Quadratische Gleichungen – Normalform (Übungsvideo)

Quadratische Gleichungen – Normalform (Übungsvideo) Übung

• Beschreibe, wie eine quadratische Gleichung in Normalform aussieht.

  Tipps

  In einer quadratischen Gleichung ist der höchste Exponent der Variablen $2$.

  $2x^2-4=0$ ist eine quadratische Gleichung, aber keine quadratische Gleichung in Normalform.

  $x^2-3x+3=2x-4$ ist eine quadratische Gleichung, jedoch keine in Normalform.

  Lösung

  Unter einer quadratischen Gleichung mit der Variablen $x$ versteht man eine Gleichung, in welcher die Variable höchsten den Exponenten $2$ hat.

  Was ist nun eine quadratische Gleichung in Normalform?

  • Bei einer Normalform steht auf der rechten Seite $0$.
  • Der Koeffizient vor dem quadratischen Term $x^2$ ist $1$.
  • Die Koeffizienten $p$ und $q$ können beliebig sein.

  Die quadratische Gleichung in Normalform sieht im Allgemeinen so aus: $x^2+px+q=0$.

• Bestimme die quadratische Gleichung in Normalform.

  Tipps

  Führe Äquivalenzumformungen durch.

  Dadurch ändert sich die Lösbarkeit der Gleichung nicht.

  Eine allgemeine Darstellung einer quadratischen Gleichung in Normalform lautet:

  $x^2+px+q=0$.

  Bringe durch Addition und Subtraktion alle Terme der rechten Seite auf die linke.

  Sortiere die Potenzen nach der Größe des Exponenten.

  Lösung

  $-1,5x-6x^2=21+0,5x-x^2$ ist eine quadratische Gleichung, jedoch keine in Normalform.

  Eine quadratische Gleichung in Normalform sieht wie folgt aus:

  $x^2+px+q=0$.

  Zunächst bringt man alle Terme der rechten Seite durch Addition und Subtraktion auf die linke Seite, sodass auf der rechten Seite $0$ steht:

  $\begin{align*} &&-1,5x-6x^2&=21+0,5x-x^2&|&+x^2-0,5x-21\\ &\Leftrightarrow&-1,5x-6x^2+x^2-0,5x-21&=0. \end{align*}$

  Nun werden die Terme sortiert und addiert. Die Addition ist nur möglich, wenn die Terme sowohl in der Basis als auch im Exponenten übereinstimmen:

  $\begin{align*} &&-1,5x-6x^2+x^2-0,5x-21&=0\\ &\Leftrightarrow&-6x^2+x^2-1,5x-0,5x-21&=0.\\ &\Leftrightarrow&-5x^2-2x-21&=0. \end{align*}$

  Was jetzt noch stört, ist der Faktor vor dem $x^2$. Dieser muss in der Normalform $1$ sein. Hier muss also durch $-5$ dividiert werden:

  $\begin{align*} &&-5x^2-2x-21&=0&|& : (-5)\\ &\Leftrightarrow&x^2+0,4x+4,2&=0. \end{align*}$

  Dies ist die gesuchte quadratische Gleichung in Normalform.

• Entscheide, ob eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegt.

  Tipps

  Damit eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegt, muss die Gleichung quadratisch sein.

  Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet $x^2+px+q=0$.

  Beachte, dass in der Normalform auf der rechten Seite $0$ steht.

  Jede quadratische Gleichung kann in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Äquivalenzumformungen umgeformt werden.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet:

  $x^2+px+q=0$.

  Es liegt also keine quadratische Gleichung in Normalform vor, wenn

  • keine quadratische Gleichung vorliegt oder
  • vor dem $x^2$ ein Faktor $\neq 1$ steht oder
  • auf der rechten Seite nicht $0$ steht.

  Jede beliebige quadratische Gleichung kann in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Äquivalenzumformungen umgeformt werden.

  • $x^2+2x+4=0$ ist eine quadratische Gleichung in Normalform.
  • $\frac12 x^2+2x+4=0$ ist keine quadratische Gleichung in Normalform, da vor dem $x^2$ der Faktor $\frac12$ steht. Durch Multiplikation mit $2$ käme man zu $x^2+4x+8=0$ und dies ist eine Normalform.
  • $2x-3=0$ ist eine lineare Gleichung.
  • $-x^2+3x=0$ ist keine quadratische Gleichung in Normalform. Multiplikation mit $-1$ würde zu $x^2-3x=0$ führen. Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform.
  • $x^2+x-4=0$ ist eine quadratische Gleichung in Normalform.
  • $x^2+1=4$ ist keine quadratische Gleichung in Normalform, da rechts vom Gleichheitszeichen nicht $0$ steht. Durch Subtraktion von $4$ gelangt man zu der Normalform $x^2-3=0$.

• Leite die quadratische Gleichung in Normalform her.

  Tipps

  Multipliziere auf der linken Seite der Gleichung die Klammer aus.

  Forme die Gleichung zunächst so um, dass $0$ auf der rechten Seite der Gleichung steht.

  Ist der Faktor vor dem $x^2$ eine $1$, dann bist du fertig.

  Ansonsten musst du durch den Faktor teilen.

  Achte darauf, dass sowohl zu $p$ als auch zu $q$ das Vorzeichen gehört:

  Zum Beispiel ist bei $x^2+2x-4=0$

  • $p=2$ und
  • $q=-4$.

  Lösung

  Betrachtet wird die quadratische Gleichung

  $(x-2)\cdot x=2x-x^2+4$.

  Wie sieht eine quadratische Gleichung in Normalform aus?

  $x^2+px+q=0$.

  Zunächst wird auf der linken Seite ausmultipliziert und werden dann die Terme, welche sich auf der rechten Seite der Gleichung befinden, durch Subtraktion auf die linke Seite gebracht:

  $(x-2)\cdot x=2x-x^2+4~\Leftrightarrow~x^2-2x=2x-x^2+4~\Leftrightarrow~2x^2-4x-4=0$.

  Zur quadratischen Gleichung in Normalform fehlt nur noch der Faktor $1$ vor dem $x^2$. Man muss also durch den Faktor $2$ vor dem $x^2$ teilen:

  $2x^2-4x-4=0~\Leftrightarrow~x^2-2x-2=0$.

  Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Hier ist $p=-2$ und $q=-2$.

• Gib an, ob eine quadratische Gleichung in Normalform vorliegt.

  Tipps

  Eine quadratische Gleichung zeichnet sich dadurch aus, dass der höchste Exponent der Variablen $2$ ist.

  Ist eine Gleichung nicht quadratisch, kann sie auch keine quadratische Gleichung in Normalform sein.

  Eine quadratische Gleichung in Normalform ist

  • eine quadratische Gleichung,
  • in welcher auf der rechten Seite die $0$ steht und
  • auf der linken Seite $x^2$ plus eine Zahl mal $x$ plus eine Zahl.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet:

  $x^2+px+q=0$.

  Es liegt also keine quadratische Gleichung in Normalform vor, wenn

  • keine quadratische Gleichung vorliegt oder
  • vor dem $x^2$ ein Faktor $\neq 1$ oder
  • auf der rechten Seite nicht $0$ steht.

  Jede quadratische Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen in eine Normalform umgeformt werden:

  • $-1,5x-6x^2=21+0,5x-x^2$ ist eine quadratische Gleichung, jedoch nicht in Normalform.
  • Durch Äquivalenzumformungen kommt man zu der Normalform $x^2+0,4x+4,2=0$.

• Stelle die quadratische Gleichung auf und forme diese in die Normalform um.

  Tipps

  Eine quadratische Gleichung hat als höchsten Exponenten der Variablen die $2$.

  Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $a\cdot b$.

  Eine quadratische Gleichung in Normaleform lautet:

  $x^2+px+q=0$.

  Lösung

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen.

  In diesem Beispiel ist dies $x\cdot 2x=2x^2$.

  Da dieser $800~m^2$ betragen soll, resultiert daraus die quadratische Gleichung

  $2x^2=800$.

  Diese Gleichung ist nicht in Normalform:

  • Zum einen steht auf der rechten Seite nicht $0$ und
  • zum anderen ist der Faktor vor dem $x^2$ $2\neq1$.

  Also kann wie folgt umgeformt werden:

  $\begin{align*} &&2x^2&=800&|&-800\\ &\Leftrightarrow&2x^2-800&=0&|&:2\\ &\Leftrightarrow&x^2-400&=0. \end{align*}$

  Dies ist die gesuchte Normalform.