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Quadratische Funktionen y=ax²+c

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Die Autor*innen
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Team Digital
Quadratische Funktionen y=ax²+c
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Quadratische Funktionen y=ax²+c

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du den Einfluss der Parameter c und a kennen und und dadurch in der Lage sein, Vorhersagen über den Verlauf des Funktionsgraphen treffen.

Zunächst lernst du, welchen Einfluss der Streckfaktor a auf den Verlauf des Funktionsgraphen hat. Anschließend schauen wir, wie der Parameter c die Parabel und damit auch ihren Scheitelpunkt verschiebt.

Quadratische Funktionen f(x)ax²c.jpg

Abschließend lernst du, wie du anhand des Funktionsterms die Eigenschaften des Funktionsgraphen bestimmen kannst.

Lerne außerdem etwas über die Vorkommen von Provitamin A und Vitamin C.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie quadratische Funktion, Parabel, Normalparabel, Scheitelpunkt, Parameter sowie Strecken und Stauchen einer Funktion

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, Grundwissen zu quadratischen Funktionen und zur Normalparabel haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, andere Formen von quadratischen Funktionen kennenzulernen.

Transkript Quadratische Funktionen y=ax²+c

Dazu schauen wir uns „quadratische Funktionen“ der Form „a mal x Quadrat plus c“ an. Wir kennen bereits die Normalparabel und wissen, dass aus ihr alle anderen Parabeln durch Verschiebung, Streckung oder Stauchung hervorgehen. Wir wissen auch schon, dass der Parameter a, der vor dem „x Quadrat“ steht, auch Streckfaktor genannt wird. Wenn a größer als eins ist, dann wird die Parabel gestreckt. Sie ist also schmaler als die Normalparabel. Man könnte sich vorstellen, dass jemand von oben die Parabel in die Länge zieht. Ist a kleiner als eins, dann ist die Parabel gestaucht, also breiter als die Normalparabel. Als würde jemand sie an den Seiten auseinanderziehen. Genauso funktioniert das natürlich auch, wenn a negativ ist. Deshalb müssen wir hier Betragsstriche setzen. Wie wir auch schon wissen, ist die Parabel nach oben geöffnet, wenn a positiv ist und nach unten geöffnet, wenn a negativ, also kleiner als null ist. Dann wird sie an der x-Achse gespiegelt. Dagegen verschiebt der Parameter c die Parabel in y-Richtung, das heißt nach oben oder nach unten. Wenn c größer als null ist, wird die Parabel nach oben verschoben. Wenn c negativ, also kleiner als null ist, wird die Parabel dagegen nach unten verschoben. Doch egal, ob die Parabel nach oben oder unten verschoben, gestreckt oder gestaucht ist, sie bleibt wie die Normalparabel achsensymmetrisch zur y-Achse. Das bedeutet auch, dass wir an c direkt den Scheitelpunkt ablesen können. Dieser liegt nämlich bei „null, c“. Dann schauen wir uns den Einfluss der beiden Parameter a und c mal an ein paar Beispielen an. Was denkst du, wie die Parabel zu dieser Funktionsgleichung aussieht? Welche Eigenschaften können wir aus den Parametern a und c ablesen? Nun, zunächst ist a positiv. Das heißt, der Funktionsgraph ist nach oben geöffnet. Außerdem ist der Betrag von a kleiner als eins, die Parabel ist also gestaucht. Der Parameter c ist negativ, der Funktionsgraph ist also um eine Einheit nach unten verschoben. Der Scheitelpunkt liegt deshalb bei „null, minus eins“. Lass uns eine Wertetabelle aufstellen, damit wir die Funktion zeichnen können. Da die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, interessieren uns die Funktionswerte von „x gleich minus zwei“ bis „x gleich zwei“. Mit Hilfe der Wertetabelle und den entsprechenden Funktionswerten können wir jetzt auch den Graphen der Funktion zeichnen. Wir sehen, dass die Parabel tatsächlich die Eigenschaften besitzt, die wir aus der Funktionsgleichung bereits abgelesen hatten. Nehmen wir also direkt die nächste Funktion. Der Parameter a ist diesmal negativ, die Parabel ist also nach unten geöffnet. Da der Betrag von a aber größer als eins ist, ist die Parabel außerdem gestreckt. Der Parameter c ist diesmal größer als null, die Parabel ist also nach oben verschoben. Und zwar um vier Einheiten. Der Scheitelpunkt liegt somit bei „null, vier“. Auch hier können wir wieder eine Wertetabelle ausfüllen und den Funktionsgraphen zeichnen. Wieder erkennen wir, dass wir mit unserer Einschätzung zu den Eigenschaften der Parabel richtig lagen. Bei dem nächsten Beispiel bist du dran. Welche Eigenschaften kannst du aus dieser Funktionsgleichung für die entsprechende Parabel ableiten? Der Parameter a zeigt an, dass die Funktion nach unten geöffnet ist. Da a zwischen null und minus eins liegt – der Betrag von a also kleiner als eins ist – ist die Parabel gestaucht. Außerdem ist sie um drei Einheiten nach oben verschoben. und hat ihren Scheitelpunkt in „null, drei“. Und so sieht ihr Verlauf aus. Auch hier können wir die einzelnen Eigenschaften der Parabel überprüfen. Wie du siehst, harmonieren die beiden Parameter sehr gut miteinander. Fassen wir ihre Auswirkungen auf den Verlauf der Parabeln noch einmal kurz zusammen. Bei quadratischen Funktionen der Form „a mal x Quadrat plus c“ haben die beiden Parameter a und c einen unterschiedlichen Einfluss auf den Verlauf der Funktionsgraphen. Der Parameter a wird Streckfaktor genannt und darf natürlich nicht null sein sonst würde das „x Quadrat“ wegfallen und dann hätten wir keine quadratische Funktion. Ist der Betrag von a kleiner als eins, ist die Parabel breiter als die Normalparabel, also gestaucht. Ist der Betrag von a hingegen größer als eins, dann ist die Parabel schmaler als die Normalparabel, also gestreckt. Ist a positiv, sprich größer als null, dann ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a hingegen negativ, heißt das, dass der entsprechende Graph nach unten geöffnet ist. Der Parameter c verschiebt die Parabel entlang der y-Achse. Ist c positiv, dann wird die Parabel nach oben verschoben. Ist c negativ, dann wird die Parabel nach unten verschoben. Dadurch gibt c genau die y-Koordinate des Scheitelpunktes an. Außerdem bleiben die Funktionsgraphen weiterhin achsensymmetrisch zur y-Achse. Ganz schön ausgewogen und vielseitig diese Parabeln. Darauf sollten wir natürlich auch bei unserer Ernährung achten – wer hat jetzt Lust auf einen Obstsalat mit vielen Vitaminen?

Quadratische Funktionen y=ax²+c Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen y=ax²+c kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Einfluss der Parameter $a$ und $c$ auf den Funktionsgraphen der Parabel.

    Tipps

    Hier siehst du die Auswirkung des Parameters $c$ auf die Parabel.

    Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

    Lösung

    Die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ ist die einfachste quadratische Funktion. Aus ihr gehen alle anderen Parabeln durch Verschiebung, Streckung oder Stauchung hervor.

    Wir betrachten die allgemeine quadratische Funktion:

    $f(x)=ax^2+c$

    Sie enthält die beiden Parameter $a$ und $c$, die sich folgendermaßen auf den Verlauf des Funktionsgraphen auswirken:

    Der Parameter $a$:
    Der Parameter $a$ gibt an, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Es gilt:

    • Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Beispiel: $f(x)=-2x^2+4$
    • 'Wenn $a$ positiv ist, dann ist die Parabel nach oben geöffnet.' Diese Aussage ist also richtig. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$
    Der Parameter $a$ gibt außerdem an, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist. Es gilt:

    • Wenn $\vert a \vert <1$ ist, dann ist die Parabel gestaucht. Beispiel: $f(x)=0,5x^2+4$
    • Wenn $\vert a \vert>1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$
    Die Aussage 'Wenn $\vert a \vert <1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt.' ist daher falsch.

    Der Parameter $c$:
    Der Parameter $c$ gibt an, ob die Parabel nach oben oder nach unten verschoben ist.
    Die Aussage 'Wenn $\vert c \vert>1$ ist, dann ist die Parabel nach rechts verschoben.' ist also falsch.
    Es gilt:

    • 'Wenn $c<0$ ist, dann ist die Parabel nach unten verschoben.' Diese Aussage ist richtig. Beispiel: $f(x)=2x^2-5$
    • Wenn $c>0$ ist, dann ist die Parabel nach oben verschoben. Beispiel: $f(x)=2x^2+5$
    Da der Scheitelpunkt bei einer Verschiebung nach oben oder unten immer auf der $y$-Achse liegt, gilt: 'Der Scheitelpunkt lautet $S(0 \vert c)$.'. Diese Aussage ist richtig.

    Da die Parabel nur nach oben oder unten verschoben wird, ist sie immer symmetrisch zur $y$-Achse. Die Aussage 'Die Parabel ist immer symmetrisch zur $x$-Achse.' ist falsch.

  • Gib an, wie der Graph der quadratischen Funktion verläuft.

    Tipps

    Die Gleichung der Parabel hat die Form $f(x)=ax^2+c$.
    Lies zunächst die Werte von $a$ und $c$ ab und überlege, wie sie sich auf den Graphen auswirken.

    Es gilt:

    Wenn $|a|<1$, so ist die Parabel gestaucht.
    Wenn $|a|>1$, so ist die Parabel gestreckt.

    Wenn $c>0$, so ist die Parabel nach oben verschoben.
    Wenn $c<0$, so ist die Parabel nach unten verschoben.

    Lösung

    Die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ ist die einfachste quadratische Funktion. Aus ihr gehen alle anderen Parabeln durch Verschiebung, Streckung oder Stauchung hervor.

    Für die allgemeine quadratische Funktion $f(x)=ax^2+c$ gilt:

    • Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.
    • Wenn $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.
    • Wenn $|a|<1$ ist, dann ist die Parabel gestaucht.
    • Wenn $|a|>1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt.
    • Wenn $c<0$ ist, dann ist die Parabel um $|c|$ nach unten verschoben.
    • Wenn $c>0$ ist, dann ist die Parabel um $|c|$ nach oben verschoben.
    Wir betrachten die gegebene Funktion:

    $f(x)=-1,5x^2+4$

    Hierbei ist $a=-1,5$ und $c=4$. Wir stellen also fest:

    $a$ ist negativ. $\quad \quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten geöffnet.
    $|a|= 1,5 >1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Der Graph ist gestreckt.
    $c = 4 >0$ $\quad \quad \Rightarrow \quad$ Der Scheitelpunkt ist um $4$ Einheiten nach oben verschoben.

  • Bestimme den Verlauf der Parabeln.

    Tipps

    $f(x)=ax^2+c$

    Bei dem orangen Graphen ist $|a| < 1$.

    Bei dem rosa Graphen ist $a=1$.

    Bei dem violetten Graphen ist $|a| >1$.

    Steht vor dem $x^2$ eine negative Zahl, so ist die Parabel nach unten geöffnet.

    Beispiel: $f(x)=-3x^2+1$

    Die Parabel ist nach unten geöffnet, gestreckt und nach oben verschoben.

    Lösung

    Allgemeine gilt für den Graphen einer quadratische Funktion der Form $f(x)=ax^2+c$:

    • Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.
    • Wenn $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.
    • Wenn $|a|<1$ ist, dann ist die Parabel gestaucht.
    • Wenn $|a|>1$ ist, dann ist die Parabel gestreckt.
    • Wenn $c<0$ ist, dann ist die Parabel um $|c|$ nach unten verschoben.
    • Wenn $c>0$ ist, dann ist die Parabel um $|c|$ nach oben verschoben.
    Wir betrachten nun die einzelnen Funktionsgleichungen:

    Beispiel 1:
    $f(x)=-x^2+2$
    Es gilt: $a=-1$ und $c=2$

    • $a$ ist negativ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten geöffnet.
    • $|a|=1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist weder gestreckt noch gestaucht.
    • $c>0$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach oben verschoben.
    Beispiel 2:
    $f(x)=-0,3x^2-1$
    Es gilt: $a=-0,3$ und $c=-1$

    • $a$ ist negativ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten geöffnet.
    • $|a|<1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist gestaucht.
    • $c<0$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten verschoben.
    Beispiel 3:
    $f(x)=\frac{5}{3}x^2+0,2$
    Es gilt: $a=\frac{5}{3}$ und $c=0,2$

    • $a$ ist positiv $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach oben geöffnet.
    • $|a|>1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist gestreckt.
    • $c>0$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach oben verschoben.
    Beispiel 4:
    $f(x)=-3x^2-11$
    Es gilt: $a=-3$ und $c=-11$

    • $a$ ist negativ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten geöffnet.
    • $|a|>1$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist gestreckt.
    • $c<0$ $\quad \Rightarrow \quad$ Die Parabel ist nach unten verschoben.
  • Stelle einen passenden Funktionsterm auf.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung lautet $f(x)=ax^2+c$.

    Die Parameter $a$ und $c$ müssen passend gewählt werden.

    Eine mögliche Funktionsgleichung wäre

    $f(x)=-3,3x^2+0,2$

    Lösung

    Wir sollen den Term einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=ax^2+c$ aufstellen, deren Graph die folgenden Eigenschaften hat:

    Die Parabel ist nach unten geöffnet, gestreckt und nach oben verschoben.

    Daraus resultieren folgende Bedingungen für die Parameter $a$ und $c$:

    • nach unten geöffnet: $\quad \Rightarrow \quad$ $a \lt 0$
    • gestreckt: $\quad \Rightarrow \quad$ $|a|>1$
    • nach oben verschoben: $\quad \Rightarrow \quad$ $c>0$
    Wir vergleichen mit den gegebenen Funktionsgleichungen:

    • $f(x)=-3x^2+4$ mit $a=-3$ und $c=4$ erfüllt die Bedingungen.
    • $f(x)=-9x+1,5$ mit $a=-9$ und $c=1,5$ erfüllt die Bedingungen.
    • $f(x)=-0,9x^2+3$ mit $a=-0,9$ und $c=3$ erfüllt die Bedingungen nicht, da $|a| = 0,9 <1$.
    • $f(x)=-\frac{3}{2}x^2+2$ mit $a=-\frac{3}{2}$ und $c=2$ erfüllt die Bedingungen.
    • $f(x)=-1,1x^2-2$ mit $a=-1,1$ und $c=-2$ erfüllt die Bedingungen nicht, da $c<0$.
    • $f(x)=\frac{9}{8}x^2+\frac{1}{2}$ mit $a=\frac{9}{8}$ und $c=\frac{1}{2}$ erfüllt die Bedingungen nicht, da $a>0$.
  • Gib an, wie die Normalparabel verändert wurde.

    Tipps

    Hier siehst du noch einmal die Normalparabel. Vergleiche die gegebenen Parabeln mit der Normalparabel.

    Eine Parabel ist gestreckt, wenn sie schmaler als die Normalparabel ist.

    Eine Parabel ist gestaucht, wenn sie breiter als die Normalparabel ist.

    Lösung

    Die Normalparabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ ist die einfachste quadratische Funktion. Sie ist nach oben geöffnet. Aus ihr gehen alle anderen Parabeln durch Verschiebung, Streckung oder Stauchung hervor.

    erste Parabel:
    Die Parabel ist nach unten geöffnet, da sie an der $x$-Achse gespiegelt wurde.

    zweite Parabel:
    Die Parabel ist breiter als die Normalparabel. Sie ist also gestaucht.

    dritte Parabel:
    Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel. Sie ist also gestreckt.

    vierte Parabel:
    Die Parabel ist nach oben verschoben.

  • Ermittle die zum Graphen zugehörige Funktionsgleichung.

    Tipps
    • Wenn die Parabel gestaucht ist, so gilt: $\vert a \vert <1$. Beispiel: $f(x)=0,5x^2+4$
    • Wenn die Parabel gestreckt ist, so gilt: $\vert a \vert>1$. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$

    Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, so ist $a<0$.

    $f(x)=-3x^2$

    Lösung

    $f(x)=ax^2+c$

    Die allgemeine Funktionsgleichung enthält die beiden Parameter $a$ und $c$, die sich folgendermaßen auf den Verlauf des Funktionsgraphen auswirken:

    Der Parameter $a$:

    • Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, so ist $a$ negativ. Beispiel: $f(x)=-2x^2+4$
    • Wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, so ist $a$ positiv. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$
    • Wenn die Parabel gestaucht ist, so ist $\vert a \vert <1$. Beispiel: $f(x)=0,5x^2+4$
    • Wenn die Parabel gestreckt ist, so ist $\vert a \vert>1$. Beispiel: $f(x)=2x^2+4$
    Um den Parameter $a$ zu bestimmen, können wir vom Scheitelpunkt aus einen Schritt nach rechts gehen, und von dort abzählen, wie viele Schritte wir nach oben bzw. nach unten bis zur Parabel gehen müssen.

    Der Parameter $c$:

    • Wenn die Parabel nach unten verschoben ist, so ist $c<0$. Beispiel: $f(x)=2x^2-5$
    • Wenn die Parabel nach oben verschoben ist, so ist $c>0$. Beispiel: $f(x)=2x^2+5$
    Um den Parameter $c$ zu bestimmen, können wir ablesen, wo die Parabel die $y$-Achse schneidet.

    Somit ergeben sich die folgenden Funktionsgleichungen:

    • Graph 1: Ist nach unten geöffnet und gestaucht: $f(x)=-0,5x^2$
    • Graph 2: Ist nach unten geöffnet und gestreckt: $f(x)=-1,5x^2$
    • Graph 3: Ist nach unten geöffnet, gestreckt und nach oben verschoben: $f(x)=-2x^2+3$
    • Graph 4: Ist nach oben geöffnet, gestreckt und nach oben verschoben: $f(x)=2x^2+2$
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