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Quadratische Gleichungen grafisch lösen – Überblick

Erfahre, wie du quadratische Gleichungen auch ohne Taschenrechner grafisch lösen kannst! Dieses Video zeigt dir zwei effektive Methoden, um die Lösungen einer Gleichung anhand ihrer Graphen zu ermitteln. Ob Parabeln oder Geraden, du lernst, wie du ihre Schnittpunkte findest und interpretierst. Interessiert? Finde heraus, wie viele Lösungen es gibt, und übe weiter mit unseren Arbeitsblättern!

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Quadratische Gleichungen grafisch lösen – Überblick
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Quadratische Gleichungen grafisch lösen – Überblick

Einführung: Was tun ohne Taschenrechner?

Sicherlich weißt du, dass man quadratische Gleichungen rechnerisch lösen kann. Aber was können wir tun, wenn wir keinen Taschenrechner zur Verfügung haben? Ganz einfach: Dann können wir grafische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen anwenden.

Quadratische Gleichungen

Wir betrachten als Beispiel diese quadratische Gleichung:

2x2+x=3x+1,52 \cdot x^{2} +x = 3 \cdot x + 1,5

Im Folgenden lernen wir zwei Methoden kennen, mit denen wir die Lösungen der Gleichung grafisch bestimmen können.

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Vorschaubild einer Übung

Quadratische Gleichungen grafisch lösen – Methode 1

Beispiel:

Bei der ersten Methode stellen wir unsere Gleichung zunächst so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht. Dazu subtrahieren wir zuerst auf beiden Seiten der Gleichung 3x3x. Anschließend subtrahieren wir 1,51,5 und erhalten somit:

2x22x1,5=02 \cdot x^{2} -2\cdot x -1,5=0

Wir können diese Gleichung lösen, indem wir die Nullstellen der Funktion f(x)=2x22x1,5f(x) = 2x^{2}-2x-1,5 bestimmen. Um die Nullstellen dieser Funktion zeichnerisch zu ermitteln, erstellen wir eine Wertetabelle:

xx 1-1 00 11 22
yy 2,52,5 1,5-1,5 1,5-1,5 2,52,5

Mithilfe dieser Wertetabelle können wir die berechneten Wertepaare in ein Koordinatensystem eintragen und die Parabel zeichnen:

Nullstellen einer Parabel

Unserem Graphen können wir die beiden Nullstellen 0,5-0,5 und 1,51,5 entnehmen. Die Lösung der ursprünglichen Gleichung lautet:

L={0,5;1,5}\mathbb{L} = \lbrace -0,5; 1,5 \rbrace

Mögliche Fälle beim grafischen Lösungsverfahren – Methode 1:

  • Hat die Parabel zwei Nullstellen, so hat die Gleichung zwei Lösungen.
  • Hat die Parabel eine Nullstelle, so hat die Gleichung eine Lösung.
  • Hat die Parabel keine Nullstelle, so hat die Gleichung keine Lösung.

Quadratische Gleichungen grafisch lösen – Methode 2

Beispiel: Wir können quadratische Gleichungen auch zeichnerisch lösen, indem wir die Gleichung so umformen, dass x2x^{2} allein auf einer Seite der Gleichung steht. Dazu subtrahieren wir zuerst auf beiden Seiten der Gleichung xx und dividieren dann durch 22. Somit erhalten wir:

x2=x+0,75x^{2}=x+0,75

Die grafische Lösung dieser Gleichung sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x)=x2f(x)=x^{2} und g(x)=x+0,75g(x)=x+0,75.

Der Graph der Funktion f(x)=x2f(x)=x^{2} ist die Normalparabel. Sie hat ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung. Wir können sie mit einer Parabelschablone zeichnen. Der Graph der linearen Funktion g(x)g(x) ist eine Gerade mit der Steigung 11 und dem yy-Achsenabschnitt 0,750,75.

schnittpunkte parabel gerade

Wenn wir die Normalparabel und die Gerade gezeichnet haben, können wir die xx-Werte ihrer Schnittpunkte ablesen. Sie lauten: 0,5-0,5 und 1,51,5.

Dies sind die Lösungen der ursprünglichen Gleichung:

L={0,5;1,5}\mathbb{L} = \lbrace -0,5; 1,5 \rbrace

Mögliche Fälle beim grafischen Lösungsverfahren – Methode 2:

  • Schneiden sich die Parabel und die Gerade in zwei Punkten, so hat die Gleichung zwei Lösungen.
  • Schneiden sich die Parabel und die Gerade in einem Punkt, so hat die Gleichung eine Lösung.
  • Schneiden sich die Parabel und die Gerade gar nicht, so hat die Gleichung keine Lösung .

Zusammenfassung: quadratische Gleichungen grafisch lösen

In diesem Video zum grafischen Lösungsverfahren quadratischer Gleichungen wird das grafische Lösen quadratischer Gleichungen einfach erklärt. Dabei werden an einem Beispiel zwei mögliche Methoden erläutert, mit denen man eine quadratische Gleichung zeichnerisch lösen kann. Außerdem wird jeweils zusammengefasst, woran man beim grafischen Lösen erkennt, wie viele Lösungen die Gleichung hat.

Wenn du mithilfe weiterer Aufgaben und Übungen quadratische Gleichungen selbst grafisch lösen möchtest, findest du hier bei sofatutor ein Arbeitsblatt zum grafischen Lösen von quadratischen Gleichungen.

Transkript Quadratische Gleichungen grafisch lösen – Überblick

Hast du dich schon mal gefragt, wie man solche Gleichungen lösen konnte bevor es Taschenrechner gab? Selbst Leander, der Neanderthaler, hat alles, was man dazu braucht. Denn er überlegt sich jetzt, wie man quadratische Gleichungen graphisch löst. Um eine solche Gleichung zeichnerisch zu lösen, können wir zwei Methoden anwenden. Bei der ersten Methode stellen wir unsere Gleichung zunächst so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht. Wenn wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen wollen, müssen wir genau so eine Gleichung lösen! Also bestimmen wir doch einfach zeichnerisch die Nullstellen dieser quadratischen Funktion. Dafür erstellen wir zuerst die Wertetabelle, und zeichnen dann den dazugehörigen Funktionsgraphen. Für die Wertetabelle setzen wir die x-Werte -1, 0, 1 und 2 in unsere Funktionsgleichung ein und berechnen die zugehörigen Funktionswerte f(x). Die lauten 2,5, -1,5, -1,5 und 2,5. Mithilfe unserer Wertetabelle können wir nun die berechneten Wertepaare in ein Koordinatensystem eintragen und unseren Funktionsgraphen zeichnen. Unserem Graphen können wir die beiden Nullstellen -0,5 und 1,5 entnehmen. Und damit haben wir unsere ursprüngliche Gleichung gelöst! Ihre Lösungsmenge besteht aus den beiden Nullstellen. Aber was passiert, wenn die resultierende Parabel gar keine Nullstellen hat? In so einem Fall, hat die entsprechende Gleichung eben keine Lösung. Denn merke dir: eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. Die zweite Methode eine quadratische Gleichung zeichnerisch zu lösen, besteht darin, die Gleichung so umzuformen, dass das x2 alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Dazu isolieren wir zuerst 2x2 und teilen dann auf beiden Seiten durch 2. Wie können wir das in ein graphisches Problem übersetzen? Durch Gleichsetzen bestimmst du den Schnittpunkt der beiden Funktionen. f(x) = x2 und g(x) = x + 0,75. Die Funktion f(x) ist quadratisch, und g(x) ist eine lineare Funktion. Wir zeichnen die Graphen dieser beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Der Graph der Funktion f(x) = x2 ist die Normalparabel. Die hat ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, und du kannst sie mit einer Parabelschablone zeichnen – wenn du eine hast. Der Graph der linearen Funktion g(x)ist eine Gerade mit der Steigung 1 und dem y-Achsenabschnitt 0,75. Wenn wir beide Graphen gezeichnet haben, können wir die x-Werte ihrer Schnittpunkte ablesen. Sie lauten: -0,5 und 1,5 und entsprechen den Lösungen unserer quadratischen Gleichung. Aber was wäre, wenn die beiden Graphen sich nicht schneiden würden? Wie bei der ersten Methode hätten wir dann den Fall, dass unsere quadratische Gleichung keine Lösung besitzt. Und natürlich könnten die beiden Graphen sich auch in nur einem Punkt schneiden, der wäre dann auch die einzige Lösung der Gleichung. Zum Lösen einer quadratischen Gleichung haben wir zwei graphische Verfahren benutzt. Lass uns das Vorgehen bei diesen beiden Methoden kurz zusammenfassen. Bei der ersten Methode, formst du die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine 0 steht. Was auf der anderen Seite steht, kannst du als quadratische Funktion auffassen. Für die zeichnest du dann den Funktionsgraphen, am besten mit Hilfe einer Wertetabelle. Jetzt musst du nur noch die Nullstellen ablesen: sie sind die Lösungen der quadratischen Gleichung. Bei der zweiten Methode formst du die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite der Gleichung x2 steht. Das entspricht der Normalparabel. Auf der anderen Seite der Gleichung bleibt dann ein Ausdruck stehen, den du als lineare Funktion verwenden kannst. Nun zeichnest du in ein gemeinsames Koordinatensystem die Normalparabel und den Graphen dieser linearen Funktion. Abschließend liest du die x-Werte der Schnittpunkte beider Graphen ab: die sind wieder die Lösungen der quadratischen Gleichung. Dieses schlaue Verfahren muss Leander unbedingt an seine Nachfahren weitergeben! In diesen Felsen eingemeißelt wird es für immer lesbar sein. Naja, dann werden seine Nachfahren wohl selber auf diese schlaue Idee kommen müssen.

8 Kommentare
  1. Hallo Dima, wenn du die Scheitelpunktform gegeben hast, kannst du den Scheitelpunkt der Funktion ja direkt an den Parametern b und c ablesen. Dazu kannst du dann noch ein paar x-Werte, die kleiner als der x-Wert des Scheitelpunktes, und ein paar x-Werte, die größer sind, in die Funktionsgleichung einsetzen. Dann kannst du eigentlich ähnlich vorgehen wie im Video und so auch die Nullstellen näher bestimmen. Alternativ kannst du auch die Klammer einfach ausmultiplizieren und kommst dann auf die allgemeine Form, mit der du wie in diesem Video beschrieben weitermachen kannst. Ich hoffe, das hilft dir weiter, liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Lukas Peitz, vor 3 Monaten
  2. Hallo, könnt ihr ein Video machen zu Reinquadratischen Gleichungen (grafisch) lösen? Also mit der Form f(x)= a(x-b)2+c? Denn das haben wir gerade und wir schreiben darüber eine Arbeit und ich verstehe das nicht so gut… Trotzdem bin ich Fan von euren Videos, weiter so, Team Digital😃

    Von Dima Soliman, vor 3 Monaten
  3. Tolle Videos Team Digital. ich hab es verstanden

    Von Spidey_editz200, vor fast 3 Jahren
  4. Ich habs sehr eiinfach verstanden

    Von Dhathri S., vor etwa 4 Jahren
  5. Echt jetzt ????????
    Wie einfach ist es??
    Boar ej TOLLL Mann

    Von Dhathri S., vor etwa 4 Jahren
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Quadratische Gleichungen grafisch lösen – Überblick Übung

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