Schulausfall:
sofatutor 30 Tage kostenlos nutzen

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Die Winkelhalbierende 05:10 min

Textversion des Videos

Transkript Die Winkelhalbierende

Was wäre Lena Lagerfeuers Campingplatz ohne einen Platz fürs Lagerfeuer? Den Weg dorthin möchte sie genau planen. Hier ist der Eingang und das Rezeptionsgebäude. Die Grundstücksgrenzen ihres Campingplatzes verlaufen hier. Damit der Platz fürs Lagerfeuer gut erreichbar ist, soll der Weg dorthin genau in der Mitte zwischen den Grundstücksgrenzen verlaufen. Für die Anlage dieses Weges benötigt Lena Kenntnisse über die Winkelhalbierende. Aber was genau ist eine Winkelhalbierende? Haben wir einen Winkel Phi gegeben, dann ist die Winkelhalbierende genau diejenige Halbgerade, die den Winkel Phi in zwei gleich große Winkel teilt. Schauen wir uns den Plan für den Weg zum Lagerfeuerplatz doch einmal näher an: Die beiden Grundstücksgrenzen schließen einen Winkel ein. Genau in der Mitte zwischen den Grundstücksgrenzen soll der Weg verlaufen. Er liegt damit auf der Winkelhalbierenden. Aber wie kann Lena sie konstruieren? Sie hat schon den Verlauf der Grundstücksgrenzen abgetragen, die den Winkel Alpha einschließen. Um den Winkelscheitel schlägt sie mit dem Zirkel einen Kreisbogen. Es entsteht je einen Schnittpunkt mit den Schenkeln des Winkels. Dann schlägt sie so einen Kreisbogen um den ersten Schnittpunkt. Mit derselben Zirkelspanne schlägt sie auch einen Kreisbogen um den anderen Schnittpunkt. Dabei sollen sich die Kreisbogen in zwei Punkten schneiden. Mit Lineal oder Geodreieck können wir durch diese Punkte eine Halbgerade einzeichnen. Sie beginnt beim Winkelscheitel. Bei dieser Halbgeraden handelt es sich genau um die Winkelhalbierende. Die Winkelhalbierende hat aber noch eine andere Eigenschaft: Ein beliebiger Punkt auf ihr hat zu beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand. Das gilt für jeden Punkt auf der Winkelhalbierenden. Das können wir uns im Dreieck A, B, C zunutze machen. Denn auch der Winkel Gamma hat eine Winkelhalbierende. Jeder beliebige Punkt auf ihr ist von beiden Schenkeln des Winkels Gamma, den Dreiecksseiten a und b, gleich weit entfernt. Beide Winkelhalbierende schneiden sich in einem Punkt, dem Schnittpunkt I. Weil Punkt I auf dieser Winkelhalbierenden liegt hat er zu den Dreiecksseiten a und b den gleichen Abstand. Weil er auch auf dieser Winkelhalbierenden liegt, hat er auch zu den Dreiecksseiten b und c den gleichen Abstand. Er hat also zu allen Seiten des Dreiecks ABC den gleichen Abstand. Daher bildet er den Mittelpunkt eines Kreises, der alle Seiten des Dreiecks ABC genau einmal von innen berührt. Dieser Kreis heißt der Inkreis des Dreiecks ABC. Und während Lena den Weg zum Lagerfeuer anlegt, fassen wir zusammen. Die Winkelhalbierende eines Winkels Alpha ist eine Halbgerade, die den Winkel Alpha in zwei gleich große Winkel teilt. Jeder beliebige Punkt auf ihr hat zu beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand. Du kannst sie konstruieren, indem du um den Winkelscheitel so einen Kreisbogen schlägst. Um die beiden Schnittpunkte mit den Schenkeln des Winkels schlägst du zwei weitere Kreisbögen, die denselben Radius haben müssen. Sie schneiden sich in zwei Punkten. Durch diese Punkte verläuft die Winkelhalbierende. In einem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden aller Winkel in einem Punkt. Dabei handelt es sich um den Mittelpunkt des Inkreises. Auch in manchen anderen Vielecken schneiden sich alle Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dann besitzt das Vieleck einen Inkreis. Der Weg ist angelegt, morgen kann das erste Lagerfeuer gemacht werden. Moment, was ist denn da los?

6 Kommentare
  1. Hallo Itslearning Nutzer 2535 42507,
    hast du Zugang zur Lehrerbox oder dem Fach-Chat? Dann könntest du dort um Hilfestellung bei konkreten Fragen oder Aufgaben bitten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 18 Tagen
  2. Irgendwie funktioniert das bei mir nicht und ich verstehe auch nicht ganz wie man die Reinfolge festlegen soll.

    Von Itslearning Nutzer 2535 42507, vor 18 Tagen
  3. endlich habe ich es Verstanden ;) Danke!

    Von Itslearning Nutzer 2535 42507, vor 18 Tagen
  4. Super erklärt. Habe es endlich verstanden. Juhu :)

    Von Bjoern Licher, vor etwa einem Monat
  5. Danke!!!!!Ich schreibe morgen eine Arbeit und dieses Video hat mich gerettet.

    Von Bilal B., vor 3 Monaten
Mehr Kommentare

Die Winkelhalbierende Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die Winkelhalbierende kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige die Winkelhalbierenden der Winkel bei den Eckpunkten $A$ und $C$.

    Tipps

    Jede Winkelhalbierende verläuft durch einen Eckpunkt des Dreiecks.

    Eine Winkelhalbierende steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite.

    Keine Seite eines Dreiecks ist eine Winkelhalbierende der Winkel des Dreiecks.

    Lösung

    Die Winkelhalbierende eines Winkels teilt den Winkel genau in der Mitte. Jeder Punkt der Winkelhalbierenden hat daher von jedem Schenkel des Winkels denselben Abstand.

    In dem Bild siehst du neben den drei Dreiecksseiten sieben weitere Strecken, die durch Eckpunkte des Dreiecks oder die Seitenmittelpunkte verlaufen. Keine der Dreiecksseiten ist eine Winkelhalbierende eines der Winkel des Dreiecks, denn je zwei Seiten liegen einem Winkel an, die dritte liegt ihm gegenüber.

    Unter den weiteren Strecken sind die Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$ bei dem Eckpunkt $A$ und des Winkels $\gamma$ bei dem Eckpunkt $C$. Diese Strecken sind grün gezeichnet. Außerdem siehst du die Höhe von dem Eckpunkt $C$ auf die Seite $c$ in blau, die Mittelsenkrechten der Seiten $b$ und $c$ in rot sowie die Seitenhalbierenden der Seiten $a$ und $b$ in violett.

  • Zeige die Konstruktionsschritte der Winkelhalbierenden auf.

    Tipps

    Beginne die Konstruktion im Scheitelpunkt des Winkels.

    Beende die Konstruktion mit der Benutzung des Lineals.

    Markiere Schnittpunkte jeweils im nächsten Schritt, nachdem sie konstruiert wurden.

    Lösung

    Du kannst die Konstruktionsschritte in die richtige Reihenfolge bringen, indem du jeweils vergleichst, was bei den einzelnen Bildern an Konstruktion neu hinzukommt. Es hilft auch, die Aktionen auf den einzelnen Bildern in Worten zu beschreiben, um die richtige Reihenfolge zu finden.

    Hier ist eine Beschreibung der Konstruktionsschritte auf den einzelnen Bildern in Worten:

    1. Stich den Zirkel im Scheitelpunkt des Winkels ein.
    2. Schlage einen Kreisbogen, der beide Schenkel des Winkels schneidet.
    3. Markiere die Schnittpunkte des Kreisbogens mit den Schenkeln des Winkels.
    4. Stich den Zirkel in einen der Schnittpunkte des Kreisbogens mit dem Schenkel ein.
    5. Schlage einen Kreisbogen um einen Schnittpunkt des ersten Kreisbogens mit einem Schenkel des Winkels.
    6. Verändere die Zirkelspanne nicht.
    7. Stich den Zirkel in den anderen Schnittpunkt des ersten Kreisbogens mit dem Schenkel des Winkels ein und schlage einen weiteren Kreisbogen.
    8. Markiere die beiden Schnittpunkte der letzteren beiden Kreisbogen.
    9. Verbinde mit dem Lineal die markierten Schnittpunkte miteinander und mit dem Scheitelpunkt des Winkels.
  • Zeige die Winkelhalbierenden und den Inkreis.

    Tipps

    Jede Winkelhalbierende verläuft durch einen Eckpunkt des Dreiecks.

    Der Inkreis trifft keinen Eckpunkt des Dreiecks.

    Eine Winkelhalbierende trifft im Allgemeinen nicht den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

    Lösung

    In dem Bild siehst du ein Dreieck mit $9$ Strecken und $2$ Kreisen. Die Winkelhalbierende eines Winkels des Dreiecks verläuft genau in der Mitte zwischen den beiden Seiten, die diesen Winkel bilden. Sie verläuft von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite und trifft diese im Allgemeinen weder rechtwinklig noch mittig.

    Neben den drei Winkelhalbierenden sind in dem Bild noch zwei Mittelsenkrechte, zwei Höhen und zwei Seitenhalbierende zu sehen. Die Mittelsenkrechten verlaufen vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Seite. Sie stehen senkrecht auf derjenigen Seite, durch deren Mittelpunkt sie verlaufen, und treffen im Allgemeinen nicht den gegenüberliegenden Eckpunkt. Die Seitenhalbierende einer Seite verläuft vom Seitenmittelpunkt zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Sie stimmt im Allgemeinen nicht mit der Winkelhalbierenden des Winkels an diesem Eckpunkt überein. Die Höhe auf eine Seite verläuft von dem gegenüberliegenden Eckpunkt senkrecht auf diese Seite. Sie stimmt ebenfalls meistens nicht mit der Winkelhalbierenden überein.

    Der Inkreis berührt jede Seite des Dreiecks in genau einem Punkt und verläuft ganz im Innern des Dreiecks. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

    Neben dem Inkreis siehst du in dem Bild noch einen weiteren Kreis: Dieser schneidet die Dreiecksseiten an verschiedenen Stellen und verläuft weder ganz im Innern noch ganz im Äußeren des Dreiecks.

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Zeichne die Winkelhalbierende eines Winkels nicht als Halbgerade, sondern als Gerade über den Scheitelpunkt hinaus.

    Der Abstand eines Punktes des Inkreises zu den Seiten des Dreiecks ist nicht für jeden Punkt des Inkreises gleich.

    Lösung

    Jeder Winkel entsteht durch den Schnitt zweier Geraden. Der Schnittpunkt der Geraden heißt Scheitelpunkt des Winkels. Die an dem Schnitt einander gegenüberliegenden Winkel sind Gegenwinkel zueinander. Die beiden Halbgeraden, die einen Winkel einschließen, heißen Schenkel des Winkels. Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die genau in der Mitte zwischen den beiden Schenkeln eines Winkels verläuft. Sie ist daher stets auch die Winkelhalbierende des Gegenwinkels. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Inkreises. Er hat daher zu allen Seiten des Dreiecks denselben Abstand. Der Inkreis berührt jede Seite des Dreiecks in genau einem Punkt.

    So findest du folgende vollständigen Sätze:

    • „Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ... hat zu allen Seiten des Dreiecks denselben Abstand.
    • „Der Inkreis eines Dreiecks ... berührt jede Seite des Dreiecks in genau einem Punkt.“
    • „Der Winkel zwischen der Winkelhalbierenden und einem Schenkel ... ist halb so groß wie der Winkel zwischen den beiden Schenkeln.“
    • „Die Winkelhalbierende eines Winkels ... ist zugleich die Winkelhalbierende des Gegenwinkels.“
  • Beschrifte die geometrischen Elemente im Bild.

    Tipps

    Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.

    Die Höhe in einem Dreieck ist eine Strecke, die durch einen Eckpunkt verläuft und senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite steht.

    Im Scheitelpunkt eines Winkels schneiden sich seine beiden Schenkel.

    Lösung

    In dem Bild siehst du verschiedene geometrische Größen. Ein Dreieck wird durch seine Seiten begrenzt. Zwei Seiten schließen je einen Winkel ein. Der Scheitelpunkt eines Winkels ist der Punkt, in dem sich die beiden Seiten schneiden, die den Winkel einschließen. Die beiden Halbgeraden, die einen Winkel bilden, heißen Schenkel des Winkels. Die Winkelhalbierende ist eine Strecke (oder Gerade oder Halbgerade), die durch den Scheitelpunkt des Winkels verläuft und diesen genau in der Mitte teilt.

  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Innenwinkel gleich, bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Innenwinkel gleich groß.

    Jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Seite hat zu den beiden Endpunkten dieser Seite denselben Abstand.

    Lösung

    Jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Dreiecksseite hat zu beiden Endpunkten der Seiten denselben Abstand. Dadurch hat der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks denselben Abstand und ist folglich der Mittelpunkt des Umkreises.

    Bei einem gleichseitigen Dreieck sind die Winkelhalbierenden zugleich Seitenhalbierende, Mittelsenkrechten und Höhen. Der Mittelpunkt des Umkreises ist daher auch der Mittelpunkt des Inkreises. Tatsächlich ist dies nur beim gleichseitigen Dreieck der Fall.

    Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Dreiecksseiten gleich lang und folglich die gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Die beiden gleich langen Seiten nennt man Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Die Winkel der Schenkel mit der Basis heißen Basiswinkel. Da die beiden Basiswinkel gleich groß sind, sind auch ihre Winkelhalbierenden gleich lang. Die Winkelhalbierende des dritten Winkels, also des Winkels zwischen den beiden Schenkeln, ist zugleich die Mittelsenkrechte der Basis.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Nur in einem gleichseitigen Dreieck ist jede Winkelhalbierende zugleich Seitenhalbierende.“ Ist die Winkelhalbierende eines Winkels zugleich Seitenhalbierende der gegenüberliegenden Seite, so sind die Schenkel des Winkels gleich lang, das Dreieck also gleichschenklig. Gilt dies für die Schenkel jedes Winkels, so ist das Dreieck gleichseitig.
    • „Sind Inkreis und Umkreis konzentrisch, so ist das Dreieck gleichseitig.“ Gleichseitige Dreiecke sind die einzigen, bei denen der Mittelpunkt von Inkreis und Umkreis identisch sind.
    • In einem gleichschenkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt des Umkreises auf der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen den beiden Schenkeln.“ Die Winkelhalbierende des Winkels zwischen den Schenkeln ist zugleich die Mittelsenkrechte der Basis, und der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Umkreises.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Sind in einem Dreieck zwei Winkelhalbierende gleich lang, so ist das Dreieck gleichseitig.“ Dies gilt auch für die Winkelhalbierenden der Basiswinkel eines gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreiecks.
    • „Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises und des Umkreises.“ Die Aussage für den Inkreis ist richtig, die für den Umkreis ist falsch für nicht gleichseitige Dreiecke.
    • „Ist die Mittelsenkrechte einer Seite die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels, so ist das Dreieck gleichseitig.“ Die Mittelsenkrechte der Basis eines gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreiecks ist ebenfalls die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels.