Quadratische Gleichungen zu rechteckigen Flächen aufstellen und lösen (1)

Quadratische Gleichungen zu rechteckigen Flächen aufstellen und lösen (1) Übung

• Gib die passenden Gleichungen zu rechteckigen Flächen an.

  Tipps

  Bevor du dich an das Aufstellen einer Gleichung machst, solltest du die jeweilige Aussage inhaltlich verstanden haben.

  Wenn eine Seite $c$ um $3~cm$ länger ist als $d$, so gilt $c-3~cm=d$, denn von der $3~cm$ längeren Seite $c$ müssen $3~cm$ abgezogen werden, damit beide Seiten gleich lang sind.

  Wenn du dir nicht sicher bist, ist es stets hilfreich, die Probe zu machen. Dafür setzt du in deine Gleichung einen Wert für $a$ oder $b$ ein und untersuchst, ob die ursprüngliche Aussage auf die entstandenen Längen immer noch zutrifft.

  Lösung

  Gleichungen zu rechteckigen Flächen aufzustellen, kann leicht zu Verwirrungen führen. Wenn du allerdings ein paar Dinge beachtest, wird es dir bestimmt schnell leichter fallen.

  1. Wenn die Seite $b$ eines Rechtecks um $4~cm$ länger ist als die Seite $a$, so lässt sich dies durch die Gleichung $a+4=b$ beschreiben. Die Gleichung besagt, dass zu der Seitenlänge $a$ noch $4~cm$ hinzugefügt werden müssen, damit sie genauso lang ist wie die Seite $b$. Alternativ lässt sich auch die Gleichung $a=b-4$ aufstellen: Da die Seite $b$ um $4~cm$ länger ist als die Seite $a$, muss man $4$ von der Seite $b$ abziehen, damit die beiden Seiten gleich lang sind.

  2. Wenn die Seite $a$ eines Rechtecks dagegen nur halb so lang ist wie die Seite $b$, so muss man sich zunächst überlegen, welche Rechenart uns hier weiterhilft. Offenbar ist dies nicht die Addition oder Subtraktion wie in der vorigen Aufgabe. Der Ausdruck "halb so groß" verweist auf den Faktor $\frac12$. Es gilt für diese Aussage also die Gleichung $a=\frac12 \cdot b$ oder umgestellt $2 \cdot a = b$.

  3. In der letzten Aufgabe geht es um Flächeninhalte. Das macht beim Aufstellen einer Gleichung aber keinen Unterschied: Die Fläche $A_1$ ist um $4~cm^2$ größer als die Fläche $A_2$. Dass dieser Sachverhalt durch die Gleichungen $A_1-4=A_2$ oder $A_1=A_2+4$ beschrieben werden kann, belegen wir nun durch eine Probe. Dies macht es häufig leichter, eine Gleichung auf ihre Richtigkeit zu überprüfen.

  Sagen wir nun also, dass die Fläche $A_1=5~cm^2$ groß ist. Die Fläche $A_1$ soll um $4~cm^2$ größer sein, als die Fläche $A_2$, also ist die Fläche $A_2$ kleiner und beträgt genau $1~cm^2$.

  Überprüfen wir das mit der aufgestellten Gleichung:

  $A_1-4=A_2$

  $5-4=1=A_2$

  Und wir sehen, dass die Aussage und somit die Gleichung stimmt.

• Schildere, wie sich die Seitenlänge $a$ herleiten lässt.

  Tipps

  Zunächst sollte eine Gleichung aufgestellt werden, welche den beschriebenen Sachverhalt darstellt.

  Manche Variablen lassen sich durch andere ersetzen, sodass eine Gleichung nur noch eine Variable besitzt und diese berechnet werden kann. Wie diese Variable ersetzt werden kann, geht häufig aus der Aufgabenstellung hervor.

  Die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrates lautet:

  $A_Q=a^2$.

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit Hilfe der Formel:

  $A_R=a\cdot b$.

  Quadratische Gleichungen lassen sich lösen, indem man sie gleich $0$ setzt. In der Regel hat eine quadratische Gleichung zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$.

  Lösung

  Zwei sich gegenüberliegende parallele Seiten eines Quadrats sollen um $2~cm$ so verlängert werden, dass der Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks doppelt so groß ist, wie das ursprüngliche Quadrat. Gesucht ist die ursprüngliche Seitenlänge des Quadrats, für welche dies gilt.

  Aus der Aufgabenstellung lässt sich die folgende Gleichung $2 \cdot A_Q=A_R$ aufstellen. Dabei soll $A_Q$ der Flächeninhalt des Quadrats mit den Seitenlängen $a$ sein, also gilt: $A_Q=a^2$. Außerdem ist $A_R$ der Flächeninhalt des neu entstandenen Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des Rechtecks lautet $A_R=a\cdot b$. Die Seite $b$ kann dabei durch $b=a+2$ ersetzt werden, da diese ja um $2~cm$ länger sein soll als die Seite $a$. Der Flächeninhalt des Rechtecks lässt sich also durch die Gleichung $A_R=a\cdot (a+2)$ berechnen.

  Im Folgenden wird zunächst einmal der Rechenweg aufgeschrieben. Dann folgen weitere Erklärungen:

  $\begin{align} &~&2 \cdot A_Q & = A_R\\ &\Leftrightarrow& 2 \cdot a^2 & = a \cdot b\\ &\Leftrightarrow& 2 \cdot a^2 &= a \cdot (a+2)\\ &\Leftrightarrow& 2 \cdot a^2 &= a^2 + 2 \cdot a\\ &\Leftrightarrow& a^2-2 \cdot a &= 0\\ &\Leftrightarrow& a \cdot (a -2) &=0\\ &\Rightarrow& a_1&=0\\ &~& \text{oder}~a_2&=2 \end{align}$

  Bei den Umformungen wurde in der dritten Zeile $b=a+2$ verwendet, danach ausmultipliziert und die Gleichung dann so umgestellt, dass auf einer Seite $0$ steht. Auf diese Weise kann man Lösungen von quadratischen Gleichungen ablesen, wenn sich $a$ ausklammern lässt. Dies haben wir auch hier getan. Die Lösung $a_1=0$ fällt weg, weil eine Seite nicht die Länge $a=0$ haben kann.

  Die gesuchte Seitenlänge des Quadrats ist $a=2~cm$.

• Bestimme die Gleichung, welche der Beschreibung des Rechtecks entspricht.

  Tipps

  Auf dieses Rechteck mit den Seitenlängen $a=6~cm$ und $b=16~cm$ trifft die Beschreibung zu.

  Achte darauf, die Rechenschritte auch genau in der Reihenfolge auszuführen, wie sie in der schriftlichen Beschreibung stattfinden.

  Wenn du dir nicht ganz sicher bist, kannst du immer noch die Probe machen. Es gibt unendlich viele Rechtecke, die auf diese Beschreibung zutreffen. Probiere es doch einmal aus mit $a=2$. Welche Länge müsste dann $b$ haben?

  Lösung

  Laut der Beschreibung soll das Doppelte der Seite $a$ um $4~cm$ kürzer sein als die Seite $b$. Zunächst überlegen wir uns also, wie die Seite a verändert werden muss, damit eine korrekte Gleichung entsteht. Auf der einen Seite der Gleichung steht die Seite $b$.

  Nun müssen wir darauf achten, die Beschreibung Schritt für Schritt auszuführen. Zunächst ist vom Doppelten der Seite $a$ die Rede. Das bekommen wir doch schnell hin:

  $2 \cdot a$.

  Nun soll das Doppelt der Seite $a$, also $2 \cdot a$ um $4~cm$ kürzer sein als die Seite $b$. Das drückt sich durch $2 \cdot a +4=b$ aus. Vielleicht fragst du dich, warum wir $4$ addieren, wenn das Doppelte der Seite $a$ doch kürzer als die Seite $b$ sein soll. Die Erklärung lautet: Weil das Doppelte der Seite $a$ ja kürzer ist, und zwar um $4~cm$, müssen wir noch $4~cm$ addieren, damit die Gleichung korrekt ist.

  Die gesuchte Gleichung lautet somit $2 \cdot a + 4=b$. Angenommen, es wäre also $a=2~cm$, so würde $b= 2 \cdot 2~cm +4~cm = 8~cm$ gelten.

• Bestimme die gesuchten Seitenlängen und Flächen.

  Tipps

  Es gibt zwei Lösungen, weil die quadratische Gleichung über zwei Lösungen verfügt.

  Nimm am besten eine Fallunterscheidung vor, nachdem du die quadratische Gleichung gelöst hast.

  Zum Lösen von quadratischen Gleichungen dient die p-q-Formel $\large{x_{1,2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}}$.

  Lösung

  Zunächst einmal erhalten wir einen guten Überblick, wenn wir die beiden Flächeninhalte des Quadrats und des Rechtecks in Relation setzen können. Dies gelingt uns durch die Gleichung $A_R-12=A_Q$. Ebenso ist die Gleichung $A_R=A_Q+12$ richtig. Beiden drücken dasselbe Verhältnis aus.

  Nun wissen wir, wie sich der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet. Dazu dient die Gleichung $A_R=a \cdot b$. In unserem Fall ist $a=7~cm$ und $b=7~cm-x$. Das ergibt $A_R=7 \cdot (7-x)$, wenn wir die Einheiten vorerst weglassen.

  Da das Quadrat als Seitenlänge die kürzere Seite des Rechtecks besitzt, ergibt sich hier der Flächeninhalt durch $A_Q=b^2=(7-x)^2$.

  Mit diesen beiden Informationen lässt sich eine quadratische Gleichung aufstellen, welche nur noch die Variable $x$ enthält.

  $\begin{align} && A_R-12 & = A_Q\\ &\Leftrightarrow& 7 \cdot (7-x) - 12 & = (7-x)^2\\ &\Leftrightarrow& 49 - 7x -12 & = 49 - 14 x + x^2\\ &\Leftrightarrow& x^2-7x+12 & = 0\\ &\Rightarrow& x_{1,2} & = - \frac{-7}{2} \pm \sqrt{\frac{-7^2}{4}-12}\\ &\Rightarrow& x_1 & = - \frac{-7}{2} + \frac12 = 4\\ &\text{oder}& x_2 & = - \frac{-7}{2} - \frac12 = 3 \end{align}$

  So ergeben sich zwei Lösungen. Wenn wir $x=3~cm$ wählen, wäre die kürzere Seite $b=4~cm$ lang und so hätte das Quadrat eine Fläche von $A_Q=16~cm^2$ und das Rechteck eine Fläche von $A_R=7~cm \cdot 4~cm=28~cm^2$.

  Im anderen Fall wäre $x=4$ und $b=7~cm-4~cm=3~cm$. Das Quadrat hätte nun einen Flächeninhalt von $A_Q=9~cm^2$ und das Rechteck einen Flächeninhalt von $A_R=7~cm \cdot (7~cm-4~cm)=21~cm^2$.

• Zeige auf, dass für die gesuchte Seitenlänge $a=2~cm$ gilt.

  Tipps

  Beachte, dass $b$ nicht durch eine einzelne Zahl ersetzt wird, sondern durch einen Term. Der ganze Term muss als Faktor behandelt werden.

  Mathematisch kannst du dies durch die Verwendung von Klammern ausdrücken.

  Lösung

  Wir wollen noch die Probe machen, ob uns die Lösung durch die Seitenlänge $a=2~cm$ gegeben ist. Der Einfachheit halber lassen wir in den folgenden Gleichungen die Einheit weg.

  Der Flächeninhalt des Quadrates lässt sich demzufolge durch $A_Q = a^2 = 2^2=4$ berechnen. Sein Flächeninhalt beträgt also $A_Q=4~cm^2$.

  Wenn wir nun, wie in der Anleitung beschrieben, zwei parallele Seiten des Quadrats um $2~cm$ verlängern, so sollte der Flächeninhalt des Rechtecks doppelt so groß sein wie beim Quadrat.

  Wir haben ja bereits ermittelt, dass der Flächeninhalt des Rechtecks sich durch $A_R=a \cdot b = a \cdot (a+2)$ beschreiben lässt. Die Seite $b$ ist dabei die um $2~cm$ verlängerte Seite des Quadrats. Bitte beachte hier die Klammersetzung, ohne welche die Gleichung falsch wäre.

  Setzen wir nun $a=2$ ein, so erhalten wir $A_R= 2 \cdot (2+2)=2 \cdot 4 = 8$. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt somit $8~cm^2$ und ist doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Quadrats mit $A_Q=4~cm^2$. Das wollten wir zeigen.

• Ermittle die Maße des Würfels $W_1$.

  Tipps

  Wenn die Seite eines Würfels verändert wird, so kann das bereits große Auswirkungen auf das Volumen haben.

  Ermittle zunächst die Seitenlänge $a$ des Würfels $W_1$. Hast du diese ermittelt, lässt sich das Volumen schnell ausrechnen.

  Das Volumen eines Quaders lässt sich berechnen, indem du rechnest:

  $V_Q= \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe}$

  Bei einem Würfel sind alle Seiten gleich lang.

  Lösung

  Wir befinden uns nun im Bereich des Dreidimensionalen. Das Volumen eines Würfels $W_1$ mit der Seitenlänge $a$ lässt sich durch $V_{W_1}=a^3$ beschreiben. Ein solcher Würfel soll nun verkleinert werden, indem jede Seite des Würfels um $2~cm$ gekürzt wird. Der auf diese Weise entstandene Würfel $W_2$ soll ein Volumen von $V_{W_2}=8~cm^3$ haben. Es gilt daher:

  • $V_{W_2} = (a-2)^3=8~cm^3$

  Der schnellste Weg, um nun zur Länge $a$ des Würfels $W_1$ zu gelangen, ist, die Gleichung nach $a$ aufzulösen.

  $\begin{align} &&(a-2)^3 & = 8 &| \sqrt[3]{~}&\\ &\Leftrightarrow& a-2 & = 2 &|+2&\\ &\Leftrightarrow& a &= 4 && \end{align}$

  Die ursprüngliche Seitenlänge des Würfels $W_1$ beträgt $a=4~cm$. Damit können wir auch die andere Frage beantworten. Sein ursprüngliches Volumen beträgt $V_{W_1}=(4~cm)^3=64~cm^3$. Der neue Würfel $W_2$ hat somit ein um das Achtfache kleineres Volumen.