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Die Höhe eines Dreiecks 05:11 min

Textversion des Videos

Transkript Die Höhe eines Dreiecks

Hallo. In diesem Video lernst du, was die Höhen eines Dreiecks sind und wie du sie konstruieren kannst. Schauen wir uns so eine Höhe im Dreieck einmal genau an. Hier siehst du die Höhe hc. Das tiefgestellte c zeigt an, dass es sich um die Höhe handelt, die senkrecht zur Grundseite c steht und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt C verläuft. Die Höhe liegt auf einer senkrechten Geraden, die du schon kennst - nämlich auf dem Lot. Die Höhe ha liegt entsprechend auf dem Lot und die Höhe hb auf diesem. Jetzt hast du gelernt, wo und wie die Höhen im Dreieck verlaufen. Doch wie werden sie konstruiert? Für jede Höhe kannst du in drei Schritten vorgehen: Für die Höhe hc zeichnest du vom Punkt C aus einem großen Kreisbogen. Den Radius des Kreises wählst du so, dass du zwei Schnittpunkte mit der Seite c oder wenn es dafür notwendig ist - mit der Verlängerung der Seite c erhältst. Die beiden Schnittpunkte markierst du und zeichnest um diese beiden Punkte zwei weitere Kreisbogen. Sie müssen beide denselben Radius haben und sich zweimal schneiden. Diese Schnittpunkte und der Eckpunkt C liegen auf einer Geraden dem Lot im Punkt C. Die Strecke vom Eckpunkt zur Grundseite ist dann die Höhe hc. Jetzt zeichnen wir noch die anderen beiden Höhen ein. Für die Höhe ha zeichnen wir vorsorglich die Verlängerung der Seite a, einen Kreisbogen um den Eckpunkt A, markieren die beiden Schnittpunkte des Kreisbogens mit der Verlängerung der Grundseite, stechen in diese Schnittpunkte ein und zeichnen zwei gleichgroße Kreisbogen. Nun können wir das Lot zeichnen, das durch diese beiden Schnittpunkte und den Punkt A geht und diese Strecke als Höhe ha markieren. Jetzt fehlt nur noch die Höhe hb: Grundseite verlängern, mit dem Zirkel in B einstechen, ein weiter Kreisbogen, Schnittpunkte mit der Verlängerung der Grundseite markieren, von dort aus zwei gleichgroße Kreisbogen zeichnen und durch deren Schnittpunkte und den Eckpunkt das Lot ziehen. Hier ist die Höhe hb. Hast du genau gezeichnet, dann treffen sich alle drei Höhen in einem Punkt! Dieser Punkt wird als 'Höhenschnittpunkt' H bezeichnet. Wir haben nun also die Höhen und den Höhenschnittpunkt für den Fall eines "spitzwinkligen Dreiecks" eingezeichnet. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck gehen wir genauso vor. Wir starten diesmal mit hb und zeichnen daher die Verlängerung der Grundseite b und einen weiten Kreisbogen um den Punkt B. Um die Schnittpunkte mit der gegenüberliegenden Verlängerung ziehen wir die beiden Kreisbogen. Hier liegt das Lot und hier die Höhe. Kommen wir zu ha. Zuerst die Verlängerung von a und der Kreisbogen um A. Gibt es hier nur einen Schnittpunkt? Nein, der zweite Schnittpunkt liegt nur SEHR weit außerhalb des Dreiecks! Es kann also wie gewohnt weitergehen! Um die Schnittpunkte kommen die beiden gleichgroßen Kreisbogen. Das Lot durch den Eckpunkt A auf die Verlängerung der Grundseite und damit die Höhe ha liegen hier vollkommen außerhalb des Dreiecks! Auch beim Konstruieren der Höhe hc müssen wir die Verlängerung der Seite c einzeichnen. Ein weiter Kreisbogen um C, zwei gleichgroße Kreisbogen um die Schnittpunkte. Hier ist hc. Nun liegt auch der Höhenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks. Das ist bei stumpfwinkligen Dreiecken übrigens immer so. Wie sieht es denn bei rechtwinkligen Dreiecken aus? Wir konstruieren die Höhe auf a, also erst einmal das passende Lot. Die HÖHE ha entspricht diesmal einer Seite des rechtwinkligen Dreiecks! Bei der Höhe hb ist das übrigens genauso! Das ist eigentlich ganz logisch, da die Höhe ja immer genau rechtwinklig zu der entsprechenden Seite steht. Die Höhe hc konstruierst du genauso wie immer. Da ist sie. Der Höhenschnittpunkt hat im rechtwinkligen Dreieck ebenfalls eine besondere Lage. Er liegt genau auf dem Eckpunkt, bei dem der rechte Winkel liegt. Nachdem du jetzt die Höhen in allen möglichen Dreiecksformen kennen gelernt hast, fassen wir alles kurz zusammen. Zu jedem Dreieck gibt es drei Höhen - jede Höhe ist nämlich die Strecke vom Eckpunkt aus, die senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite steht. Sie lässt sich immer mithilfe des passenden Lotes konstruieren. Egal, wie das Dreieck aussieht! Ob die Höhe außerhalb des Dreiecks liegt, direkt auf einer der Seiten, oder eben innerhalb des Dreiecks, ganz egal: Du fällst dreimal dein Lot, markierst die drei Höhen und findest so noch den Höhenschnittpunkt. So, Höhen im Dreieck haben wir. Jetzt noch die Höhen im Gesang: "Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah".

1 Kommentar
  1. Es hat mir geholfen danke

    Von Marc Aurel Z., vor 2 Monaten

Die Höhe eines Dreiecks Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die Höhe eines Dreiecks kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zur Höhe von Dreiecken.

    Tipps

    Hier wurden alle Höhen eines spitzwinkligen Dreiecks eingezeichnet.

    In einem rechtwinkligen Dreieck liegen zwei Seitenlängen (beispielsweise $a$ und $b$) an einem rechten Winkel an. Die Höhen dieser beiden Seitenlängen verlaufen auf jeweils der anderen Seitenlänge ($h_a$ liegt auf $b$ und andersrum).

    Lösung

    Diese Aussagen sind richtig:

    „Alle drei Höhen treffen sich in genau einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.“

    „In einem stumpfwinkligen Dreieck kommen Höhen vor, die außerhalb des Dreiecks liegen.“

    „In rechtwinkligen Dreiecken liegt der Höhenschnittpunkt genau auf dem Eckpunkt, in dem der rechte Winkel liegt.“

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Höhe $h_c$ steht senkrecht zur Seitenlänge $b$ und verläuft durch den Eckpunkt $C$.“

    • Jede Höhe steht senkrecht zu einer Seitenlänge und verläuft durch den gegenüberstehenden Eckpunkt. Die Höhe $h_c$ steht also senkrecht zur Seitenlänge $c$.
    „Ein Dreieck hat entweder genau eine oder drei Höhen. Diese können unterschiedliche oder gleiche Längen haben.“

    • Jedes Dreieck hat genau drei Höhen. Diese können jedoch auch außerhalb des Dreiecks liegen.
  • Beschreibe die Konstruktion von Höhen in Dreiecken.

    Tipps

    Die Höhe $h_c$ ist ein Lot auf der Seitenlänge $c$, das durch den Eckpunkt $C$ verläuft.

    Der Radius des ersten Kreisbogens soll so gewählt werden, dass zwei Schnittpunkte mit der Verlängerung der Seitenlänge entstehen.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    “Um die Höhe $h_c$ zu konstruieren, verlängere zuerst die Seitenlänge $c$. Zeichne dann einen Kreisbogen um den Eckpunkt $C$. Dieser Kreisbogen sollte die verlängerte Seitenlänge zweimal schneiden. Markiere die beiden Schnittpunkte.“

    • Die Höhe $h_c$ ist ein Lot auf der Seitenlänge $c$, das durch den Eckpunkt $C$ verläuft. Das wird hier konstruiert. Mit diesem ersten Kreisbogen findest du zwei Punkte auf der Seitenlänge $c$, die den gleichen Abstand vom Eckpunkt $C$ haben.
    „Anschließend zeichnest du zwei Kreisbögen um die gerade gefundenen Schnittpunkte. Die Kreisbögen müssen den gleichen Radius haben und sich zweimal schneiden.“

    • Das gesuchte Lot hat in jedem Punkt den gleichen Abstand zu den beiden gefundenen Schnittpunkten. Hier finden wir zwei dieser Punkte, die den gleichen Abstand zu den Schnittpunkten haben, sodass wir das Lot zeichnen können.
    „Durch die beiden Schnittpunkte und den Punkt $C$ kannst du ein Lot zeichnen. Dieses steht senkrecht auf der Seitenlinie $c$ und ist die Höhe $h_c$ des Dreiecks.“

  • Erschließe, wo der Höhenschnittpunkt der Dreiecke liegt.

    Tipps

    Die Dreiecke kannst du anhand der Winkel unterscheiden. Ein spitzwinkliges Dreieck hat ausschließlich Winkel, die kleiner als $90^{\circ}$ sind. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel von genau $90^{\circ}$ und ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel, der größer als $90^{\circ}$ ist.

    Lösung

    Die Begriffe kannst du folgendermaßen zuordnen. Die Dreiecke kannst du anhand der Winkel unterscheiden. Ein spitzwinkliges Dreieck hat ausschließlich Winkel, die kleiner als $90^{\circ}$ sind. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel von genau $90^{\circ}$ und ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel, der größer als $90^{\circ}$ ist.

    • Die Höhen $h$ spitzwinkliger Dreiecke verlaufen innerhalb des Dreiecks und der Höhenschnittpunkt $H$ liegt innerhalb des Dreiecks.
    • Die Höhen $h$ stumpfwinkliger Dreiecke können außerhalb des Dreiecks verlaufen und treffen sich immer außerhalb des Dreiecks.
    • Zwei Höhen $h$ von rechtwinkligen Dreiecken verlaufen auf den Seitenlinien des Dreiecks und alle Höhen treffen sich immer in einem Eckpunkt.
  • Ermittle die Höhen eines Dreiecks.

    Tipps

    Die Längen der Höhen kannst du bestimmen, indem du das Dreieck in dein Heft zeichnest und wie gewohnt die Höhen konstruierst. Dann kannst du die Längen der Höhen abmessen.

    Hast du Probleme das Dreieck zu zeichnen, kannst du es in ein Koordinatensystem platzieren. Dabei liegt der Punkt $A$ bei $(0\vert0)$, $B$ bei $(0\vert7)$ und $C$ hat die Koordinaten $(3,5\vert 1,9)$.

    Lösung

    Die Längen der Höhen kannst du bestimmen, indem du das Dreieck in dein Heft zeichnest und wie gewohnt die Höhen konstruierst. Dann kannst du die Längen der Höhen abmessen.

    Hast du Probleme das Dreieck zu zeichnen, kannst du es in ein Koordinatensystem platzieren. Dabei liegt der Punkt $A$ bei $(0\vert0)$, $B$ bei $(0\vert7)$ und $C$ hat die Koordinaten $(3,5\vert 1,9)$.

    Damit ergeben sich folgende Höhen:

    $h_a=2,6~\text{cm}$

    $h_b=4,3~\text{cm}$

    $h_c=1,9~\text{cm}$

  • Beschrifte das Dreieck und seine Höhen.

    Tipps

    Beachte, dass Seitenlängen immer mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet werden.

    Große Buchstaben bezeichnet die den Seitenlängen gegenüberliegenden Eckpunkte. ($b$ liegt gegenüber der Seitenlänge $B$)

    Lösung

    So kannst du das Dreieck beschriften. Beachte, dass Seitenlängen immer mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet werden. Dieselben großen Buchstaben bezeichnet die den Seitenlängen gegenüberliegenden Eckpunkte. Höhen werden nach der Seitenlänge bezeichnet, die senkrecht zu ihnen steht.

  • Bestimme den Flächeninhalt eines Dreieck mit Hilfe der Höhe.

    Tipps

    In einem rechtwinkligen Dreieck verlaufen die Höhen der Seitenlängen, die am rechten Winkel anliegen genau durch die jeweils andere Seitenlänge am rechten Winkel. Also ist hier $b$ die Höhe zur Seitenlänge $a$ und umgekehrt.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu bestimmen, müssen wir zuerst eine Höhe des Dreiecks bestimmen. Die Höhe $h_c$ konstruieren wir wie gewohnt durch einen Kreisbogen um den Punkt $C$. Um die beiden Schnittpunkte des Kreisbogens mit der verlängerten Seitenlänge $C$ zeichnen wir zwei weitere Kreisbogen. Durch die Schnittpunkte dieser beiden Kreisbögen zeichnen wir ein Lot. Jetzt können wir die Höhe $h_c$ abmessen. Diese beträgt: $2,4~\text{cm}$.“

    • Diesen Wert erhältst du, wenn du das Lot wie beschrieben konstruierst.
    „Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich durch:

    $A=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

    Dabei kann $g$ eine beliebige Seitenlänge sein. $h$ ist die zu dieser Seitenlänge gehörige Höhe. Bei uns lautet die Formel also:

    $A=\frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$“

    • Hier können wir jede beliebige Seitenlänge und ihre Höhe einsetzen.
    „Setzen wir die Werte ein, erhalten wir:

    $A=\frac{1}{2} \cdot 5~\text{cm} \cdot 2,4~\text{cm}=6~\text{cm}^2$“.

    „Der Flächeninhalt lässt sich auch einfacher bestimmen. Verwenden wir eine der anderen Seitenlängen als Höhe, vereinfacht sich die Rechnung zu:

    $A=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

    Hier erhalten wir:

    $A=\frac{1}{2} \cdot 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm}=6~\text{cm}^2$“.

    • In einem rechtwinkligen Dreieck verlaufen die Höhen der Seitenlängen, die am rechten Winkel anliegen genau durch die jeweils andere Seitenlänge am rechten Winkel. Also ist hier $b$ die Höhe zur Seitenlänge $a$ und umgekehrt. Damit vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts, da wir keine Höhe bestimmen müssen.