Potenzen üben – Hunderter quadrieren (1)

Potenzen üben – Hunderter quadrieren (1) Übung

• Beschreibe, wie die Zahl $300$ quadriert werden kann.

  Tipps

  Quadrieren bedeutet das Multiplizieren der Basis mit sich selbst:

  $a^2=a\cdot a$.

  Dabei ist $a$ die Basis.

  Bei der Multiplikation gilt das Kommutativgesetz

  $a\cdot b=b\cdot a$.

  Das Potenzieren von Zehnerpotenzen kannst du dir wie folgt merken:

  Wenn du eine Zehnerpotenz quadrierst, wird die Anzahl der Nullen verdoppelt.

  Wenn du eine Zehnerpotenz mit drei potenzierst, wird die Anzahl der Nullen verdreifacht.

  ...

  Zum Beispiel ist $1000^2=1000000$.

  Lösung

  Wie kann $300^2$ berechnet werden?

  Zunächst ist $300=3\cdot 100$ ist und also

  $300^2=(3\cdot 100)^2$.

  Wenn man einen Term quadriert, bedeutet dies, dass dieser Term mit sich selbst multipliziert wird. Dabei kommt der Term zweimal als Faktor vor:

  $(3\cdot 100)^2=3\cdot 100\cdot 3\cdot 100$.

  Da das Operationszeichen immer das Multiplikationszeichen ist, darf die Reihenfolge vertauscht werden:

  $3\cdot 100\cdot 3\cdot 100=3\cdot 3\cdot 100\cdot 100$.

  Da $3\cdot3=9$ ist und $100\cdot100=10000$, kann das Ergebnis der Rechnung angegeben werden:

  $9\cdot 10000=90000$.

• Berechne das Ergebnis von $-300^3$.

  Tipps

  Wenn du eine Zehnerpotenz mit $3$ potenzierst, kannst du die Anzahl der Nullen verdreifachen.

  Beachte, dass das Vorzeichen nicht potenziert wird.

  Beim Potenzieren, wie in diesem Fall, mit einer ungeraden Zahl, erhält man allerdings auch bei $(-300)^3$ ein negatives Ergebnis.

  Du musst die Potenzen

  • $3^3$ sowie
  • $100^3$ berechnen.

  Lösung

  Man kann ebenso wie beim Quadrieren auch Potenzen mit dem Exponenten $3$ berechnen: $-300^3$.

  Wichtig ist zu beachten, dass sich das Potenzieren nur auf die $300$ bezieht; ansonsten müsste $-300$ geklammert werden.

  $-300^3=-3\cdot 100\cdot 3\cdot 100\cdot 3\cdot 100$.

  Die Reihenfolge der Faktoren darf vertauscht werden und man erhält

  $-3\cdot 100\cdot 3\cdot 100\cdot 3\cdot 100=-3\cdot 3\cdot 3\cdot 100\cdot 100\cdot 100$.

  Es ist $3^3=27$ und $100^3=1000000$ (Man muss nur die Anzahl der Nullen verdreifachen!) und somit kann das Ergebnis berechnet werden:

  $-300^3=...=-27\cdot1000000=-27000000$.

• Entscheide, ob richtig gerechnet wird.

  Tipps

  Schreibe jeweils zunächst die Potenz als Produkt.

  Beachte, dass das Vorzeichen jeweils mit potenziert wird.

  Es gilt folgende Regel für das Potenzieren von negativen Zahlen

  $(-1)^n= \begin{cases} 1& \text{, wenn }n\text{ gerade ist} \\ -1& \text{, wenn } n\text{ ungerade ist} \end{cases}$

  Zu jeder der beiden Potenzaufgaben ist die richtige Lösung angegeben.

  Lösung

  Bei beiden Aufgaben kann man wie folgt vorgehen:

  • Die Potenzen werden als Produkte geschrieben.
  • Die Reihenfolge der Faktoren werden vertauscht und
  • die einzelnen Potenzen berechnet sowie multipliziert.

  $\begin{align*} (-200)^2&=(-1)\cdot 2\cdot 100\cdot (-1)\cdot 2\cdot 100\\ &=(-1)\cdot (-1)\cdot 2\cdot 2\cdot 100\cdot100\\ &=1\cdot 4\cdot 10000\\ &=40000. \end{align*}$

  $\begin{align*} (-200)^3&=(-1)\cdot 2\cdot 100\cdot (-1)\cdot 2\cdot 100\cdot (-1)\cdot 2\cdot 100\\ &=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 100\cdot100\cdot100\\ &=(-1)\cdot 8\cdot 1000000\\ &=-8000000. \end{align*}$

• Ordne den Potenzaufgabe die jeweilige Lösung zu.

  Tipps

  Es gilt $a^2=a\cdot a$ sowie $a^3=a\cdot a\cdot a$.

  Verwende die Rechenregel zum Rechnen mit Potenzen:

  $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

  Es ist

  • $100^2=10000$
  • $1000^2=1000000$
  • ... die Anzahl der Nullen wird verdoppelt.

  sowie

  • $100^3=1000000$
  • $1000^3=1000000000$
  • ... die Anzahl der Nullen wird verdreifacht.

  Lösung

  Um Hunderterzahlen zu potenzieren, werden diese als Produkte geschrieben und entsprechend des Exponenten multipliziert.

  Es gilt: $a^2=a\cdot a$ sowie $a^3=a\cdot a\cdot a$.

  Unter Verwendung der Rechenregel zum Rechnen mit Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ kann wie folgt gerechnet werden:

  1. $500^2=(5\cdot100)^2=5^2\cdot 100^2=25\cdot 10000=250000$.
  2. $500^3=(5\cdot100)^3=5^3\cdot 100^3=125\cdot 1000000=125000000$.
  3. $(-600)^2=(-6\cdot100)^2=(-1)^2\cdot 6^2\cdot 100^2=36\cdot 10000=360000$.
  4. $-600^3=-(6\cdot100)^3=-6^3\cdot 100^3=-216\cdot 1000000=-216000000$.

• Gib an, welche Regeln zum Potenzieren von Hunderterzahlen verwendet wird.

  Tipps

  Das Potenzieren mit zwei ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem die Basis zweimal als Faktor vorkommt.

  Es gilt: $300=3\cdot 100$.

  Es gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation:

  $a\cdot b=b\cdot a$.

  Lösung

  Es soll die Potenz $300^2$ berechnet werden.

  Zunächst kann man verwenden, dass $300=3\cdot 100$ ist und somit

  $300^2=(3\cdot 100)^2$.

  Die Klammern sind wichtig, da sich nur mit Klammern das Potenzieren auf beide Faktoren bezieht. Anders sieht das aus bei

  $3\cdot 100^2=3\cdot 100\cdot 100$.

  Hier bezieht sich die Potenz nur auf die $100$.

  Das Quadrieren kürzt die Produktschreibweise ab. In dem Produkt kommt die Basis zweimal als Faktor vor.

  $(3\cdot 100)^2=3\cdot 100\cdot 3\cdot 100$.

  Nun kann die Reihenfolge bei der Multiplikation vertauscht werden zu

  $3\cdot 100\cdot 3\cdot 100=3\cdot 3\cdot 100\cdot 100=90000$.

• Berechne die Ergebnisse der Aufgaben.

  Tipps

  Schreibe die Dezimalzahlen, beispielsweise $0,02$ als Bruch mit dem Nenner $100$.

  Es ist $0,02=\large\frac2{100}$, also

  $0,02^3=\left(\frac2{100}\right)^3$.

  Es gilt: $\left(\frac1{100}\right)^3=\frac1{1000000}$.

  Die Anzahl der Nullen, im Nenner, wird verdreifacht.

  $\frac1{1000000}=0,000001$. Die $1$ steht an der sechsten Stelle hinter dem Komma.

  Verwende die Rechenregeln zum Rechnen mit Potenzen:

  $\left(\frac ab\right)^3=\frac{a^3}{b^3}$.

  Lösung

  Zunächst kann man die Dezimalzahlen $1,5$ als Bruch schreiben und dann die Potenzregeln anwenden. Es gilt:

  $1,5^2=\left(\frac{15}{10}\right)^2=\frac{15^2}{10^2}=\frac{225}{100}=225\div100 = 2,25$

  Ähnlich wie beim Potenzieren von Hundertern kann man beim Potenzieren von Hundertsteln vorgehen:

  $0,02^3=\left(\frac2{100}\right)^3=\frac{2^3}{100^3}$.

  Nun können sowohl im Zähler als auch im Nenner die Potenzen berechnet werden:

  $\frac8{1000000}$.

  Die $8$ steht also in einer Dezimalzahl an der sechsten Stelle hinter dem Komma:

  $0,02^3=0,000008$.