Potenzen üben – Hunderter quadrieren (2)

Potenzen üben – Hunderter quadrieren (2) Übung

• Zeige auf, wie du die Potenz umformen kannst.

  Tipps

  $a^2$ ist eine abkürzende Schreibweise für $a\cdot a$.

  Beachte, dass beim Potenzieren von

  • negativen Zahlen sowie
  • Produkten

  Klammern verwendet werden müssen.

  Denn es ist $2\cdot 3^2=2\cdot 9=18$ und $(2\cdot 3)^2=6^2=36$.

  Lösung

  $1100$ soll quadriert werden:

  • Zunächst schreibt man $1100$ als Produkt $11\cdot 100$ und
  • setzt dieses Produkt in Klammern.
  • Dieses Produkt wird quadriert, das bedeutet $(11\cdot 100)^2=11\cdot 100\cdot 11\cdot 100$.

• Beschreibe, wie man $1100^2$ berechnen kann.

  Tipps

  Quadrieren bedeutet das Multiplizieren der Basis mit sich selbst:

  $a^2=a\cdot a$.

  Dabei ist $a$ die Basis.

  Bei der Multiplikation gilt das Kommutativgesetz

  $a\cdot b=b\cdot a$.

  Es ist

  • $100^2=10000$
  • $1000^2=1000000$
  • ... die Anzahl der Nullen wird verdoppelt.

  Lösung

  Wie kann $1100^2$ berechnet werden?

  Zunächst ist $1100=11\cdot 100$ und also

  $1100^2=(11\cdot 100)^2$.

  Wenn man einen Term quadriert, bedeutet dies, dass dieser Term mit sich selbst multipliziert wird; dabei kommt der Term zweimal als Faktor vor:

  $(11\cdot 100)^2=11\cdot 100\cdot 11\cdot 100$.

  Da das Operationszeichen immer das Multiplikationszeichen ist, darf die Reihenfolge vertauscht werden:

  $11\cdot 100\cdot 11\cdot 100=11\cdot 11\cdot 100\cdot 100$.

  Da $11\cdot11=121$ ist und $100\cdot100=10000$, kann das Ergebnis der Rechnung angegeben werden:

  $121\cdot 10000=1210000$.

• Berechne das jeweilige Quadrat.

  Tipps

  Es gilt $(-1)^2=1$ und $-1^2=-1$.

  Schau dir jeweils an, mit welcher Zahl die $100$ multipliziert wird. Diese Zahl quadrierst du und schreibst $2\cdot2=4$ Nullen hinten dran.

  Lösung

  Um Hunderterzahlen zu quadrieren, werden diese als Produkte geschrieben und diese Produkte quadriert.

  Es gilt $a^2=a\cdot a$.

  Unter Verwendung der Rechenregel zum Rechnen mit Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ kann wie folgt gerechnet werden:

  1. $1500^2=(15\cdot100)^2=15^2\cdot 100^2=225\cdot 10000=2250000$.
  2. $1300^2=(13\cdot100)^2=13^2\cdot 100^2=169\cdot 10000=1690000$.
  3. $(-1200)^2=(-12\cdot100)^2=(-1)^2\cdot 12^2\cdot 100^2=144\cdot 10000=1440000$.
  4. $-2200^2=-(22\cdot100)^2=-22^2\cdot 100^2=-484\cdot 10000=-4840000$.

• Ermittle die Potenz mit dem Exponenten $3$.

  Tipps

  Es gilt $a^3=a\cdot a\cdot a$.

  Es ist

  • $100^3=1000000$
  • $1000^3=1000000000$
  • ... die Anzahl der Nullen wird verdreifacht.

  Wenn du eine Zahl mit einer Zehnerpotenz multiplizierst, musst du die entsprechende Anzahl der Nullen hinter die Zahl schreiben.

  Lösung

  Das Potenzieren mit $3$ kann ähnlich zu dem mit $2$ durchgeführt werden.

  Zunächst ist $1100=11\cdot 100$, also

  $1100^3=(11\cdot 100)^3$.

  Wenn man einen Term mit $3$ potenziert, so wird dieser Term mit sich selbst multipliziert wird; dabei kommt der Term dreimal als Faktor vor:

  $(11\cdot 100)^3=11\cdot 100\cdot 11\cdot 100\cdot 11\cdot 100$.

  Durch Vertauschen der Reihenfolge bei der Multiplikation erhält man:

  $11\cdot 100\cdot 11\cdot 100\cdot 11\cdot 100=11\cdot 11\cdot 11\cdot 100\cdot 100\cdot 100$.

  Es ist $11\cdot11\cdot 11=1331$ und $100\cdot100\cdot100=1000000$. Somit gilt:

  $1100^3=1331\cdot 1000000=1331000000$.

• Gib an, wie das Produkt von $121$ und $10000$ berechnet werden kann.

  Tipps

  Zum Beispiel ist $8\cdot 100=800$.

  Du musst nur die Nullen des zweiten Faktors zählen.

  Lösung

  Das Quadrat von $11$ ist $121$ und das von $100$ ist $10000$. Wie können diese beiden Zahlen nun multipliziert werden?

  Man schreibt die Zahl $121$ auf und fügt die Anzahl der Nullen von $10000$ an.

  So kann man jede Zahl mit einer Zehnerpotenz multiplizieren.

• Leite das Ergebnis der Potenzaufgabe her.

  Tipps

  Du kannst $0,11$ als Bruch schreiben: $0,11=\frac{11}{100}$.

  Es gilt $\left(\frac1{100}\right)^2=\frac1{10000}$.

  Die Anzahl der Nullen, im Nenner, wird verdoppelt.

  $\frac1{10000}=0,0001$. Die $1$ steht an der vierten Stelle hinter dem Komma.

  Bei einer mehrstelligen Zahl steht die Einerzahl an der vierten Stelle hinter dem Komma.

  Lösung

  Ähnlich wie beim Potenzieren von Hundertern kann man beim Potenzieren von Hundertsteln vorgehen:

  $0,11^2=\left(\frac{11}{100}\right)^2=\frac{11^2}{100^2}$.

  Nun können sowohl im Zähler als auch im Nenner die Potenzen berechnet werden:

  $\frac{11^2}{100^2} = \frac{121}{10000}$.

  Die letzte Stelle von $121$ steht also in einer Dezimalzahl an der vierten Stelle hinter dem Komma:

  $0,11^2=0,0121$.