Zehnerpotenzen

Dein Taschenrechner gibt manchmal Zahlen in der Forme $3,24\cdot 10^6$ oder $3,141\cdot 10^{-5}$ aus. Hier lernst du, was diese Zahlen bedeuten und wie du damit rechnen kannst. Übrigens: Diese Schreibweise wird als Potenz- oder auch wissenschaftliche Schreibweise bezeichnet.

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Was ist eine Potenz?

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem der gleiche Faktor mehrmals vorkommt. Hier kannst du die allgemeine Schreibweise für eine Potenz sehen.

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{\text{n-mal}}$

Dabei ist

der Faktor $a$, welcher mehrmals vorkommt, die Basis der Potenz und
die Häufigkeit, wie oft der Faktor vorkommt, also $n$, der Exponent.

Wenn die Basis $a=10$ ist, spricht man von einer Zehnerpotenz.

Zehnerpotenzen

Wenn du mit Zahlen rechnest, verwendest du das Zehnersystem, welches auf den Zehnerpotenzen basiert.

$\begin{array}{cccc} 10^1&=&10&~&10^4&=&10000&~\\ 10^2&=&100&~&10^5&=&100000&~\\ 10^3&=&1000 &~&10^6&=&1000000&~ \end{array}$

Du kannst hier bereits erkennen, dass sich Zehnerpotenzen mit natürlichen Exponenten recht leicht berechnen lassen: $10^n$ ist eine $1$ mit $n$ Nullen. Im Folgenden wirst du dies etwas genauer kennen lernen.

Übrigens: $10^0=1$, also eine $1$ mit keiner Null.

Potenzschreibweise für große Zahlen

Zehnerpotenzen mit positiven Exponenten

Wie du bereits gesehen hast ist $10^n$ eine $1$ mit $n$ Nullen. Hier lernst du die Namen für große Zahlen kennen.

$10^6=1000000$ ist eine Million,
$10^9=1000000000$ ist eine Milliarde,
$10^{12}=1000000000000$ ist eine Billion und
$10^{15}=1000000000000000$ ist eine Billiarde.

Potenzschreibweise

Du kannst jede (große) Zahl in der sogenannten wissenschaftlichen Schreibweise oder auch Potenzschreibweise schreiben.

Schauen wir uns einmal ein Beispiel an, die Zahl Dreimillionenzweihundervierzigtausend:

$3240000=3,24\cdot 10^{6}$.

Du kannst hier erkennen, dass die Zahl $3240000$ als Produkt einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz geschrieben wird.

Lass uns mit der Dezimalzahl beginnen. Diese hat eine Ziffer vor dem Komma, diese muss zwischen $1$ und $9$ liegen. Hier ist dies die $3$, die erste Stelle der Zahl, die umgeschrieben werden soll. Hinter dem Komma folgen weitere Ziffern. In diesem Beispiel sind das die Ziffern $2$ und $4$. Die folgenden Nullen werden nicht aufgeschrieben.
Bei der Zehnerpotenz interessiert uns ausschließlich der Exponent. Zunächst einmal ist dieser positiv, da wir eine große Zahl haben. Du schaust dir nun an, wie viele Stellen hinter der führenden $3$ noch folgen. Das sind sechs Stellen. Dies ist der Exponent $n=6$.

Beispiele

Wie verschiebt man das Komma bei Zehnerpotenzen?

$12300000=1,23\cdot 10^7$: Zähle die Anzahl der Ziffern hinter der führenden $1$.
Du kannst auch umgekehrt eine Zahl in Potenzschreibweise wieder ausschreiben: $3,45\cdot 10^5=345000$. Du kannst dir dies so merken: Du verschiebst das Komma um fünf (der Exponent!) Stellen nach rechts. Wenn die Dezimalzahl weniger als fünf Stellen hat, so wie hier, musst du entsprechend viele Nullen hinzufügen.
$8,045\cdot 10^2=804,5$
$9,23\cdot 10^7=92300000$
...

Benennung und Bedeutung der Einheitenvorsätze mit Faktor $>1$

Hier habe ich alle wissenschaftlichen Vorsätze, die eine Vergrößerung meinen, für dich zusammengefasst. So meint $1kg$ genau $1\,000g$ und $1MB$ genau $1\,000\,000B$.

Durch diese kurze Schreibweise sind diese Vorsätze für die häufig sehr großen wissenschaftlichen und technischen Zahlen sehr praktisch.

$\begin{array}{lclll} \cdot 10^1&=&\cdot 10& \text{„Deka“ } &da\\ \cdot 10^2&=&\cdot 100& \text{„Hekto“ } &h\\ \cdot 10^3&=&\cdot 1\,000& \text{„Kilo“ } &k\\ \cdot 10^6&=&\cdot 1\,000\,000& \text{„Mega“ } &M\\ \cdot 10^9&=&\cdot 1\,000\,000\,000& \text{„Giga“ } &G\\ \cdot 10^{12}&=&\cdot 1\,000\,000\,000\,000& \text{„Tera“ } &T\\ \cdot 10^{15}&=&\cdot 1\,000\,000\,000\,000\,000& \text{„Peta“ } &P\\ \cdot 10^{18}&=&\cdot 1\,000\,000\,000\,000\,000\,000& \text{„Exa“ } &E \end{array}$

Potenzschreibweise für kleine Zahlen

Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten

$10^{-n}$ kannst du als Dezimalzahl schreiben: Hinter einer $0$ kommt ein Komma und an der $n$-ten Stelle hinter dem Komma folgt die $1$.

$\begin{array}{cccc} 10^{-1}&=&0,1&~&10^{-4}&=&0,0001&~\\ 10^{-2}&=&0,01&~&10^{-5}&=&0,00001&~\\ 10^{-3}&=&0,001 &~&10^{-6}&=&0,000001&~ \end{array}$

Hier kannst die Namen für kleine Zahlen lernen.

$10^{-6}=0,000001$ ist eine Millionstel und
$10^{-9}=0,000000001$ ist eine Milliardstel.

Potenzschreibweise

Wenn eine Zahl sehr klein, also sehr nahe bei $0$, ist, kannst du sie auch in Potenzschreibweise schreiben. Auch hier schauen wir uns zunächst ein erstes Beispiel an: $0,00003141$.

Schaue, an welcher Stelle hinter dem Komma die erste Ziffer ungleich $0$ steht. In diesem Beispiel ist dies die $3$ an der fünften Stelle.
Ähnlich wie bei der Potenzschreibweise für große Zahlen, lässt sich auch diese Zahl als Produkt einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz schreiben.

Damit ist

$0,00003141=3,141\cdot 10^{-5}$.

Wieder steht vor dem Komma der Dezimalzahl eine Ziffer zwischen $1$ und $9$. Die folgenden Zahlen kommen hinter dem Komma. Im Exponent steht $-n$, wobei $n$ die Stelle hinter dem Komma ist, an welcher die erste Ziffer ungleich $0$ steht.

Beispiele

$0,000000123=1,23\cdot 10^{-7}$: Zähle, an welcher Stelle hinter dem Komma die $1$ kommt. Dies ist die siebte Stelle.
Auch hier kannst du umgekehrt eine Zahl in Potenzschreibweise wieder ausschreiben: $3,45\cdot 10^{-5}=0,0000345$. Du kannst dir dies so merken: Du verschiebst das Komma um fünf (der Exponent!) Stellen nach links. Dabei musst du entsprechend (5!) viele Nullen hinzufügen.
$8,045\cdot 10^{-2}=0,08045$
$9,23\cdot 10^{-7}=0,000000923$
...

Benennung und Bedeutung der Einheitenvorsätze mit Faktor $<1$

Hier habe ich alle wissenschaftlichen Vorsätze, die eine Verkleinerung meinen, für dich zusammengefasst. So meint $1mg$ genau $0,001g$ und $1nm$ genau $0,000\,000\,001m$.

Durch diese kurze Schreibweise sind diese Vorsätze für die häufig auch sehr kleinen wissenschaftlichen und technischen Zahlen sehr praktisch.

$\begin{array}{lclll} \cdot 10^{-1}&=&\cdot 0,1& \text{„Dezi“ } &d\\ \cdot 10^{-2}&=&\cdot 0,01& \text{„Zenti“ } &c\\ \cdot 10^{-3}&=&\cdot 0,001& \text{„Milli“ } &m\\ \cdot 10^{-6}&=&\cdot 0,000\,001& \text{„Mikro“ } &\mu\\ \cdot 10^{-9}&=&\cdot 0,000\,000\,001& \text{„Nano“ } &n\\ \cdot 10^{-12}&=&\cdot 0,000\,000\,000\,001& \text{„Pico“ } &p\\ \cdot 10^{-15}&=&\cdot 0,000\,000\,000\,000\,001& \text{„Femto“ } &f\\ \cdot 10^{-18}&=&\cdot 0,000\,000\,000\,000\,000\,001& \text{„Atto“ } &a \end{array}$

Mit Zehnerpotenzen rechnen

Potenzieren von Zehnerpotenzen

Wenn du eine Zehnerpotenz potenzierst, verwendest du das dritte Potenzgesetz. Dieses besagt, dass Potenzen potenziert werden, indem die Basis beibehalten wird und diese mit dem Produkt der Potenzen potenziert wird.

Lass uns dies einmal an einigen Beispielen üben.

$\left(10^{2}\right)^4=10^{2\cdot 4}=10^{8}$: Die Anzahl der Nullen (2!) vervierfacht sich.
$\left(10^{3}\right)^2=10^{3\cdot 2}=10^{6}$: Die Anzahl der Nullen (3!) verdoppelt sich.

Natürlich kannst du dieses Gesetz auch auf negative Potenzen anwenden:

$\left(10^{-1}\right)^2=10^{-1\cdot 2}=10^{-2}$,
$\left(10^{-3}\right)^2=10^{-3\cdot 2}=10^{-6}$.

Multiplikation mit einer Zehnerpotenz

Wie kannst du eine Zahl mit einer Zehnerpotenz multiplizieren?

Wir schauen uns hierfür ein Beispiel an: $2431,\cdot 10^6$.

Du erinnerst dich $10^6=1000000$.
Also ist $243,1\cdot 10^6=243,1\cdot 1000000=2431\cdot 100000$. Jetzt ist das Komma weg. Die übrigen Nullen schreibst du hinten an die Zahl heran
$2431\cdot 100000=243100000$
Insgesamt hast du das Komma um sechs Stellen nach rechts verschoben.

Division durch eine Zehnerpotenz

... das ist übrigens das Gleiche wie die Multiplikation mit einer Zehnerpotenz mit negativem Exponenten.

Auch dies üben wir an einem Beispiel: $2,3:10^6=2,3:1000000$

Wenn du $2,3:10$ rechnest, erhältst du $0,23$.
Dividiere noch einmal durch $10$. Dies führt zu $0,023$.
Wie oft musst du insgesamt durch $10$ dividieren? Richtig, sechsmal. Jedes Mal wird das Komma um eine Stelle nach links verschoben.
$2,3:1000000=0,0000023$