Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten
Mittlerweile hast du dir schon einen Überblick über die Potenzgesetze verschafft. Willst du jetzt dein Wissen weiter vertiefen? Dann hilft dir dieses Video bestimmt! Denn hier lernst du die Rechenregeln zu Potenzen mit gleichem Exponenten näher kennen. Dazu zählen die Potenz von Produkten ( anbn=(ab)n ) und die Potenz von Quotienten ( an/bn=(a/b)n ). Diese werden durch Formeln und Merkregeln beschrieben. Die einzelnen Formeln werden begründet. Das heißt es werden dir die Zwischenschritte aufgezeigt, die zu der Formulierung der Formel führen. Denn die Potenzgesetze verkürzen deinen Rechenweg mit Potenzen. Nach jedem Potenzgesetz werden Beispiel ausgewählt, die nach dem jeweiligen Potenzgesetz umgeformt werden - sowohl in die eine als auch in die andere Richtung. Zum Schluss erhältst du eine Zusammenfassung mit den wichtigsten Informationen. Als Grundlage für dieses Video musst du die Definition der Potenz bereits kennen.
Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten Übung
-
Beschreibe das Potenzgesetz zu Potenzen von Produkten.
TippsSchaue dir Beispiele an:
- $2^3\cdot 3^3=(2\cdot 3)^3$
- $4^2\cdot 8^2=(4\cdot 8)^2$
Verwechsle diese Regel nicht mit der für das Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$.
Es gibt auch eine Regel für Potenzen von Quotienten:
$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.
In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.
LösungWenn Potenzen den gleichen Exponenten haben, kann man bei Produkten wie folgt vorgehen:
Potenzen von Produkten
$a^n\cdot b^n=\left(a\cdot b\right)^n$
Warum ist dies so?
Man kann zunächst einmal die Definition von Potenzen anwenden:
$a^n\cdot b^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot ... \cdot b}_{\text{n-mal}}$.
Die Reihenfolge der Faktoren beim Multiplizieren darf verändert werden: Es werden jeweils die beiden Faktoren $a$ und $b$ zu einem Produkt zusammen gefasst. Dieses Produkt ist dann wieder selbst ein Faktor, welcher $n$-mal vorkommt:
$a^n\cdot b^n=\underbrace{(a\cdot b)\cdot ... \cdot (a\cdot b)}_{\text{n-mal}}=(a\cdot b)^n$.
Dieses Potenzgesetz kann man auch in Worten formulieren:
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.
-
Stelle jeweils den Term mit Hilfe eines Potenzgesetzes um.
TippsHier siehst du das Potenzgesetz zu Potenzen von Produkten
$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.
Hier siehst du das Potenzgesetz zu Potenzen von Quotienten
$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.
Du kannst beide Gesetze auch umgekehrt anwenden:
- $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
- $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
LösungAn einigen Beispielen sollen die Potenzgesetze für Potenzen mit gemeinsamem Exponenten geübt werden:
Potenzen von Produkten
$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$
- $9^3\cdot 2^3=(9\cdot 2)^3$
- $3^2\cdot 5^2=(3\cdot 5)^2$
$(3\cdot 4)^2=3^2\cdot 4^2$
Wenn also ein Produkt potenziert werden soll, müssen alle Faktoren potenziert werden.
Potenzen von Quotienten
$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$
$\frac{5^4}{2^4}=\left(\frac 52\right)^4$
Auch dieses Gesetz kann in der anderen Richtung angewendet werden:
- $\left(\frac 35\right)^2=\frac{3^2}{5^2}$
- $\left(\frac 28\right)^6=\frac{2^6}{8^6}$
-
Prüfe, ob das Potenzgesetz richtig angewendet wurde.
TippsBeachte: Die beiden behandelten Regeln gelten nur für Potenzen mit gemeinsamem Exponenten.
Verwende diese beiden Potenzgesetze
- $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$ sowie
- $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.
Beachte:
- Wenn du Produkte potenzierst, musst du jeden Faktor potenzieren und
- wenn du Quotienten potenzierst, musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner potenzieren.
Es sind vier der acht Rechnungen korrekt.
LösungDie ersten vier Aufgaben behandeln Potenzen von Produkten
$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.
Diese Gleichung kann sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links betrachtet werden.
- $(3\cdot 2)^2=3^2\cdot 2^2$: Die obige Rechnung ist falsch.
- $(7\cdot 4)^3=7^3\cdot 4^3$ ✓
- $2^5\cdot 5^5=(2\cdot 5)^5$ ✓
- $4^3\cdot 3^4$: Dieser Term kann nicht vereinfacht werden, da die Exponenten nicht übereinstimmen.
- $\frac{3^5}{2^5}=\left(\frac32\right)^5$: Die obige Rechnung ist falsch. Zähler und Nenner sind vertauscht.
- $\frac{3^3}{4^3}=\left(\frac34\right)^3$ ✓
- $\left(\frac53\right)^5=\frac{5^5}{3^5}$: Es müssen sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert werden.
- $\left(\frac85\right)^3=\frac{8^3}{5^3}$ ✓
-
Wende die Gesetze zum Potenzieren von Potenzen oder Quotienten an, um die Rechnung zu vereinfachen.
TippsVerwende das Potenzgesetze zum Potenzieren von Produkten
$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.
Es ist $1^n=1$.
Wenn du die Basis $10$ hast, kannst du den Potenzwert wie folgt angegeben:
$10^n=1\underbrace{0...0}_{\text{n-mal}}$.
LösungDie Rechenregeln zum Rechnen mit Potenzen können, wie übrigens alle Rechenregeln, zur Vereinfachung von kompliziert erscheinenden Rechnungen dienen.
Bei dieser Aufgabe können erst einmal die Potenzen sortiert werden:
$4^4\cdot 2^3\cdot 2,5^4\cdot 5^3\cdot 0,1^4=4^4\cdot 2,5^4\cdot 0,1^4\cdot 2^3\cdot 5^3$.
Nun kann man sehen, dass die ersten drei und auch die letzten beiden Faktoren jeweils den gleichen Exponenten haben.
Es kann also das Potenzgesetz zum Potenzieren von Produkten verwendet werden:
$4^4\cdot 2^3\cdot 2,5^4\cdot 5^3\cdot 0,1^4=(4\cdot 2,5\cdot 0,1)^4\cdot(2\cdot 5)^3$.
Die Produkte in den Klammern können berechnet werden:
$4^4\cdot 2^3\cdot 2,5^4\cdot 5^3\cdot 0,1^4=1^4\cdot 10^3=10^3=1000$.
Warum ist dies so?
- Zum einen ist $1^4=1$ und
- zum anderen eine Zehnerpotenz mit natürlichem Exponenten immer eine $1$ mit so vielen Nullen wie die Zahl im Exponenten.
-
Gib das Potenzgesetz für Potenzen von Quotienten in Worten an.
TippsBeachte: Dividend durch Divisor gleich Quotient.
Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation.
Schaue dir dieses Beispiel Schritt für Schritt an:
$\frac{3^2}{5^2}$
- Der Quotient ist $\frac35$.
- Der potenzierte Quotient ist $\left(\frac35\right)^2$.
$\frac{3^2}{5^2}=\left(\frac35\right)^2$.
LösungWie können Potenzen mit gemeinsamem Exponenten dividiert werden?
Potenzen von Quotienten
$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$
In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.
Umgekehrt kann man sich merken: Wenn man einen Quotienten potenzieren will, muss man sowohl den Zähler als auch den Nenner potenzieren.
-
Vereinfache die Potenz-Terme so weit als möglich.
TippsIn dieser Aufgabe kommt ein weiteres Potenzgesetz zur Anwendung:
Potenzen von Potenzen
$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$.
In Worten: Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
Beachte, dass die Potenzgesetze zu Potenzen mit gleichen Exponenten hier anwendbar sind.
Verwende die folgenden Potenzgesetze
Potenzen von Produkten
$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$.
Potenzen von Quotienten
$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$.
LösungIm Folgenden werden die beiden Regeln noch an weiteren Beispielen geübt. Dabei müssen Potenzen gegebenenfalls so umgeformt werden, dass sie gemeinsame Exponenten haben:
- $125\cdot 3^3=5^3\cdot 3^3=(5\cdot 3)^3$
- $4^3\cdot 27^2=\left(2^2\right)^3\cdot \left(3^3\right)^2=2^6\cdot 3^6=(2\cdot 3)^6$
- $5^3\cdot 20^3\cdot 7^6=(5\cdot 20)^3\cdot7^6=100^3\cdot 7^6=10^6\cdot 7^6=(10\cdot 7)^6$
- $4,5^2\cdot 25^2\cdot 2^2=(4,5\cdot 2)^2\cdot\left(5^2\right)^2=3^4\cdot 5^4=(3\cdot 5)^4$

Potenzgesetze – Einführung

Multiplikation und Division von Potenzen

Division von Potenzen – Einführung

Potenzgesetze – Multiplikation und Division

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten

Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis

Potenzgesetze – Quotient von Potenzen
5.612
sofaheld-Level
6.572
vorgefertigte
Vokabeln
8.523
Lernvideos
37.377
Übungen
33.821
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrer*
innen

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Rechteck
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was ist eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Grundrechenarten Begriffe
- Dreiecksarten
- Quader
- Satz des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste binomische Formel
- Kreis
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen in Worten schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich multiplizieren
- Brüche multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen berechnen
- Brüche addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Scheitelpunktform
- Logarithmus
- Erwartungswert
- Skalarprodukt
- Primfaktorzerlegung
- Quadratische Ergänzung
- Zinseszins
- Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen
- Sinusfunktion
Hallo Diana,
du kannst das natürlich berechnen. In diesem Fall dient es allerdings lediglich als Beispiel, wie du das Potenzgesetz richtig anwendest. Daher wird der Bruch dann nicht weiter berechnet.
Viele Grüße aus der Redaktion
Muss man das 5 : 3 zum beispiel dann garnicht ausrechnen?????
Endlich habe ich das verstanden, super Video!
ach ne sorry . habe es verstanden
Super Video aber ich verstehe die Übung nicht in welchem Teil des Videos kam das vor?