Quadratische Funktionen – Verschiebung entlang der y-Achse

Quadratische Funktionen – Verschiebung entlang der y-Achse Übung

• Gib die Eigenschaften der Normalparabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ an.

  Tipps

  Folgende Eigenschaften gelten für die Funktion $f(x)=x^2+c$:

  • Scheitelpunkt $S(0\vert c)$
  • Nullstelle $x_N=\pm\sqrt{-c}$

  Folgende Eigenschaften gelten für die Funktion $f(x)=ax^2$:

  • $a>0$: nach oben geöffnet
  • $a<0$: nach unten geöffnet

  Eine Wertetabelle der Funktion $f(x)=x^2$ ist wie folgt gegeben:

  $\begin{array}{l|ccccc} x&-2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}$

  Der Scheitelpunkt ist ...

  ... der Tiefpunkt einer nach oben geöffneten Parabel.
  ... der Hochpunkt einer nach unten geöffneten Parabel.

  Lösung

  Wir erstellen zunächst eine Wertetabelle für die Funktion $f(x)=x^2$. Eine mögliche Wertetabelle ist:

  $\begin{array}{l|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}$

  Wenn wir die Wertepaare $(x\ \vert\ f(x))$ in ein Koordinatensystem einzeichnen, erhalten wir die hier abgebildete Normalparabel. Diese hat folgende Eigenschaften:

  • nach oben geöffnet
  • achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse
  • Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, also $S(0\vert 0)$
  • eine Nullstelle, nämlich $x_N=0$

• Beschreibe den Einfluss des Parameters $c$ in der Funktionsgleichung $f(x)=x^2+c$.

  Tipps

  Hier abgebildet ist die Normalparabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$.

  $f(x)=-x^2$ ist eine nach unten geöffnete Parabel.

  Die Funktion $f(x)=x^2+c$ hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert c)$. Der $f(x)$-Achsenabschnitt ist also $c$.

  Lösung

  Eine quadratische Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ beschreibt eine zur $f(x)$-Achse achsensymmetrische und nach oben geöffnete Parabel, die ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert c)$ hat. Das heißt, der $f(x)$-Achsenabschnitt des zugehörigen Graphen ist $c$. Somit haben wir folgende Eigenschaften bezüglich des Parameters $c$:

  Fall: $c=0$

  Es handelt sich um die Normalparabel. Diese ist nach oben geöffnet und achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse. Sie besitzt eine Nullstelle und den Scheitelpunkt $\mathbf{S(0\vert 0)}$.

  Fall: $c>0$

  Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel, welche achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse ist. Sie besitzt keine Nullstelle und ist gegenüber der Normalparabel entlang der $f(x)$-Achse nach oben verschoben.

  Fall: $c<0$

  Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel, welche achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse ist. Sie besitzt zwei Nullstellen und ist gegenüber der Normalparabel entlang der $f(x)$-Achse nach unten verschoben.

• Arbeite die Eigenschaften der gegebenen Funktionsgraphen heraus.

  Tipps

  Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist der Scheitelpunkt der Tiefpunkt.

  Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ lautet $S(0\vert c)$.

  Wie oft schneiden die Graphen die $x$-Achse? Diese Anzahl entspricht der Anzahl ihrer Nullstellen.

  Lösung

  Es sind zwei nach oben geöffnete und zur $f(x)$-Achse achsensymmetrische Parabeln gegeben. Diese haben je eine Funktionsgleichung der Form $f(x)=x^2+c$. Dabei ist $c$ der $f(x)$-Achsenabschnitt. Der Scheitelpunkt ist demnach bei $S(0\vert c)$. Die beiden Parabeln haben somit folgende Eigenschaften:

  Parabel 1

  • keine Nullstellen
  • Scheitelpunkt bei $S(0\vert 3)$

  Parabel 2

  • zwei Nullstellen
  • Scheitelpunkt bei $S(0\vert -1)$

• Ermittle die Scheitelpunkte der gegebenen quadratischen Funktionen.

  Tipps

  Multipliziere die Klammern mithilfe des Distributivgesetzes aus. Dieses lautet:

  $a(b+c)=ab+ac$

  Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ entspricht $S(0\vert c)$.

  Lösung

  Für seine anstehende Flugshow plant der Kunstflugpilot Yannis seine Flugbahnen. Weil parabelförmige Flugmanöver sehr beliebt sind, nimmt er in seine Show vier Flugbahnen der Form $f(x)=x^2+c$ auf. Eine quadratische Funktion dieser Form besitzt seinen Scheitelpunkt, also den tiefsten Punkt, bei $S(0\vert c)$. Demnach erhalten wir für Yannis’ Flugbahnen folgende Scheitelpunkte:

  Funktion: $~f(x)=x^2-8$

  Diese Funktion hat den Parameter $c=-8$ und somit den Scheitelpunkt $S(0\vert -8)$.

  Funktion: $~g(x)=\frac 14\left(4x^2+8\right)$

  Diese Funktion multiplizieren wir mithilfe des Distributivgesetzes zunächst aus:

  $g(x)=\frac 14\left(4x^2+8\right)=\frac 14\cdot{4x^2}+\frac 14\cdot8=x^2+2$

  Demnach hat diese Funktion den Parameter $c=2$ und den Scheitelpunkt $S(0\vert 2)$.

  Funktion: $~h(x)=-\frac 12\left(-2x^2+8\right)$

  Diese Funktion multiplizieren wir mithilfe des Distributivgesetzes zunächst aus:

  $h(x)=-\frac 12\left(-2x^2+8\right)=-\frac 12\cdot{-2x^2}+\left(-\frac 12\right)\cdot8=x^2+4$

  Somit hat diese Funktion den Parameter $c=-4$ und den Scheitelpunkt $S(0\vert -4)$.

  Funktion: $~i(x)= x^2+8$

  Diese Funktion hat den Parameter $c=8$ und damit den Scheitelpunkt $S(0\vert 8)$.

• Bestimme die Funktionsgleichung der gegebenen Funktionsgraphen.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ lautet $S(0\vert c)$.

  Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel ist der tiefste Punkt des Graphen.

  Der Parameter $c$ entspricht dem $f(x)$-Achsenabschnitt der Parabel.

  Lösung

  Der Funktionsgraph einer Funktionsgleichung der Form $f(x)=x^2+c$ ist eine zur $f(x)$-Achse achsensymmetrische und nach oben geöffnete Parabel. Der Parameter $c$ entspricht dabei dem $f(x)$-Achsenabschnitt der Parabel. Somit kann die Parabel durch Variation des Parameters $c$ entlang der $f(x)$-Achse verschoben werden. Zudem hat die Parabel einer Funktionsgleichung der Form $f(x)=x^2+c$ ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert c)$.

  Parabel 1

  Der erste Graph ist die sogenannte Normalparabel zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert 0)$. Demnach ist der Parameter $c=0$.

  Parabel 2

  Die zweite Parabel ist gegenüber der Normalparabel um zwei Einheiten entlang der $f(x)$-Achse nach unten verschoben. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert -2)$. Demnach ist der Parameter $c=-2$.

  Parabel 3

  Die dritte Parabel ist gegenüber der Normalparabel um eine Einheit entlang der $f(x)$-Achse nach oben verschoben. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert 1)$. Somit ist der Parameter $c=1$.

  Parabel 4

  Die vierte Parabel ist gegenüber der Normalparabel um eine Einheit entlang der $f(x)$-Achse nach unten verschoben. Sie hat ihren Scheitelpunkt bei $S(0\vert -1)$. Demnach ist der Parameter $c=-1$.

• Bestimme den Scheitelpunkt sowie die Nullstellen der Funktion $g(x)$.

  Tipps

  Zum Ausmultiplizieren der Klammern kannst du die dritte binomische Formel nutzen.

  Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ liegt bei $S(0\vert c)$.

  Für die Bestimmung der Nullstellen kannst du die faktorisierte Form von $g(x)$ nutzen. Die Nullstellen erhältst du, indem du $g(x)=0$ löst.

  Beachte: Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

  Lösung

  Luke und Leia sind ganz schön fies. Aber die Funktionsgleichung, die sie sich ausgedacht haben, ist gar nicht so schwer, wie sie denken. Schauen wir sie uns gemeinsam an:

  Scheitelpunkt

  Zunächst überführen wir die Funktionsgleichung $g(x)=(x+3)(x-3)$ in die Form $x^2+c$, indem wir die dritte binomische Formel anwenden. Diese lautet $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Es folgt also:

  $g(x)=(x+3)\cdot(x-3)=x\cdot x+3\cdot(-3)=x^2-9$

  Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=x^2+c$ liegt in $S(0\vert c)$. Also hat die gegebene quadratische Funktion diesen Scheitelpunkt:

  $S(0\vert -9)$

  Nullstellen

  Die Bestimmung der Nullstellen erfolgt am besten über die faktorisierte Form von $g(x)$. Wir erhalten die Nullstellen, indem wir $g(x)=0$ lösen:

  $(x+3)(x-3)=0$

  Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Unsere Faktoren sind hier die beiden Klammerausdrücke $x+3$ und $x-3$. Demnach erhalten wir für den ersten Klammerausdruck $x_1=-3$ und für den zweiten Klammerausdruck $x_2=3$.

  Wir können natürlich auch die ausmultiplizierte Form $g(x)=x^2-9$ verwenden:

  $\begin{array}{lllll} x^2-9 &=& 0 && \vert +9 \\ x^2 &=& 9 && \vert \ \sqrt{} \\ x_{1\vert 2} &=& \pm\sqrt{9} &&\\ \\ x_1 &=& +3 && \\ x_2 &=& -3 && \end{array}$