Potenzgesetze

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Potenz und wozu braucht man sie?
• 1. und 2. Potenzgesetz: mit gleicher Basis
  • 1. Potenzgesetz: Produkt von Potenzen
  • 2. Potenzgesetz: Quotient von Potenzen
• 3. und 4. Potenzgesetz: mit gleichem Exponenten
  • 3. Potenzgesetz: Potenzen von Produkten
  • 4. Potenzgesetz: Potenzen von Quotienten
• 5. Potenzgesetz: Potenzieren von Potenzen
• Spezielle Potenzen
  • Der Exponent $0$
  • Die $0$ oder die $1$ als Basis
  • Die Zahl $1$ als Exponent
  • Negative Exponenten
• Komplexeres Beispiel

Was ist eine Potenz und wozu braucht man sie?

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem ein Faktor mehrmals vorkommt.

Schaue dir hierfür dieses Beispiel an:

$\underbrace{2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{5-mal}}$

In diesem Beispiel kommt der Faktor $2$ fünfmal vor. Dieses Produkt kann wie folgt als Potenz geschrieben werden:

$\underbrace{2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{5-mal}}=2^5$

Der wiederkehrende Faktor $2$ steht in der Basis der Potenz und die Anzahl, wie oft dieser Faktor vorkommt, im Exponenten.

Allgemein sieht eine Potenz so aus:

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n\text{-mal}}$

• $a\in \mathbb{R}$ ist die Basis,
• $n\in \mathbb{N}$ ist der Exponent und
• $a^n$ ist die Potenz oder der Potenzwert.

Potenzen mit der Basis $2$ sind auch die Grundlage für den binären Zahlencode, mit dem Computer arbeiten. Der binäre Zahlencode funktioniert nach dem Zweiersystem.

Im Alltag nutzen wir jedoch das Zehnersystem. Dieses System nutzt als Basis die $10$. Damit bilden die Potenzen also die Grundlage aller von uns verwendeten Zahlensysteme.

Im Folgenden lernst du verschiedene Regeln kennen, wie du mit Potenzen rechnen kannst.

1. und 2. Potenzgesetz: mit gleicher Basis

Nur wenn beide Potenzen, mit denen man rechnen möchte, die gleiche Basis aufweisen, können das erste und zweite Potenzgesetz genutzt werden.

1. Potenzgesetz: Produkt von Potenzen

Beispiel: $2^3\cdot 2^5$

Wie kannst du Potenzen multiplizieren, bei denen die Basis übereinstimmt?

• Zunächst schreibst du jede der Potenzen als Produkt:

$\quad~~~2^3\cdot 2^5=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)$

• Nun kannst du zählen, wie oft der Faktor $2$ gesamt vorkommt: achtmal. Damit gilt:

$\quad~~~2^3\cdot 2^5=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=2^8$

Allgemein kannst du dies so schreiben:

$a^n\cdot a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n\text{-mal}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{m\text{-mal}}=a^{n+m}$

Also gilt:

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert.

2. Potenzgesetz: Quotient von Potenzen

Wie sieht dies beim Dividieren von Potenzen aus? Hier siehst du die Division $a^n : a^m$ für $n \gt m$.
Die Fälle $n=m$ sowie $n \lt m$ führen zu derselben Potenzregel:

$\dfrac{a^n}{a^m}=\dfrac{\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{n\text{-mal}}}{\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{m\text{-mal}}}$

Nun kann sowohl im Zähler als auch im Nenner der Faktor jeweils $m$-mal gekürzt werden. Im Nenner bleibt dann die $1$ stehen. Im Zähler reduziert sich die Anzahl der Faktoren auf $n-m$.

Damit gilt:

$\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert.

Beispiele:

$\dfrac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3=8$

$\dfrac{3^6}{3^6}=3^{6-6}=3^0$

$\dfrac{5^2}{5^4}=5^{2-4}=5^{-2}$

Was eine Potenz mit dem Exponenten $0$ oder einem negativen Exponenten ist, wirst du hier auch noch lernen.

3. und 4. Potenzgesetz: mit gleichem Exponenten

Besitzen die Potenzen, mit denen man rechnen möchte, unterschiedliche Basen, aber gleiche Exponenten, können das dritte und vierte Potenzgesetz genutzt werden.

3. Potenzgesetz: Potenzen von Produkten

Wie werden zwei Potenzen multipliziert, bei denen die Exponenten übereinstimmen?

$a^n\cdot b^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n\text{-mal}}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{n\text{-mal}}$

Da du die Reihenfolge der Faktoren beim Multiplizieren verändern darfst, kannst du jeweils die beiden Faktoren $a$ und $b$ zu einem Produkt zusammenfassen. Dieses Produkt ist dann wieder selbst ein Faktor, welcher $n$-mal vorkommt:

$a^n\cdot b^n=\underbrace{(a\cdot b)\cdot ... \cdot (a\cdot b)}_{n\text{-mal}}=(a\cdot b)^n$

Es gilt also:

$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$

In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

Beispiele:

• $2^5\cdot 5^5=(2\cdot 5)^5=10^5=100\,000$
• Beachte die Klammern: $(2\cdot 3)^2=2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36$. Du musst jeden Faktor potenzieren.
• Es ist jedoch $2\cdot 3^2=2\cdot 9=18$. Hier berechnest du zuerst die einzelne Potenz.
• Merke dir: Wenn du negative Zahlen potenzierst, musst du diese klammern:
  $(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4$, aber $-2^2=\left(-1\right) \cdot 2^2 = \left(-1\right)\cdot 4=-4$.

Es gelten die folgenden Rechenprioritäten:
Klammer vor Potenz vor Punktrechnung vor Strichrechnung.

4. Potenzgesetz: Potenzen von Quotienten

Ebenso wie beim Multiplizieren von Potenzen mit gleichem Exponenten kannst du beim Dividieren von Potenzen vorgehen:

$\dfrac{a^n}{b^n}=\dfrac{\overbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}^{n\text{-mal}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{n\text{-mal}}}$

Fasse jeweils wieder zu Quotienten zusammen:

$\dfrac{a^n}{b^n}=\underbrace{\left(\dfrac{a}{b}\right)\cdot ... \cdot \left(\dfrac{a}{b}\right)}_{n\text{-mal}}$

Es gilt also:

$\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

Beispiele:

$\dfrac{10^3}{2^3}=\left(\dfrac{10}{2}\right)^3=5^3=125$

Beachte auch hier wieder die Klammern:

$\left(\dfrac{8}{2}\right)^4=4^4=256$

aber

$\dfrac{8^4}{2}=2048$

5. Potenzgesetz: Potenzieren von Potenzen

Du kannst Potenzen auch potenzieren.

Beispiel: $\left(2^2\right)^3$

• Zunächst wird die Potenz in der Klammer als Produkt geschrieben: $2^2=2\cdot 2$
  Damit gilt:

$\quad~~~\left(2^2\right)^3=(2\cdot 2)^3$

• Nun kann auch die äußere Potenz als Produkt geschrieben werden:

$\quad~~~\left(2^2\right)^3=(2\cdot 2)\cdot(2\cdot 2)\cdot(2\cdot 2) $

• Wie oft kommt der Faktor $2$ insgesamt vor? Richtig sechsmal.
  Es gilt also:

$\quad~~~\left(2^2\right)^3=(2\cdot 2)\cdot(2\cdot 2)\cdot(2\cdot 2) =2^6$

Allgemein gilt für das Potenzieren von Potenzen:

$\left(a^n\right)^m=a^{n \, \cdot \, m}$

In Worten: Potenzen mit werden potenziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten multipliziert.

Spezielle Potenzen

Die speziellen Potenzen stellen Sonderfälle in der Mathematik dar.

Der Exponent $0$

Es gilt $a^0=1$.

Für die Basis $0$ ist dieser Term nicht beweisbar, ist also streng genommen nicht definiert. In manchen Kontexten wird aber auch $0^0= 1$ festgelegt.

Schauen wir uns nochmal eines der Beispiel zum 2. Potenzgesetz an. Wir gehen davon aus, dass man $3^0$ zum beispielsweise auch als $3^{6-6}$ schreiben könnte:

$3^0=3^{6-6} = \dfrac{3^6}{3^6}=\dfrac{\not 3\cdot \not 3\cdot \not 3\cdot \not 3\cdot \not 3\cdot \not 3}{\not 3\cdot \not 3\cdot \not 3\cdot \not 3\cdot \not 3\cdot \not 3}=1$

Da wir sowohl im Zähler als auch im Nenner sechsmal den Faktor $3$ kürzen können, bleibt sowohl im Zähler als auch im Nenner die $1$ stehen.

Damit ist der Exponent $0$ der universelle „Vereinheitlicher“ – mehr noch als eine Schuluniform. Egal, was die Basis $a$ ist, das Ergebnis ist immer Eins.

Die $0$ oder die $1$ als Basis

• $0^n=0 \quad$ für $\quad n\neq 0$
• $0^0$ ist nicht definiert!
• $1^n=1 \quad$ für $\quad n \in \mathbb{N}_0$

Die Zahl $1$ als Exponent

Es ist $2^1$ ein Produkt, in dem der Faktor $2$ einmal vorkommt. Das bedeutet, dass $2^1=2$ ist.

• Du kannst also entweder den Exponenten $1$ weglassen: $a^1=a$ oder
• die $1$ als Exponenten hinschreiben, um die obigen Rechenregeln anzuwenden: $a=a^1$.

Beispiel:

$a^5\cdot a=a^5\cdot a^1=a^{5+1}=a^6$

Negative Exponenten

Mit Hilfe des 2. Potenzgesetzes kannst du wie folgt rechnen:

$5^{-2}=\dfrac{5^2}{5^4}=\dfrac{\not 5\cdot \not 5}{\not 5\cdot \not 5\cdot 5\cdot 5}=\dfrac1{5^2}$

Entsprechend gilt allgemein:

$a^{-n}=\dfrac1{a^n}$

Also gilt insbesondere auch:

$a^{-1}=\dfrac1{a}$

Ebenso kannst du wie folgt rechnen:

$\dfrac1{a^{-n}}=a^n$

oder auch:

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n$

Komplexeres Beispiel

Zu guter Letzt schauen wir uns noch das folgende Beispiel an:

• $\dfrac{\left(10\,a^{2}\,b\right)^{3}\cdot \, b^{4}}{5^{3} \, \cdot \, \left(a\,b^{2}\right)^{4}}$

Hier müssen einige Potenzgesetze angewendet werden. Schau dir zunächst die Terme im Zähler und im Nenner getrennt an:

Zähler:

Verwende das 5. Potenzgesetz:

• $\left(10\,a^{2}\,b\right)^{3}\cdot b^{4}=10^{3}\,a^{2 \, \cdot \, 3}\,b^{3}\cdot b^{4}=10^{3}\,a^{6}\,b^{3}\cdot b^{4}$

Nun kannst du das 1. Potenzgesetz verwenden:

• $10^{3}\,a^{6}\,b^{3} \cdot b^{4}=10^{3}\,a^{6}\,b^{3+4} = 10^{3}\,a^{6}\,b^{7}$

Nenner:

Auch hier nutzt du das 5. Potenzgesetz:

• $5^{3}\cdot\left(a\,b^{2}\right)^{4}=5^{3}\,a^{1 \, \cdot \, 4}\,b^{2 \, \cdot \, 4}=5^{3}\,a^{4}\,b^{8}$

So, nun kannst du den gesamten Bruch betrachten:

• $\dfrac{\left(10\,a^{2}\,b\right)^{3}\cdot \, b^{4}}{5^{3} \, \cdot \, \left(a\,b^{2}\right)^{4}}=\dfrac{10^{3}\,a^{6}\,b^{7}}{5^{3}\,a^{4}\,b^{8}}$

Im Folgenden benötigst du das 2. und das 4. Potenzgesetz, um den Term so weit wie möglich zu vereinfachen:

$\dfrac{10^{3}\,a^{6}\,b^{7}}{5^{3}\,a^{4}\,b^{8}}=\dfrac{10^{3}}{5^{3}}\cdot \dfrac{a^{6}}{a^{4}}\cdot \dfrac{b^{7}}{b^{8}}=2^{3}\,a^{6-4}\,b^{7-8}=8\,a^{2}\,b^{-1}=8\,\dfrac{a^{2}}{b}$