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pq-Formel für quadratische Gleichungen 09:06 min

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Transkript pq-Formel für quadratische Gleichungen

Hallo! Hier ist eine quadratische Gleichung, und die soll jetzt mal mithilfe der pq-Formel gelöst werden. Hier siehst du die pq-Formel, und die quadratische Gleichung lautet: -7x2+42x+280=0 Wir können eine quadratische Gleichung lösen, wenn sie diese Form hat, in dieser Form muss sie vorliegen, dann können wir sie lösen. Und diese Form ist so zu verstehen, ich fang mal hier rechts an. Die rechte Seite dieser quadratischen Gleichung soll 0 sein. Das ist hier bei unserer quadratischen Gleichung der Fall. Dann das Gleichheitszeichen. Danach haben wir als letzten Summanden hier auf der linken Seite eine Zahl, dafür steht das q, irgendeine Zahl, die darf auch negativ sein. Bei unserer Gleichung ist es hier die 280, das ist ok. Hier soll ein Term stehen der Form, Zahl×x, das p steht wieder für irgendeine Zahl, ist auch ganz egal, welche das ist, die darf auch negativ sein. Hier haben wir bei dieser konkreten Gleichung 42•x. Das ist auch in Ordnung. Am Anfang der linken Seite soll 1•x² stehen. Dazu ist zu sagen, dass man meistens die 1 nicht hinschreibt. Du weißt, 1×x2=x2. Wenn man mit 1 multipliziert, ändert sich der Wert nicht, und deshalb wische ich die einfach hier weg. Hier steht die Normalform, und wenn eine Gleichung in Normalform vorliegt, kann man einfach die pq-Formel anwenden. Nun, und bei unserer Gleichung ist das nicht der Fall, denn hier steht nicht eine 1 vorne, und auch nicht gar nichts, sondern es steht -7 da. Was können wir da machen? Wir können die gesamte Gleichung durch -7 teilen, denn -7/-7=1, und die 1 kann man dann wieder weglassen. Also, wenn ich die ganze Gleichung hier durch -7 teile, dann steht hier als 1. Summand x2, als Nächstes muss ich 42/-7 teilen, das ist -6, also -6x, und die 280 wir auch noch durch -7 geteilt, 28/7=4, 280/7=40 und 280/-7=-40. Wenn ich die 0/-7 teile, bleibt das 0 und deshalb steht hier die 0. Und jetzt sehe ich also, dass diese Gleichung hier die Normalform hat. Dabei ist -6=p und -40=q. Und dann kann ich einfach die pq-Formel hier verwenden, indem ich nämlich für p etwas einsetze, und zwar das, wofür hier p steht, nämlich -6. Und wichtig ist hierbei, dass du bemerkst, vor diesem Term, der gerade noch p/2 hieß, steht ein Minuszeichen. Es heißt -(p/2), und wenn dieses p hier, diese Vorzahl vor dem x, -6 ist, musst du auch tatsächlich -6 einsetzen, da kommt es oft zu Fehlern, weil man meint, da steht ja schon ein Minuszeichen, dann spar ich mir das. Nein, nein, es muss also wirklich dann auch, wenn p=-6 ist, hier -6 eingesetzt werden. Hier ebenso, da schreib ich auch -6 hin. Das Ganze wird zwar quadriert, dann wär´s, also -×-=+, dann wär´s nicht so schlimm, aber wenn du einfach weißt, was ist das p, dann kannst du einfach das, was für p steht, einfach einsetzen, und dann ist die Formel immer richtig. Und auch richtig angewendet. Ebenso geht es hier mit dem q. Das q ist bei uns -40, und obwohl hier ein Minuszeichen steht kannst du nicht sagen: „Ja, das spar ich mir dann, ich schreib nur 40 hin.“. Nein, nein, du musst schon -40 hier hinschreiben und eine Klammer da drumsetzen denn es sollen keine 2 Rechenzeichen nebeneinander stehen, und so steht denn dann hier am Ende also -40. Und das kann man jetzt ganz einfach ausrechnen. Und das geht so: Wir wissen, x1,2=-(-6/2), -×-=+, 6/2=3, also darf ich hier eine 3 hinschreiben. 3±\?, ja, aus was eigentlich? Wir konzentrieren uns hier auf diese Klammer. Da steht -6/2=-3, -32=9. Hier steht jetzt -(-40). -×-=+, das ist also +40, im Ganzen steht hier also 9+40=49, und ?49=7. Und deshalb kann man hier auch einfach die 7 hinschreiben. Daraus ergibt sich, dass x1 = 3+7 ist, das ist 10, und x2=3-7=-4. Und das sind die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung. Das heißt, wenn ich hier für x 10 einsetze, oder auch -4 einsetze, dann ist die Gleichung richtig. Jetzt kann sich noch etwas anderes ergeben. Nämlich das wir keine 2 Lösungen haben. Und das ist dann der Fall, wenn das, was unter der Wurzel steht, nicht positiv ist. Zum Beispiel, wenn wir die Gleichung haben: x2-6x+40=0, dann müsste man hier für das q=40 einsetzen, und nicht -40. Dann steht da also 40 und hier steht weiterhin -6. -6/2=-3. -32=9. 9-40 ist auf jeden Fall eine negative Zahl, und im reellen Zahlenraum, wo wir uns ja befinden, kann man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen. Deshalb ist hier keine Lösung in Sicht, die Lösungsmenge bleibt leer, weil eben hier die Diskriminante, also das was hier unter der Wurzel steht, das heißt Diskriminante, diese ist kleiner als 0, und dann gibt es keine Lösung. Eine andere Möglichkeit ist noch diese Gleichung: x2-6x+9=0. Dann kann ich die pq-Formel verwenden, wie sie hier steht, nur muss ich jetzt, statt 40, 9 einsetzen. Und wir wissen schon, -32=9. Unter der Wurzel würde dann stehen 9-9, die Diskriminante ist 0, und dann gibt es nur 1 Lösung. Die einzige Lösung ist dann -(-6/2), das ist also +3, und diese Gleichung hat dann eben nicht 2 Lösungen, sondern nur 1. In diesem Falle ist dann die Lösung gleich 3. Das war´s zur pq-Formel. Viel Spaß damit, tschüss!

27 Kommentare
  1. Sorry, aber vollkommen unverständlich! Allein schon, warum diese Ausgangsgleichung gewählt wurde und gleich Null gesetzt wurde und wie die p-q-Formel aufgebaut ist. Gut wäre auch, zu erwähnen, dass man die Formel einfach auswendig lernen sollte. Irritierend ist total, dass wir die Bilder von vorn sehen und Sie immer andersrum zeigen. Das bedeutet, wir müssen immer doppelt umdenken. Wozu ist der Arbeitsraum und der Lehrer im Video zu sehen? Das lenkt ab.

    Von Maax, vor etwa einem Monat
  2. beste:)

    Von Yen, vor 2 Monaten
  3. Vielen dank für die Erklärung. Ich verstehe die Formel jetzt schon viel besser :D

    Von Deleted User 892359, vor 4 Monaten
  4. Sehr hilfreich

    Von Bjorn 2, vor etwa einem Jahr
  5. Das brauche ich noch nicht in der Arbeit für die ich übe , aber hab es mir nur einmal angeschaut und verstanden und werde versuchen es in der Arbeit zu nutzen :D Danke !!

    Von Michelle Naab, vor etwa einem Jahr
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pq-Formel für quadratische Gleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video pq-Formel für quadratische Gleichungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die p-q-Formel.

    Tipps

    Beachte, dass die p-q-Formel auf eine quadratische Gleichung in Normalform

    $x^2+px+q=0$

    angewendet wird. Du musst also zunächst durch $-7$ dividieren.

    Wenn du die Gleichung $-7x^2+42x+280=0$ durch $-7$ dividierst, musst du jeden Summanden durch $-7$ dividieren.

    $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ der Term, welcher alleine steht.

    Achte darauf, dass sowohl bei $p$ als auch bei $q$ das Vorzeichen mit dazugehört.

    Lösung

    Es soll die Gleichung

    $-7x^2+42x+280=0$

    gelöst werden. Um hierfür die p-q-Formel anzuwenden, muss die Gleichung auf die Normalform gebracht werden $x^2+px+q=0$. Die $0$ auf der rechten Seite ist bereits da. Es muss noch durch den Faktor vor dem $x^2$, also $-7$, dividiert werden:

    $\begin{align*} -7x^2+42x+280&=0&|&:(-7)\\ x^2-6x-40&=0. \end{align*}$

    Nun ist $p=-6$ und $q=-40$ und die p-q-Formel lautet

    $x_{1,2}=-\frac{-6}2\pm\sqrt{\left(\frac{-6}2\right)^2-(-40)}$.

  • Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Achte auf die Vorzeichen.

    Der Term unter der Wurzel $\left(\frac{p}2\right)^2-q$ wird als Diskriminante bezeichnet.

    Ist die Diskriminante

    • größer als $0$ wie in diesem Beispiel, dann gibt es zwei Lösungen,
    • gleich $0$, dann gibt es eine Lösung,
    • kleiner als $0$, dann gibt es keine Lösung.

    Das $\pm$ zeigt an, dass es zwei Lösungen geben kann. Du musste gegebenenfalls einmal plus und einmal minus rechnen.

    Lösung

    Quadratische Gleichungen können mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden. Diese lautet

    $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$

    für die Gleichung $x^2+px+q=0$. Diese quadratische Gleichung heißt in Normalform, da der Faktor vor der $x^2$ die $1$ ist.

    Nun kann man weiter rechnen

    $\begin{align*} x_{1,2}&=-\frac{-6}2\pm\sqrt{\left(\frac{-6}2\right)^2-(-40)}\\ &=3\pm\sqrt{3^2+40}\\ &=3\pm\sqrt{49}\\ &=3\pm 7\\ x_1&=3+7=10\\ x_2&=3-7=-4. \end{align*}$

    Der Term unter der Wurzel $\left(\frac{p}2\right)^2-q$ wird als Diskriminante bezeichnet.

    Wenn diese

    • größer ist als $0$ wie in diesem Beispiel, gibt es zwei Lösungen,
    • gleich $0$ ist, gibt es eine Lösung,
    • kleiner ist als $0$, gibt es keine Lösung.

  • Entscheide bei jeder der Funktionen, was $p$ und was $q$ ist.

    Tipps

    Beachte, dass du die Gleichung gegebenenfalls so multiplizieren oder dividieren musst, dass sie in Normalform

    $x^2+px+q=0$

    vorliegt.

    $p$ ist der Faktor vor dem $x$ und $q$ ist der Term, welcher alleine steht.

    Das Vorzeichen gehört sowohl bei $p$ als auch bei $q$ dazu.

    Lösung

    Wenn man die p-q-Formel

    $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$

    anwenden möchte, ist der wesentliche Schritt dabei der, $p$ und $q$ zu erkennen. Gegebenenfalls muss eine quadratische Gleichung noch in Normalform gebracht werden: $x^2+px+q=0$, dann ist

    • $p$ der Faktor vor dem $x$ und
    • $q$ der Term, welcher alleine steht.
    1. $x^2-3x+4=0$. Hier ist $p=-3$ und $q=4$.
    2. $2x^2+2x+4=0$. Zunächst muss man durch $2$ dividieren, um zu einer Normalform $x^2+x+2=0$ zu gelangen: $p=1$ und $q=2$.
    3. $-x^2-3x+4=0$. Durch Multiplikation mit $-1$ gelangt man zu $x^2+3x-4=0$, also ist $p=3$ und $q=-4$.

  • Ermittle die Lösung(en) der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet

    $x^2+px+q=0$.

    Die p-q-Formel lautet

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Wenn der Term $\left(\frac p2\right)^2-q$ unter der Wurzel in der p-q-Formel gleich $0$ ist, existiert nur eine Lösung.

    Lösung

    Es soll die quadratische Gleichung

    $-\frac12x^2+5x=\frac{25}2$

    gelöst werden. Diese Gleichung liegt noch nicht in Normalform vor:

    • Zum einen steht auf der rechten Seite nicht $0$ und
    • zum anderen steht vor dem $x^2$ ein Faktor ungleich $0$.
    Zunächst wird diese Gleichung in Normalform gebracht:

    $\begin{align*} -\frac12x^2+5x&=\frac{25}2&|&-\frac{25}2\\ -\frac12x^2+5x-\frac{25}2&=0&|&\cdot (-2)\\ x^2-10x+25&=0. \end{align*}$

    Nun kann man $p=-10$ und $q=25$ ablesen und diese in der p-q-Formel einsetzen:

    $x_{1,2}=-\frac{-10}2\pm\sqrt{\left(\frac{-10}2\right)^2-25}$.

    Jetzt wird weiter vereinfacht zu

    $x_{1,2}=5\pm\sqrt{5^2-25}=5\pm\sqrt 0=5$.

    Da der Term unter der Wurzel, die sogenannte Diskriminante, $0$ ist, ist es egal, ob man diesen Wert addiert oder subtrahiert, es kommt beide Male das Gleiche heraus. Es existiert also nur eine Lösung $x=5$.

  • Gib an, wann die p-q-Formel verwendet werden kann.

    Tipps

    Zu einem linearen Term $px+q$ gehört eine Gerade. Wie viele Schnittpunkte mit der x-Achse kann diese besitzen?

    Schau dir den Term

    $\left(\frac{p}2\right)^2-q$

    unter der Wurzel an.

    • Wann kann die Wurzel gezogen werden und wann nicht?
    • Was ist $\sqrt 0$?

    Es existiert auch eine a-b-c-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen.

    Lösung

    Zur Lösung quadratischer Gleichungen verwendet man die p-q-Formel. Die quadratische Gleichung muss hierfür in Normalform vorliegen:

    $x^2+px+q=0$.

    • $p$ ist also der Faktor vor dem $x$ und
    • $q$ der Term, welcher alleine steht.
    Die p-q-Formel lautet dann

    $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$.

    Der Term unter der Wurzel

    $\left(\frac{p}2\right)^2-q$

    wird als Diskriminante bezeichnet. Ist diese

    • größer als $0$, besitzt die Gleichung zwei Lösungen,
    • gleich $0$, besitzt die Gleichung eine Lösung und
    • kleiner als $0$, besitzt die Gleichung keine Lösung.

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Der Term, welcher in der p-q-Formel unter der Wurzel steht, wird als Diskriminante bezeichnet.

    Ist diese

    • größer als $0$, so existieren zwei Lösungen,
    • gleich $0$, so existiert eine Lösung und
    • kleiner als $0$, so existiert keine Lösung.

    Wenn die Diskriminante größer als $0$ ist, musst du deren Wurzel einmal addieren und einmal subtrahieren.

    Die Veränderung des Terms, welcher alleine steht, also $q$, kannst du dir als Verschiebung einer Parabel entlang der y-Achse nach oben oder unten vorstellen.

    Lösung

    Bei allen drei betrachteten Gleichungen ist $p=8$ und $q$ variiert. Es geht in dieser Übung darum klarzumachen, dass es mehrere Formen der Lösbarkeit für eine quadratische Gleichung gibt.

    Die p-q-Formel lautet - $\frac82=4$:

    $x_{1,2}=-4\pm\sqrt{4^2-q}=-4\pm\sqrt{16-q}$.

    $\mathbf{q=20}$:

    $x_{1,2}=-4\pm\sqrt{16-20}=-4\pm\sqrt{-4}$.

    Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert. Es existiert also keine Lösung.

    $\mathbf{q=16}$:

    $x_{1,2}=-4\pm\sqrt{16-16}=-4\pm\sqrt{0}=-4$.

    Die Wurzel aus $0$ ist $0$. Es existiert also eine Lösung, diese ist $x=-4$.

    $\mathbf{q=12}$:

    $x_{1,2}=-4\pm\sqrt{16-12}=-4\pm\sqrt{4}=-4\pm2$.

    Es existieren also zwei Lösungen: $x_1=-4+2=-2$ sowie $x_2=-4-2=-6$.