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Quadratische Funktionen y=x² – Graph 03:29 min

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Transkript Quadratische Funktionen y=x² – Graph

Hallo, hier ist der 2. Teil des Films, in dem wir uns eine Normalparabel basteln möchten. Die Normalparabel ist der Graph der Quadratfunktion, und die Quadratfunktion ist die Funktion mit der Funktionsgleichung y=x2. Wir haben schon eine Wertetabelle erstellt und die möchten wir hier jetzt in dieses Koordinatensystem übertragen. Das bedeutet, wenn ich also für x 0 einsetze, hier ist der Nullpunkt der x-Achse, dann ist y auch =0, also gehört dieser Punkt zum Graphen der Funktion. Dann hab ich hier zum Beispiel die 1, das habe ich jetzt einfach mal so festgelegt, das ist nur eine Skizze, um mir einen groben Überblick zu verschaffen. Ich habe gesehen, wenn ich hier für x 1 einsetze, dann ist y auch =1, das müsste also circa hier sein, da ist y=1 meine ich. Und ich sehe auch, dass wenn ich für x -1 einsetze, dann ist y auch =+1, also genauso wie in dem Fall, wenn ich für x +1 einsetze. Wenn ich für x 2 einsetze, das ist hier ungefähr, dann bekomme ich einen Wert, der liegt hier bei 4, 1,2,3,4, also hier ungefähr, da ist y=4, dann kann ich das hier eintragen und da auch, ich weiß ja, wenn ich für x 2 einsetze, dann ist y auch =4. Dann geht es weiter mit 3, ich kann für x 3 einsetzen und -3 einsetzen und erhalte jeweils +9, also hier ist 5,6,7,8,9, ungefähr zumindest, das ist also hier und hier. Ich bräuchte noch ein paar Zwischenwerte, um das richtig schön zu sehen, aber es wird so was Ähnliches rauskommen, das wird also die Normalparabel sein. Wie gesagt, das hier ist nur eine Skizze um sich einen Überblick zu verschaffen. So schaut das aus, ja es ist fast ein bisschen gelungen, aber ich habe das natürlich noch in schön vorbereitet und dazu komme ich mal hier zu meiner Folie. Ja, es ist immer ein bisschen wie Weihnachten, wenn die Geschenkfolie kommt. Und da habe ich die echte und schöne Normalparabel, der Graph der Funktion y=x2, ja eben noch glatt streichen hier, wunderbar, fast wie gemalt, nicht wahr? Ich hoffe du kannst das gut sehen auf dem blauen Untergrund, aber ich denke schon, du hast das ja gerade schon auf der pinkfarbenen Pappe gesehn. Also, wenn man für x 1 einsetzt, dann bekommt man hier den y-Wert 1, wenn man für x 2 einsetzt, dann bekommt man den y-Wert 4, das ist hier ungefähr. Wenn man für x 3 einsetzt, bekommt man den y-Wert 9, hier auf der anderen Seite ist es genauso. Und da kannst du das Ganze noch mal halt in schön sehen. Ja, das wars, das ist die Normalparabel, komplizierter ist es nicht, du brauchst nur ein bisschen multiplizieren können, das ist alles. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

10 Kommentare
  1. Danke, ist sehr verständnisvoll geworden.

    Von Klara00, vor etwa 2 Jahren
  2. Danke, sehr anschaulich erklärt!

    Von Angela G., vor mehr als 3 Jahren
  3. Sehr gut erklärt! :) Wenn sich nur alle Lehrer so viel Mühe geben würden

    Von Jlp123 K, vor fast 4 Jahren
  4. habt dank

    Von Qiuzhang63, vor mehr als 4 Jahren
  5. Total lieb erklärt :-) vielen Dank!

    Von Linda 6, vor mehr als 5 Jahren
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Quadratische Funktionen y=x² – Graph Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen y=x² – Graph kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Aussagen zur quadratischen Funktion.

    Tipps

    Was bedeutet es, eine Zahl zu quadrieren?

    Du setzt eine Zahl für x in deine Funktionsgleichung ein und erhältst als Ergebnis einen Wert für y.

    Lösung

    Du hast bereits lineare Funktionen wie y = 2$\cdot$x oder y = x + 3 kennengelernt. Quadratische Funktionen sind nicht schwieriger.

    Hier haben wir die quadratische Funktion y = x$^2$ kennengelernt. Der Graph, welcher diese Funktion beschreibt, wird Normalparabel genannt, weil er die einfachste Form einer quadratischen Funktion darstellt.

    Der Term x$^2$ kann durch x $\cdot$ x ersetzt werden. Das ist vielleicht hilfreich, wenn du eine Wertetabelle erstellen möchtest. Setzt man beispielsweise die Zahl x = - 1 in die Funktionsgleichung ein, so erhält man den y-Wert $($- 1$)$$\cdot$$($- 1$)$ = 1.

  • Gib an, wo sich in der Wertetabelle Fehler eingeschlichen haben und korrigiere diese.

    Tipps

    Überprüfe, ob die jeweiligen x-Werte und y-Werte zueinanderpassen.

    Die Quadratfunktion y = x$^2$ kann auch durch y = x $\cdot$ x beschrieben werden.

    Wenn du zwei negative Zahlen miteinander multiplizierst, erhältst du eine positive Zahl.

    Lösung

    Die Funktionwerte der Quadratfunktion y = x$^2$ = x $\cdot$ x sind immer positiv. So liegt beispielsweise der y-Wert für x = - 2 bei y = $($- 2$)$ $\cdot$ $($- 2$)$ = 4. Das sehen wir auch in folgender Tabelle.

    $\begin{array}{l|c|c|c} x & 0 & 1 & - 1 & 2 & - 2 & 3 & - 3 & 4 & - 4 & 5 & -5\\ \hline y & 0 & 1 & 1 & 4 & 4 & 9 & 9 & 16 & 16 & 25 & 25 \end{array}$

    Das bedeutet für dich, dass du den Teil des Koordinatensystems unterhalb der x-Achse weglassen kannst, da hier keine y-Werte eingetragen werden müssen.

  • Bestimme, welcher Graph der Normalparabel entspricht.

    Tipps

    Welche Funktion stellt die Normalparabel dar?

    Untersuche, ob die eingezeichneten Punkte auch in der entsprechenden Wertetabelle vorkommen.

    Ein eingezeichneter Punkt hat eine $x$-Koordinate und eine $y$-Koordinate.

    Lösung

    Zu der quadratischen Funktion $y = x^2$ gehört folgende Wertetabelle:

    $\begin{array}{l|c|c|c} x & 0 & 1 & - 1 & 2 & - 2 & 3 & - 3\\ \hline y & 0 & 1 & 1 & 4 & 4 & 9 & 9 \end{array}$

    Nachdem du diese Punkte eingezeichnet hast, können sie miteinander verbunden werden. Du erhältst eine Skizze der Normalparabel.

  • Erkläre, warum du die Punkte aus der Wertetabelle miteinander verbinden darfst.

    Tipps

    Wenn ein x-Wert in die Funktion eingesetzt wird, erhältst du dazugehörigen y-Wert.

    Erinnere dich an den Zahlenstrahl und wie viele Zahlen sich auf ihm befinden.

    Die Menge der rationalen Zahlen ist unendlich.

    Lösung

    Wir wollen untersuchen, warum zwei im Koordinatensystem benachbarte Punkte miteinander verbunden werden dürfen. Dazu fertigen wir eine etwas genauere Wertetabelle an, in welcher auch die Zwischenwerte von x$_1$ = 1 und x$_2$ = 2 berücksichtigt werden.

    $\begin{array}{l|c|c|c} x & 1 & 1,1 & 1,2 & 1,3 & 1,4 & 1,5 & 1,6 & 1,7 & 1,8 & 1,9 & 2\\ \hline y & 1 & 1,21 & 1,44 & 1,69 & 1,96 & 2,25 & 2,56 & 2,89 & 3,24 & 3,61 & 4 \end{array}$

    Trägst du präzise Werte ins Koordinatensystem ein, ergibt sich schon eine viel genauere Skizze, in der du die Punkte miteinander verbinden kannst.

    Nun weißt du, dass du dir genaue Wertetabellen ersparen kannst, wenn es lediglich um das Zeichnen einer Skizze geht.

  • Beschreibe die Schritte zur Erstellung einer Skizze der Normalparabel.

    Tipps

    Die Punkte, die du in das Koordinatensystem einträgst, kannst du vorher in einer Wertetabelle aufschreiben.

    Zwischen den $x$-Werten $x = 1$ und $x = 2$ liegen weitere $x$-Werte wie $x = 1,5$ usw., die durch die quadratische Funktion auf einen $y$-Wert abgebildet werden.

    Lösung

    Wenn du eine gute Skizze zu der quadratischen Funktion $y = x^2$ anfertigen möchtest, ist es ratsam, zunächst eine Wertetabelle zu erstellen, mit deren Hilfe du die Punkte schnell ins Koordinatensystem eintragen kannst. Diese kannst du miteinander verbinden, da du weißt, dass zwischen den $x$-Werten aus der Tabelle noch weitere liegen, denen ein $y$-Wert zugeordnet wird.

    Am Ende steht die Skizze.

  • Bestimme, welcher Graph zu welcher quadratischen Funktion gehört.

    Tipps

    Parabeln können auf der y-Achse nach oben und unten verschoben werden.

    Erstelle Wertetabellen der angegebenen Funktionen.

    Vergleiche die Tabellen mit den eingezeichneten Punkten und Graphen.

    Lösung

    Wir kennen die quadratische Funktion y = x$^2$. Das ist allerdings nicht die einzige quadratische Funktion; wie auch bei den linearen Funktionen gibt es unendlich viele.

    Auch hier können wir die Graphen auf der y-Achse nach oben und unten verschieben. Dies geschieht, indem man die Funktion y = x$^2$ um einen Summanden erweitert. So geschehen ist es mit unseren Funktionen.

    Beispielsweise bei y = x$^2$ - 1 wurde der Funktionsgraph um 1 nach unten verschoben. Jedem einzelnen y-Wert wird noch 1 abgezogen. So ergibt sich folgende Tabelle.

    $\begin{array}{l|c|c|c} x & 0 & 1 & - 1 & 2 & - 2 & 3 & - 3\\ \hline y & -1 & 0 & 0 & 3 & 3 & 8 & 8 \end{array}$

    Wie du siehst, unterscheidet sich diese Tabelle lediglich um - 1 in jedem einzelnen y-Wert von der Tabelle zur quadratischen Funktion y = x$^2$.

    Mithilfe dieser Wertetabelle lässt sich der Graph der Funktion zuordnen.