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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Rechtsseitiger Hypothesentest – halbe Hähnchen
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Rechtsseitiger Hypothesentest – halbe Hähnchen

In diesem Video besprechen wir einen rechtsseitigen Hypothesentest. Die Aufgabe lautet: In einem Supermarkt werden halbe Hähnchen verkauft, die laut Packungsaufdruck 750 g wiegen. Es soll getestet werden, ob höchstens die Hälfte der halben Hähnchen schwerer als 750 g sind. Führe einen rechtsseitigen Hypothesentest durch (n=10, Signifikanzniveau 10%). Wir führen den Hypothesentest durch, bestimmen den Ablehungsbereich und formulieren eine Entscheidungsregel. Diese könnte z.B. lauten: Entscheidungsregel: Die Hypothese, die Wahrscheinlichkeit für eine schwereres halbes Hähnchen sei (höchstens) gleich 0,5 soll verworfen werden, wenn in der Stichprobe vom Umfang 10 mindestens 8 halbe Hähnchen schwerer als 750 g sind.

Transkript Rechtsseitiger Hypothesentest – halbe Hähnchen

Hallo. In der Nähe meiner Wohnung gibt es einen Supermarkt, in dem man halbe Hähnchen kaufen kann. Und laut Packungsaufdruck wiegen die 720 Gramm. Und letztens hatte ich so eine Packung in der Hand und dachte mir: Das kann doch nicht sein. Das ist doch irgendwie leichter. Ich bin also zur Gemüsewaage gegangen, durch den ganzen Supermarkt, und habe nachgewogen. Und siehe da, es fehlten 150 Gramm. Dann habe ich mir zunächst gedacht: Okay, ich werde jetzt alle halben Hähnchen, die ich dort kaufen möchte, nachwiegen. Bis ich dann festgestellt habe, es ist doch etwas nervig, jedes Mal durch den ganzen Supermarkt zu laufen zur Gemüsewaage. Und deshalb dachte ich mir Folgendes: Ich werde die nächsten zehn Packungen abwiegen, die ich kaufe. Und wenn dann viele halbe Hähnchen schwerer sind als 750 Gramm, dann könnte ich mir ja das Nachwiegen in Zukunft ja sparen. Ja, und sowas ist ein Hypothesentest. Die Aufgabe lautet: In einem Supermarkt werden halbe Hähnchen verkauft, die laut Packungsaufdruck 750 Gramm wiegen. Es soll getestet werden, ob höchstens die Hälfte der halben Hähnchen schwerer als 750 Gramm sind. Führe einen rechtsseitigen Hypothesentest durch mit dem Umfang n = 10 und dem Signifikanzniveau von 10 %. Wir gehen hier davon aus, dass kein einziges halbes Hähnchen exakt 750 Gramm wiegt. Sondern dass jedes entweder leichter oder schwerer als 750 Gramm ist. Wir können uns hier einen Bernoulli-Versuch vorstellen mit den beiden Ausgängen: schwerer als 750 Gramm und nicht schwerer als 750 Gramm. Wobei schwerer für Erfolg stehen soll. Wenn wir diesen Bernoulli-Versuch zehnmal durchführen, erhalten wir eine Bernoulli-Kette der Länge 10. Und wenn wir zum Beispiel sieben halbe Hähnchen vorfinden, die schwerer als 750 Gramm sind, haben wir dann als Ergebnis hier eine relative Häufigkeit von 7/10. Wir wollen diese relative Häufigkeit mit einer hypothetischen Situation vergleichen. Und dazu brauchen wir eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Und da nehmen wir die auf der Grenze, nämlich eine Wahrscheinlichkeit von 0,5. So können wir also unsere H0-Hypothese formulieren: H0: P = 1/2. Mit dieser Erfolgswahrscheinlichkeit können wir jetzt eine Zufallsgröße definieren. Nämlich die, die die Anzahl der Erfolge angibt. Diese Zufallsgröße ist dann binomialverteilt. Rein zufällig habe ich hier mal eine Grafik der Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße X vorbereitet. Und wir wollen rechtsseitig testen. Das bedeutet, wenn unser Stichprobenergebnis hier ungefähr liegt, dann werden wir die Hypothese verwerfen. Genauer gesagt, unser Signifikanzniveau ist 10 %. Deshalb werden wir die Hypothese genau dann verwerfen, wenn unser Stichprobenergebnis in einem rechten Bereich liegt, in dem sich höchstens zehn Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit befinden. Sollte das so sein, wollen wir nicht nur ausschließen, dass P = 1/2 ist, sondern auch, dass P etwa kleiner als 1/2 ist. Und deshalb schreibt man die H0-Hypothese auch oft so: P ≤ ½ bei rechtsseitigen Hypothesentests. Beide Schreibweisen sind üblich und sie bedeuten auch das gleiche, wenn man weiß, was gemeint ist. Dass wir nur rechtsseitig testen, drücken wir auch durch unsere H1-Hypothese aus, also die Alternative. Und die ist: P > 1/2. Wir können nun an geeigneter Stelle nachschauen, wie wahrscheinlich hier was ist. Und dann kommen wir auf folgende Zahlen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X ≥ 7 ist, ist ≈ 0,172. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X ≥ 8 ist, ist ≈ 0,055. Das hier ist mehr als zehn Prozent. Das ist weniger als zehn Prozent. Im Ablehnbereich sollen sich höchstens zehn Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit befinden. Deshalb haben wir einen Ablehnbereich A, der von 8 bis 10 geht. Unsere beispielhafte relative Häufigkeit von 7/10 liegt dann also nicht im Ablehnbereich. Das bedeutet, dass auch sieben halbe Hähnchen, die schwerer sind als 750 Gramm, ganz gut zu der Hypothese passen, dass höchstens die Hälfte aller halben Hähnchen schwerer sind als 750 Gramm. Dann brauchen wir noch die Entscheidungsregel. Und die könnte zum Beispiel so lauten: Die Hypothese H0 soll verworfen werden, wenn in der Stichprobe vom Umfang n = 10 mindestens acht halbe Hähnchen schwerer als 750 Gramm sind. So, die Aufgabe haben wir gelöst. Und jetzt können wir uns noch überlegen, ob das sinnvoll war, was wir gemacht haben. Denn wir haben zum Beispiel nicht berücksichtigt, wie viel die Gewichte nach oben und nach unten abweichen. Wenn das nur 20 Gramm sind, dann lohnt es sich vielleicht nicht, deshalb durch den ganzen Supermarkt zu laufen. Und daran können wir sehen, dass Hypothesentests relativ grobe Mittel sind, um statistische Schlüsse zu ziehen. Und wenn ich das so sage, dann gibt es da noch viel mehr. Das heißt, mit den Hypothesentests ist die schließende Statistik noch lange nicht fertig. Jetzt sind wir aber fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

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