Punkt, der von den Ecken eines Dreiecks gleich weit entfernt ist (Umkreismittelpunkt)

Inhalt

• Umkreismittelpunkt bestimmen – Mathematik
• Was ist ein Umkreismittelpunkt? – Definition
• Wie ermittelt man den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks? – Beispiel
• Wo liegt der Umkreismittelpunkt?
• In diesem Video zum Umkreismittelpunkt bestimmen ...

Umkreismittelpunkt bestimmen – Mathematik

In diesem Text wird der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks einfach erklärt. Es wird aufgezeigt, wie man den Punkt mithilfe von Zirkel und Lineal konstruiert. Dafür sollte bereits bekannt sein, wie Mittelsenkrechten konstruiert werden.

Was ist ein Umkreismittelpunkt? – Definition

Der Aufbau von Dreiecken ist immer gleich. Zu jedem Dreieck gibt es einen Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte liegen. Der Mittelpunkt dieses Kreises wird Umkreismittelpunkt genannt. Er ist von allen Eckpunkten des Dreiecks genau gleich weit entfernt. Sticht man mit dem Zirkel in diesen Punkt ein und stellt den Radius auf die richtige Größe ein, so erhält man einen Kreis, der durch alle drei Eckpunkte verläuft.

Für den Umkreismittelpunkt gilt folgender Satz:

• Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten. Er ist von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt.

Betrachten wir das Dreieck $ABC$.

Der Punkt in der Mitte der Seite $\overline{AB}$ ist von den Ecken $A$ und $B$ gleich weit entfernt. Konstruiert man durch diesen Punkt eine zu der Strecke $\overline{AB}$ senkrechte Gerade, so liegen alle Punkte, die von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind, auf dieser Geraden. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

Der Punkt in der Mitte der Strecke $\overline{AC}$ ist von $A$ und $C$ gleich weit entfernt. Auch dort kann man die Mittelsenkrechte konstruieren. Auf ihr liegen alle Punkte, die gleich weit von $A$ und $C$ entfernt sind.

Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist von allen drei Ecken $A$, $B$ und $C$ gleich weit entfernt. Damit ist dieser Schnittpunkt der Umkreismittelpunkt. Schauen wir uns im nächsten Absatz anhand eines Beispiels an, wie man den Umkreismittelpunkt konstruiert.

Wie ermittelt man den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks? – Beispiel

Um diesen Umkreismittelpunkt zu konstruieren, betrachten wir zunächst wieder das Dreieck $ABC$. Zuerst muss eine Mittelsenkrechte auf eine der drei Seiten konstruiert werden. Mit welcher Seite begonnen wird, ist dabei egal.

Beginnen wir mit der Seite $\overline{AB}$. Dafür stechen wir mit dem Zirkel in den Punkt $B$ ein. Der Radius des Zirkels muss etwas größer eingestellt werden als die Hälfte der Länge der Strecke. Dann zeichnen wir jeweils einen Teil des Kreisbogens unterhalb und oberhalb der Strecke $\overline{AB}$.

Mit der gleichen Zirkelspanne wiederholen wir diesen Vorgang im Punkt $A$. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte der beiden Kreisbogen. Durch diese beiden Punkte ziehen wir nun mit dem Lineal eine Gerade. Dies ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

Den gleichen Vorgang wiederholen wir nun mit einer weiteren Seite. Auch dabei ist es egal, welche der beiden Seiten wir wählen. Konstruieren wir nun also die Mittelsenkrechte der Seite $\overline{AC}$. Den Radius des Zirkels stellen wir zunächst wieder etwas größer als die Hälfte der Strecke $\overline{AC}$ ein. Danach stechen wir in $C$ ein und zeichnen zwei Teile des Kreisbogens. Das Gleiche wiederholen wir mit derselben Zirkelspanne in Punkt $A$. Durch die zwei entstandenen Schnittpunkte zeichnen wir eine Gerade. Diese ist die Mittelsenkrechte der Strecke $AC$.

Es ergibt sich ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ liegen alle Punkte, die von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind. Auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AC}$ liegen alle Punkte, die von $A$ und $C$ gleich weit entfernt sind. Daher ist der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten von $A$, $B$ und $C$ gleich weit entfernt. Es handelt sich bei dem Schnittpunkt also um den Umkreismittelpunkt.

Es könnte zusätzlich noch die dritte Mittelsenkrechte konstruiert werden, allerdings würde sie durch den gleichen Punkt gehen, weshalb schon zwei Mittelsenkrechten ausreichen, um den Umkreismittelpunkt zu bestimmen.

Als Beweis, dass der Umkreismittelpunkt richtig konstruiert wurde, kann nun überprüft werden, ob der Umkreis durch alle drei Punkte geht. Dafür stechen wir mit dem Zirkel in den Umkreismittelpunkt ein und wählen die Entfernung zu einem der Eckpunkte als Radius. Nun zeichnen wir den Kreis. Liegen alle drei Eckpunkte auf dem Radius, so wurde der Umkreismittelpunkt korrekt ermittelt.

Wo liegt der Umkreismittelpunkt?

Ein Umkreismittelpunkt muss nicht immer innerhalb des Dreiecks liegen. Doch wann liegt ein Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks und wie sieht es bei rechtwinkligen Dreiecken aus? Die Regeln für die Lage des Umkreismittelpunkts lauten:

• Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks.
• Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt immer im Mittelpunkt der Hypotenuse. Er liegt also auf der längsten Seite des Dreiecks.
• Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt immer außerhalb des Dreiecks.

Die Lage des Umkreismittelpunkts hängt also von der Art des Dreiecks ab.

In diesem Video zum Umkreismittelpunkt bestimmen ...

... lernst du, was der Umkreismittelpunkt ist und wie man ihn konstruieren kann. Dazu sehen wir uns ein Beispiel an. Du siehst, dass der Umkreismittelpunkt nicht immer innerhalb des Dreiecks liegt – seine Lage hängt von der Art des Dreiecks ab.

Wenn du jetzt selbst noch ein paar Übungen zum Bestimmen des Umkreismittelpunkts machen willst, dann findest du dazu hier auf der Seite Arbeitsblätter und Übungen mit Aufgaben zum Bestimmen von Umkreismittelpunkten.