Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten

Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten Übung

• Beschreibe das Potenzgesetz zu Potenzen von Produkten.

  Tipps

  Schaue dir Beispiele an:

  • $2^3\cdot 3^3=(2\cdot 3)^3$
  • $4^2\cdot 8^2=(4\cdot 8)^2$

  Verwechsle diese Regel nicht mit der für das Produkt von Potenzen mit gleicher Basis

  $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$.

  Es gibt auch eine Regel für Potenzen von Quotienten:

  $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

  In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

  Lösung

  Wenn Potenzen den gleichen Exponenten haben, kann man bei Produkten wie folgt vorgehen:

  Potenzen von Produkten

  $a^n\cdot b^n=\left(a\cdot b\right)^n$

  Warum ist dies so?

  Man kann zunächst einmal die Definition von Potenzen anwenden:

  $a^n\cdot b^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{\text{n-mal}}$.

  Die Reihenfolge der Faktoren beim Multiplizieren darf verändert werden: Es werden jeweils die beiden Faktoren $a$ und $b$ zu einem Produkt zusammen gefasst. Dieses Produkt ist dann wieder selbst ein Faktor, welcher $n$-mal vorkommt:

  $a^n\cdot b^n=\underbrace{(a\cdot b)\cdot ... \cdot (a\cdot b)}_{\text{n-mal}}=(a\cdot b)^n$.

  Dieses Potenzgesetz kann man auch in Worten formulieren:

  Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

• Stelle jeweils den Term mit Hilfe eines Potenzgesetzes um.

  Tipps

  Hier siehst du das Potenzgesetz zu Potenzen von Produkten

  $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

  Hier siehst du das Potenzgesetz zu Potenzen von Quotienten

  $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

  Du kannst beide Gesetze auch umgekehrt anwenden:

  • $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
  • $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

  Lösung

  An einigen Beispielen sollen die Potenzgesetze für Potenzen mit gemeinsamem Exponenten geübt werden:

  Potenzen von Produkten

  $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$

  • $9^3\cdot 2^3=(9\cdot 2)^3$
  • $3^2\cdot 5^2=(3\cdot 5)^2$

  Das Gesetz kann auch umgekehrt angewendet werden

  $(3\cdot 4)^2=3^2\cdot 4^2$

  Wenn also ein Produkt potenziert werden soll, müssen alle Faktoren potenziert werden.

  Potenzen von Quotienten

  $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$

  $\frac{5^4}{2^4}=\left(\frac 52\right)^4$

  Auch dieses Gesetz kann in der anderen Richtung angewendet werden:

  • $\left(\frac 35\right)^2=\frac{3^2}{5^2}$
  • $\left(\frac 28\right)^6=\frac{2^6}{8^6}$

  Wenn ein Quotient potenziert werden soll, muss sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert werden.

• Prüfe, ob das Potenzgesetz richtig angewendet wurde.

  Tipps

  Beachte: Die beiden behandelten Regeln gelten nur für Potenzen mit gemeinsamem Exponenten.

  Verwende diese beiden Potenzgesetze

  • $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$ sowie
  • $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

  Beachte:

  • Wenn du Produkte potenzierst, musst du jeden Faktor potenzieren und
  • wenn du Quotienten potenzierst, musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner potenzieren.

  Es sind vier der acht Rechnungen korrekt.

  Lösung

  Die ersten vier Aufgaben behandeln Potenzen von Produkten

  $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

  Diese Gleichung kann sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links betrachtet werden.

  • $(3\cdot 2)^2=3^2\cdot 2^2$: Die obige Rechnung ist falsch.
  • $(7\cdot 4)^3=7^3\cdot 4^3$ ✓
  • $2^5\cdot 5^5=(2\cdot 5)^5$ ✓
  • $4^3\cdot 3^4$: Dieser Term kann nicht vereinfacht werden, da die Exponenten nicht übereinstimmen.

  Nun kommen Beispiele zu Potenzen von Quotienten:

  • $\frac{3^5}{2^5}=\left(\frac32\right)^5$: Die obige Rechnung ist falsch. Zähler und Nenner sind vertauscht.
  • $\frac{3^3}{4^3}=\left(\frac34\right)^3$ ✓
  • $\left(\frac53\right)^5=\frac{5^5}{3^5}$: Es müssen sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert werden.
  • $\left(\frac85\right)^3=\frac{8^3}{5^3}$ ✓

• Wende die Gesetze zum Potenzieren von Potenzen oder Quotienten an, um die Rechnung zu vereinfachen.

  Tipps

  Verwende das Potenzgesetze zum Potenzieren von Produkten

  $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

  Es ist $1^n=1$.

  Wenn du die Basis $10$ hast, kannst du den Potenzwert wie folgt angegeben:

  $10^n=1\underbrace{0...0}_{\text{n-mal}}$.

  Lösung

  Die Rechenregeln zum Rechnen mit Potenzen können, wie übrigens alle Rechenregeln, zur Vereinfachung von kompliziert erscheinenden Rechnungen dienen.

  Bei dieser Aufgabe können erst einmal die Potenzen sortiert werden:

  $4^4\cdot 2^3\cdot 2,5^4\cdot 5^3\cdot 0,1^4=4^4\cdot 2,5^4\cdot 0,1^4\cdot 2^3\cdot 5^3$.

  Nun kann man sehen, dass die ersten drei und auch die letzten beiden Faktoren jeweils den gleichen Exponenten haben.

  Es kann also das Potenzgesetz zum Potenzieren von Produkten verwendet werden:

  $4^4\cdot 2^3\cdot 2,5^4\cdot 5^3\cdot 0,1^4=(4\cdot 2,5\cdot 0,1)^4\cdot(2\cdot 5)^3$.

  Die Produkte in den Klammern können berechnet werden:

  $4^4\cdot 2^3\cdot 2,5^4\cdot 5^3\cdot 0,1^4=1^4\cdot 10^3=10^3=1000$.

  Warum ist dies so?

  • Zum einen ist $1^4=1$ und
  • zum anderen eine Zehnerpotenz mit natürlichem Exponenten immer eine $1$ mit so vielen Nullen wie die Zahl im Exponenten.

• Gib das Potenzgesetz für Potenzen von Quotienten in Worten an.

  Tipps

  Beachte: Dividend durch Divisor gleich Quotient.

  Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation.

  Schaue dir dieses Beispiel Schritt für Schritt an:

  $\frac{3^2}{5^2}$

  • Der Quotient ist $\frac35$.
  • Der potenzierte Quotient ist $\left(\frac35\right)^2$.

  Insgesamt gilt

  $\frac{3^2}{5^2}=\left(\frac35\right)^2$.

  Lösung

  Wie können Potenzen mit gemeinsamem Exponenten dividiert werden?

  Potenzen von Quotienten

  $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$

  In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

  Umgekehrt kann man sich merken: Wenn man einen Quotienten potenzieren will, muss man sowohl den Zähler als auch den Nenner potenzieren.

• Vereinfache die Potenz-Terme so weit als möglich.

  Tipps

  In dieser Aufgabe kommt ein weiteres Potenzgesetz zur Anwendung:

  Potenzen von Potenzen

  $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.

  In Worten: Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

  Beachte, dass die Potenzgesetze zu Potenzen mit gleichen Exponenten hier anwendbar sind.

  Verwende die folgenden Potenzgesetze

  Potenzen von Produkten

  $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.

  Potenzen von Quotienten

  $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.

  Lösung

  Im Folgenden werden die beiden Regeln noch an weiteren Beispielen geübt. Dabei müssen Potenzen gegebenenfalls so umgeformt werden, dass sie gemeinsame Exponenten haben:

  1. $125\cdot 3^3=5^3\cdot 3^3=(5\cdot 3)^3$
  2. $4^3\cdot 27^2=\left(2^2\right)^3\cdot \left(3^3\right)^2=2^6\cdot 3^6=(2\cdot 3)^6$
  3. $5^3\cdot 20^3\cdot 7^6=(5\cdot 20)^3\cdot7^6=100^3\cdot 7^6=10^6\cdot 7^6=(10\cdot 7)^6$
  4. $4,5^2\cdot 25^2\cdot 2^2=(4,5\cdot 2)^2\cdot\left(5^2\right)^2=3^4\cdot 5^4=(3\cdot 5)^4$