

    Lösung

    Der Klavierstimmer Stefano Knopfler stellt in der Aufgabenstellung eine Behauptung auf, die es zu untersuchen gilt. Für diese Behauptung gibt es nur zwei Möglichkeiten, entweder die Behauptung ist wahr oder falsch. Dies Bedeutet entweder, dass Stefano Knopfler am Klang des Klaviers tatsächlich unterscheiden kann, wer darauf gespielt hat, oder dass er sich zufällig für einen der Pianisten entscheidet.

    Um den Fall, dass Stefano nur zufällige Entscheidungen trifft, zumindest statistisch ausschließen zu können, wird diese Hypothese getestet: „Es ist Zufall, ob der Klavierstimmer richtig liegt oder nicht.“ Also lautet die $H_0$-Hypothese: $H_0:p=0,5$.

    Für diese Situation ist es nur interessant, ob der Klavierstimmer signifikant mehr als die Hälfte der Versuche richtig liegt. Die Hypothese lautet also $H_1:p>0,5$. $H_0$ wird nur abgelehnt, wenn Stefano Knopfler signifikant mehr als die Hälfte der Versuche erfolgreich erledigt. Der Ablehnbereich befindet sich auf der rechten Seite, weshalb nur ein rechtsseitiger Hypothesentest angewendet werden kann.

    Da der Ablehnbereich das Intervall von $15$ bis $20$ ist und Stefano Knopfler von $20$ Versuchen nur $13$ mal richtig gelegen hat, wird $H_0$ nicht verworfen. Durch diesen statistischen Test konnte Stefano Knopflers Behauptung nicht bestätigt werden.

    Übrigens: Es gibt den Klavierstimmer Stefan Knüpfer, der wohl tatsächlich unterscheiden kann, ob z. B. Pierre-Laurent Aimard oder Alfred Brendel an dem von ihm gestimmten Flügel gespielt hat.

  • Prüfe die folgenden Hypothesen auf deren Richtigkeit.

    Tipps

    Wenn man etwas messen kann, braucht man es in der Regel nicht statistisch zu testen.

    In den Aufgaben geht es nicht darum, wie realitätsnah die Angaben sind, sondern nur darum, ob ein Hypothesentest prinzipiell möglich ist.

    Ist eine Hypothese nicht genau quantifizierbar, kann sie mit einem Hypothesentest nicht überprüft werden.

    Lösung

    Es kann für Frau Minerva bestimmt vorteilhaft sein, die Marktchancen des aufblasbaren Vollpfostens vor der kostenintensiven Produktion desselben z. B. mittels eines Hypothesentests zu untersuchen. Weil der „große Verkaufserfolg“ durch die Angabe „$1\%$ aller Menschen werden ihn kaufen“ hinreichend quantifiziert ist, kann die Hypothese statistisch untersucht werden. Allerdings wird es wohl nicht ganz einfach, eine repräsentative Stichprobe zusammenzustellen, da das Kaufinteresse an aufblasbaren Vollpfosten der Menschen in Timbuktu möglicherweise ein ganz anderes ist als das der Menschen in Buxtehude.

    Frau Iris kann ihre Hypothese nur durch eine Messung überprüfen. Mit Statistik hat diese nichts zu tun.

    Mit ein paar Modellannahmen kann Herr Kamadeva seine Hypothese mit Hilfe eines Hypothesentests testen: Die Grundgesamtheit bestehe aus allen Briefen, die in nächster Zeit durch dieses Briefunternehmen zugestellt werden. Der Anteil der am nächsten Tag zugestellten Briefe bleibt über diese Zeit weitgehend gleich. Der Anteil der an diese Empfängerin am nächsten Tag zugestellten Briefe ist dem Anteil der überhaupt am nächsten Tag zugestellten Briefe sehr ähnlich.

    Herr Kamadeva kann nun einen rechtsseitigen Hypothesentest durchführen. Will er dies bei einem Signifikanzniveau von $\alpha = 0,05$ erledigen, muss er aber schon mindestens $29$ Briefe abschicken, damit die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „$100 \%$ der Briefe kommen am nächsten Tag an“ kleiner als $0,05$ ist.

    Herr Hermes hat eine Statistik über seine bisherigen Urlaube vorliegen. Mit einer Statistik kann aber kein Hypothesentest durchgeführt werden, da z. B. eine Stichprobe fehlt. Es ist zwar noch denkbar, die zukünftigen Urlaube als Testfälle zu sehen, dann hat man aber immer noch keine Grundgesamtheit, aus der eine Stichprobe sinnvoll entnommen werden kann.

  • Entscheide, in welcher der gegebenen Situationen ein rechtsseitiger Hypothesentest sinnvoll sein könnte.

    Tipps

    Eine Hypothese ist eine Aussage über den Anteil der Individuen einer Grundgesamtheit, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Fehlt diese Hypothese, kann kein Hypothesentest durchgeführt werden.

    Nicht jede Situation verlangt nach einem Hypothesentest. Ein Hypothesentest kann sinnvollerweise nur dann durchgeführt werden, wenn erstens die Gültigkeit einer Hypothese überprüft werden soll und man sich zweitens dafür entscheidet, den tatsächlichen Anteil der Individuen einer Grundgesamtheit, die eine bestimmte Eigenschaft haben, nicht ermitteln zu wollen (vielleicht weil das zu aufwendig wäre).

    Für die Lösung der Aufgabe ist es nicht wichtig, ob im zu markierenden Text ein rechtsseitiger Hypothesentest beschrieben wird, sondern nur, ob die vorliegende Problematik mit einem rechtsseitigen Hypothesentest sinnvoll einer Lösung näher gebracht werden kann.

    Lösung

    Sind die Durchfallquoten der Führerscheinbewerber/innen der letzen Jahre bekannt, erübrigt sich ein Hypothesentest, weil aus dem bestehenden Datenmaterial eindeutig eine Antwort abgeleitet werden kann. Anders gesagt: Die Anteile der Individuen der Grundgesamtheiten, die eine bestimmte Eigenschaft haben, sind bekannt. Also braucht dies nicht getestet zu werden. Eine Grundgesamtheit besteht dabei aus allen Personen, die sich in einem Jahr zur Führerscheinprüfung anmelden. (Übrigens erhöhen sich die Durchfallquoten tatsächlich von Jahr zu Jahr, obgleich die Anforderungen stets gleich bleiben.)

    Meinen viele Menschen, früher sei alles besser gewesen? Es ist von Natur aus nicht klar, was „viele“ bedeuten soll. Deshalb ist eine Begriffsklärung nötig, um einen statistischen Test durchführen zu können. Man kann sich auf Folgendes einigen: Wenn $50\%$ der Menschen (oder weniger) meinen, früher sei alles besser gewesen, sind das nicht „viele“. Dann können wir eine Umfrage durchführen.

    Die Aussage „Nicht viele Menschen meinen, früher sei alles besser gewesen“ soll nur dann verworfen werden, wenn signifikant mehr als $50\%$ der Befragten in dieser Umfrage meinen, früher sei alles besser gewesen. Das ist dann ein rechtsseitiger Hypothesentest.

    Um herauszufinden, ob die Klangschale „Voll-die-Dröhnung“ zu mehr Beruhigung unter ihren Nutzer/innen führt als zufällig zu erwarten ist, kann ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt werden. Dazu wird von der Wahrscheinlichkeit $p_0=0,05$ für eine zufällige Abweichung der Herzfrequenz um mindestens fünf Schläge pro Minute nach unten ausgegangen. Bei einem Stichprobenumfang von z. B. $n=60$ und einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,05$ beginnt der Ablehnbereich dann bei $g=7$.

    Es sei in diesem Zusammenhang noch darauf hingewiesen, dass bei der Auswertung solcher Tests ein bestimmter Fehler häufig auftritt: Tritt in der Stichprobe eine größere als die zufällig zu erwartende Abweichung auf, wird dies ursächlich der Klangschale zugeschrieben. Über Ursachen kann ein statistischer Test aber grundsätzlich nichts aussagen.

    Z. B. kann bestimmt statistisch nachgewiesen werden, dass fast immer, wenn der Hahn gekräht hat, die Sonne aufgeht. Dass die Sonne aufgeht, WEIL der Hahn kräht, ist damit aber nicht nachgewiesen.

    In unserem Fall kann es z. B. auch sein, dass die Klangschale „normalerweise“ die Pulsfrequenz tatsächlich senkt, dies aber bei der Durchführung des Tests nicht nachgewiesen werden kann, weil die Versuchsteilnehmer/innen besonders heißblütig auf die Person, die die Klangschale bedient, reagieren.

  • Ordne den gegebenen Tripeln den jeweiligen Ablehnbereich zu.

    Tipps

    Ist das Signifikanzniveau $\alpha = 10 \%$, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Ablehnbereich nicht größer als $10 \%$ sein soll.

    Meistens findet man keine Erfolgsanzahl $k$, sodass $P(X \ge k)$ genau gleich $10 \%$ ist. Ist das der Fall, beginnt der Ablehnbereich mit der kleinsten (minimalen) Zahl $k_m$, für die die Wahrscheinlichkeit des Ablehnbereichs noch unter $10 \%$ ist.

    Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p = 0,5$ und ist $n = 100$, gilt:

    $P(X \ge 58) \approx 0,0666$ und $P(X \ge 59) \approx 0,0443$. Wird ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt und ist das Signifikanzniveau $5 \%$, beginnt der Ablehnbereich bei $X = 59$, denn $59$ ist die kleinste Zahl $k_m$, für die $P(X \ge k_m)$ noch kleiner als $5 \%$ ist.

    Lösung

    Beispiel 1

    Ist $p_0 \le 0,3$; $n =100$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt $P(X \ge 36) \approx 0,1161$ und $P(X \ge 37) \approx 0,0799$.

    Damit ist $37$ die kleinste Zahl, für die gilt, dass alle Wahrscheinlichkeiten von $37$ an (d. h. gleich $37$ oder größer) noch kleiner (oder gleich) $10 \%$ sind.

    Beispiel 2

    Ist $p_0 \le 0,25$; $n = 130$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt $P(X \ge 39) \approx 0,1134$ und $P(X \ge 40) \approx 0,0803$.

    Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von $39$ bis $130$ ist größer als $10 \%$ und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von $40$ bis $130$ ist kleiner als $10 \%$. Deshalb beginnt der Ablehnbereich bei $X = 40$.

    Beispiel 3

    Ist $p_0 \le 0,4$; $n = 75$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt $P(X \ge 35) \approx 0,1446$ und $P(X \ge 36) \approx 0,0981$. Deshalb beginnt der Ablehnbereich bei $X = 36$.

    Beispiel 4

    Ist $p_0 \le 0,2$; $n = 140$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt $P(X \ge 34) \approx 0,1238$ und $P(X \ge 35) \approx 0,0873$. Deshalb beginnt der Ablehnbereich bei $X = 35$.

    Beispiel 5

    Ist $p_0 \le 0,1$; $n = 300$ und $\alpha = 10 \%$, so gilt $P(X \ge 37) \approx 0,1077$ und $P(X \ge 38) \approx 0,0779$. Deshalb beginnt der Ablehnbereich bei $X = 38$.

    Diese Aufgabe muss mit dem Hinschreiben der Ergebnisse nicht erledigt sein. Man kann sich auch das quantitative (d. h. das anzahlmäßige) Zusammenspiel der verschiedenen Stichprobenumfänge mit den verschiedenen Erfolgswahrscheinlichkeiten ansehen, um ein gutes Gefühl für deren Wahrscheinlichkeiten zu entwickeln.

  • Führe einen „falschen“ Hypothesentest durch.

    Tipps

    Je nachdem, wie die Hypothese gewählt wird, ändert sich der Ablehnbereich. Um den Aufbau eines Hypothesentests zu verstehen, ist es oft günstig, intuitiv vom Ablehnbereich auszugehen.

    Um zu verstehen, wie ein Hypothesentest irreführend aufgebaut werden kann, kann man sich überlegen, wie die Sache denn vernünftig aufgebaut werden kann.

    Wenn der Annahmebereich der Hypothese feststeht: Wie wahrscheinlich ist dieser Annahmebereich, falls die Münze fair ist?

    Lösung

    Wählen wir $H_0:p\leq 0,5$, testen wir rechtsseitig und verwerfen die Hypothese bei besonders vielen Kopf-Würfen in der Stichprobe. Haben wir eine solche Stichprobe, ist es vernünftig, von einer unfairen Münze (genauer: von einer zu großen „Kopf“-Wahrscheinlichkeit) auszugehen. Ist die Münze fair (also: ist $p=0,5$), tritt dieser Fall aber nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $\alpha=0,05$ ein.

    Wählen wir $H_0:p\geq 0,5$, können wir die Fälle „die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist zu gering“ und „die Münze ist fair oder die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist zu hoch“ unterscheiden. Ob die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ zu hoch ist, können wir so nicht erfahren. Wählen wir $H_0:p\geq 0,49$, können wir die Fälle

    • die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“, ist viel zu gering und
    • die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ ist etwas zu gering oder die Münze ist fair oder die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ ist zu hoch
    unterscheiden. Ob die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ zu hoch ist, erfahren wir so aber nicht.

    Wählen wir $H_0:p\geq 0,51$ (was ja heißt, dass die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ auf jeden Fall zu hoch sei), verwerfen wir diese Hypothese bei bis zu $19$ Mal „Kopf“ in der Stichprobe.

    Ist aber $p=0,5$ (d. h. die Münze ist fair), ist die Wahrscheinlichkeit für mehr als $19$ Mal „Kopf“ gleich ca. $94\%$. Mit dieser hohen Wahrscheinlichkeit können wir also weiter von der dann falschen Hypothese, die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ sei zu hoch, ausgehen.

    Wie kommt es zu diesem unsinnigen Ergebnis? Wir haben hier den grundsätzlichen Gedankenfehler gemacht, mit einem Hypothesentest eine Hypothese bestätigen zu wollen. Das geht aber nicht, wie wir hier sehen. Haben wir eine Stichprobe mit besonders wenigen „Kopf“-Würfen, ist es vernünftig, die Hypothese, die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ sei sogar größer als $0,5$, zu verwerfen. Wenn allerdings die Anzahl der „Kopf“-Würfe in der Stichprobe nicht im Ablehnbereich liegt, erfahren wir schlicht und ergreifend nichts über unsere Hypothese. Insbesondere ist fehlendes Wissen eben auch keine Bestätigung irgendeiner Wahrscheinlichkeitsaussage.

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