Potenzgesetze – Quotient von Potenzen

Potenzgesetze – Quotient von Potenzen Übung

• Gib das Potenzgesetz zu Quotienten von Potenzen an.

  Tipps

  Verwechsle dieses Gesetz nicht mit dem Gesetz zu Potenzen von Quotienten

  $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

  Schaue dir hierzu ein Beispiel an

  $\frac{5^5}{5^2}=\frac{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}{5\cdot 5}=\frac{\not 5\cdot \not 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}{\not5\cdot \not5}=5^3$.

  Der Faktor $5$ kann zweimal gekürzt werden. Das bedeutet, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner zweimal durch $5$ dividiert werden.

  Es gibt auch eine Regel für Produkte von Potenzen :

  $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

  In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Summe der Exponenten potenziert.

  Lösung

  Wenn Potenzen die gleiche Basis haben, kann man bei Quotienten wie folgt vorgehen:

  Quotienten von Potenzen

  $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

  Dieses Potenzgesetz kann man auch in Worten formulieren:

  Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Differenz der Exponenten potenziert.

• Beschreibe die drei Fälle, welche bei dem Potenzgesetz zu Quotienten von Potenzen unterschieden werden.

  Tipps

  Beachte, dass $a^{-n}=\frac1{a^n}$ ist.

  Wenn du eine Zahl oder einen Term durch die gleiche Zahl oder Term dividierst, erhältst du immer $1$.

  Es ist $a^0=1$.

  Lösung

  Um nachzuweisen, dass dieses Gesetz gilt, werden drei Fälle unterschieden:

  • 1. Fall: $m>n$
  • 2. Fall: $m<n$
  • 3. Fall: $m=n$

  1. Fall: $m>n$

  Der Quotient

  $\frac{a^m}{a^n}$

  kann mit Hilfe der Definition von Potenzen auch so geschrieben werden:

  $\frac{a^m}{a^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{m-mal}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}}$

  Da $m>n$ ist, kann man den Zähler wie folgt aufspalten:

  $\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{m-mal}}=\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{n-mal}}\cdot \overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{m-n-mal}}$.

  Das bedeutet, dass es den Faktor $n$-mal und dann nocheinmal $n-m$-mal gibt. Da der Faktor auch im Nenner $n$-mal vorkommt, kann $\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{n-mal}}$ gekürzt werden zu

  $\frac{a^m}{a^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{m-n-mal}}}{1}=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{m-n-mal}}=a^{m-n}$.

  2. Fall: $m<n$

  Dieser Fall ist so ähnlich wie der obige, nur dass dieses Mal im Nenner $n-m$-mal der Faktor $a$ übrig bleibt:

  $\frac{a^m}{a^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{m-mal}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{m-mal}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-m-mal}}}$

  Wieder kann gekürzt werden, dieses Mal $\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{\text{m-mal}}$. Dies führt zu

  $\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-m-mal}}}=a^{-(n-m)}=a^{m-n}$,

  da

  $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$

  ist.

  Es bleibt noch ein Fall.

  3. Fall: $m=n$

  $\frac{a^m}{a^n}=\frac{a^m}{a^m}=1$.

  Nun ist $1=a^0$ und auch hier gilt

  $\frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0=1$.

• Wende das Potenzgesetz zu Quotienten von Potenzen an.

  Tipps

  Beachte, dass $5=5^1$ ist.

  Da alle Potenzen die gleiche Basis, nämlich $5$ haben, musst du jeweils das Potenzgesetz anwenden und die Exponenten miteinander vergleichen.

  Der kleinste Exponent ist $-1$ und der größte $5$.

  Lösung

  Potenzen mit gemeinsamer Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und diese mit der Differenz der Exponenten potenziert.

  $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

  Die obigen Aufgaben führen zu der folgenden Ordnung:

  1. $\frac{5^5}{5^6}=5^{5-6}=5^{-1}$
  2. $\frac{5^3}{5^3}=5^{5-6}=5^{0}=1$
  3. $\frac{5^5}{5^4}=5^{5-4}=5^{1}$
  4. $\frac{5^4}{5}=5^{4-1}=5^{3}$
  5. $\frac{5^7}{5^3}=5^{7-3}=5^{4}$
  6. $\frac{5^3}{5^{-2}}=5^{3-{-2}}=5^{5}$

• Berechne den Quotienten der Potenzen.

  Tipps

  Du behältst die Basis bei und subtrahierst die Exponenten.

  Achte auf die Reihenfolge der Subtraktion.

  Schaue dir die folgenden Beispiele an:

  • $\frac{7^5}{7^3}=7^{5-3}=7^2$
  • $\frac{7^3}{7^5}=7^{3-5}=7^{-2}$
  • $\frac{7^5}{7^5}=7^{5-5}=7^0=1$

  Lösung

  An weiteren Beispielen wird hier das Potenzgesetz zum Dividieren von Potenzen geübt:

  $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

  Wichtig ist dabei, die Reihenfolge bei der Subtraktion zu beachten.

  • $\frac{5^4}{5^7}=5^{4-7}=5^{-3}$
  • $\frac{5^4}{5}=5^{4-1}=5^{3}$
  • $\frac{5^4}{5^2}=5^{4-2}=5^{2}$
  • $\frac{5^4}{5^{-1}}=5^{4-(-1)}=5^{5}$

• Vereinfache die Rechnungen.

  Tipps

  Schaue dir ein Beispiel für den Fall $m>n$ an

  $\frac{5^7}{5^3}=5^{7-3}=5^4$.

  Hier siehst du ein Beispiel für den Fall $m<n$

  $\frac{5^3}{5^7}=5^{3-7}=5^{-4}$.

  Nun noch ein Beispiel für den Fall $m=n$

  $\frac{5^7}{5^7}=5^{7-7}=5^0=1$.

  Lösung

  Dieses Potenzgesetz gilt für jeden der drei Fälle

  • 1. Fall $m>n$, zum Beispiel $\frac{2^4}{2^2}=2^{4-2}=2^2$,
  • 2. Fall $m<n$, zum Beispiel $\frac{6^3}{6^5}=6^{3-5}=6^{-2}$ sowie
  • 3. Fall $m=n$, zum Beispiel $\frac{4^8}{4^8}=4^{8-8}=4^0=1$.

• Ermittle zu jeder der Aufgaben den fehlenden Exponenten.

  Tipps

  Achte auf die Reihenfolge bei der Subtraktion.

  Wenn die Basen noch nicht überein stimmen, schreibe eine der beiden Potenzen so um, dass die Basen überein stimmen.

  Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

  $\frac{4^3}{2^5}=\frac{\left(2^2\right)^3}{2^5}=\frac{2^6}{2^5}=2^{6-5}=2^1$.

  Hier wird das folgende Potenzgesetz verwendet: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

  $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$.

  Was ist zu tun, wenn einer der beiden oder beide Exponenten negativ ist oder sind?

  Du gehst dann ebenso vor wie bei positiven Exponenten. Dies kannst du hier an einem Beispiel sehen:

  $\frac{2^{-2}}{2^{-4}}=2^{-2-(-4)}=2^{-2+4}=2^2$.

  Einer der Exponenten ist gleich $0$.

  Lösung

  Dieses Gesetz zu Quotienten von Potenzen gilt auch, wenn einer der beiden Exponenten negativ ist oder beide negativ sind.

  • $\frac{2^{-3}}{2^4}=2^{-3-4}=2^{-7}$
  • $\frac{4^{3}}{2^{-2}}=\frac{\left(2^2\right)^3}{2^{-2}}=\frac{2^6}{2^{-2}}=2^{6-(-2)}=2^{8}$
  • $\frac{3^{-3}}{3^{-1}}=3^{-3-(-1)}=3^{-2}$
  • $\frac{5^{-2}}{25^{-1}}=\frac{5^{-2}}{\left(5^2\right)^{-1}}=\frac{5^{-2}}{5^{-2}}=5^{-2-(-2)}=5^{0}=1$
  • $\frac{6^{2}}{36^2}=\frac{6^2}{\left(6^2\right)^2}=\frac{6^2}{6^4}=6^{2-4}=6^{-2}$
  • $\frac{49^{-1}}{7}=\frac{\left(7^2\right)^{-1}}{7}=\frac{7^{-2}}{7}=7^{-2-1}=7^{-3}$