40%

Black Friday-Angebot – nur bis zum 27.11.2022

sofatutor 30 Tage lang kostenlos testen & dann 40 % sparen!

Quadratische Funktionen: f(x)=a·x²+c

Eine quadratische Funktion hat als höchsten Exponenten eine zwei. Daher kommt der Name, vom Quadrieren. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Inhalt

Was ist eine quadratische Funktion?

Ganz allgemein sieht eine quadratische Funktion $f$ so aus: $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Dabei sind $a\neq 0,~b,~c\in\mathbb{R}$ Parameter.

Du siehst, die Potenz mit dem höchsten Exponenten ist $x^{2}$, also $x$ zum Quadrat. Daher kommt auch der Name. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Hier siehst du die Normalparabel zu der quadratischen Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$.

3117_Normalparabel.jpg

Du lernst im Folgenden, welche Auswirkungen die Parameter auf die Parabel haben. Dabei ist für die Betrachtung der Parameter $a$ sowie $c$ immer $b=0$.

Die Bedeutung des Parameters $a$

Für $c=0$ schauen wir uns nun die Bedeutung des Parameters $a$ an. Erstelle dir eine Wertetabelle der Funktion $f$ mit $f(x)=a x^{2}$ für $a=1$ (zweite Zeile), $a=4$ (dritte Zeile) sowie $a=\frac14$ (vierte Zeile).

3117_Tabelle_a.jpg

Nun kannst du die so erhaltenen Paare $(x|y)$ in ein Koordinatensystem eintragen. Du erhältst drei Parabeln.

996_Parabeln_(a).jpg

  • Die gelbe Parabel gehört zu $x^{2}$,
  • die blaue zu $4x^{2}$ und
  • die grüne zu $\frac14 x^{2}$.

Fällt dir etwas auf? Betrachte einmal die blaue beziehungsweise die grüne in Relation zu der gelben Normalparabel:

  • Die blaue Parabel verläuft enger als die Normalparabel. Man sagt auch, sie ist entlang der $y$-Achse gestreckt.
  • Die grüne Parabel verläuft weiter als die Normalparabel. Man sagt auch, sie ist entlang der $y$-Achse gestaucht.

Wenn du übrigens einen negativen Wert für $a$ wählst, erhältst du eine nach unten geöffnete Parabel.

Der Parameter $a$ wird als Streckfaktor bezeichnet.

Du kannst anhand dieses Parameters erkennen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und wie weit sie geöffnet ist:

  • Für $a>1$ erhältst du eine gestreckte und nach oben geöffnete Parabel.
  • Für $a=1$ erhältst du die nach oben geöffnete Normalparabel.
  • Für $0