Potenzen üben – Hunderter quadrieren (1)

Grundlagen zum Thema Potenzen üben – Hunderter quadrieren (1)
Herzlich Willkommen zum Video „ Potenzen üben - Hunderter quadrieren – 1 “. Was erwartet dich in diesem Lehrfilm bzw. was versuchen wir dir zu zeigen? In diesem Film wird ganz ausführlich gezeigt, wie man eine Potenz eines Vielfachen von Hundert berechnet. Du solltest bereits wissen, wie eine Potenz definiert ist und grundlegende Fähigkeiten im Umgang mit Termen besitzen. Wenn du möchtest, dann kannst du das Video zwischendurch anhalten und das zweite Beispiel im Video selbständig rechnen, um zu überprüfen, ob du die Potenz eines Vielfachen von Hundert richtig berechnet hast. Viel Erfolg!
Potenzen üben – Hunderter quadrieren (1) Übung
-
Beschreibe, wie die Zahl $300$ quadriert werden kann.
TippsQuadrieren bedeutet das Multiplizieren der Basis mit sich selbst:
$a^2=a\cdot a$.
Dabei ist $a$ die Basis.
Bei der Multiplikation gilt das Kommutativgesetz
$a\cdot b=b\cdot a$.
Das Potenzieren von Zehnerpotenzen kannst du dir wie folgt merken:
Wenn du eine Zehnerpotenz quadrierst, wird die Anzahl der Nullen verdoppelt.
Wenn du eine Zehnerpotenz mit drei potenzierst, wird die Anzahl der Nullen verdreifacht.
...
Zum Beispiel ist $1000^2=1000000$.
LösungWie kann $300^2$ berechnet werden?
Zunächst ist $300=3\cdot 100$ ist und also
$300^2=(3\cdot 100)^2$.
Wenn man einen Term quadriert, bedeutet dies, dass dieser Term mit sich selbst multipliziert wird. Dabei kommt der Term zweimal als Faktor vor:
$(3\cdot 100)^2=3\cdot 100\cdot 3\cdot 100$.
Da das Operationszeichen immer das Multiplikationszeichen ist, darf die Reihenfolge vertauscht werden:
$3\cdot 100\cdot 3\cdot 100=3\cdot 3\cdot 100\cdot 100$.
Da $3\cdot3=9$ ist und $100\cdot100=10000$, kann das Ergebnis der Rechnung angegeben werden:
$9\cdot 10000=90000$.
-
Berechne das Ergebnis von $-300^3$.
TippsWenn du eine Zehnerpotenz mit $3$ potenzierst, kannst du die Anzahl der Nullen verdreifachen.
Beachte, dass das Vorzeichen nicht potenziert wird.
Beim Potenzieren, wie in diesem Fall, mit einer ungeraden Zahl, erhält man allerdings auch bei $(-300)^3$ ein negatives Ergebnis.
Du musst die Potenzen
- $3^3$ sowie
- $100^3$ berechnen.
LösungMan kann ebenso wie beim Quadrieren auch Potenzen mit dem Exponenten $3$ berechnen: $-300^3$.
Wichtig ist zu beachten, dass sich das Potenzieren nur auf die $300$ bezieht; ansonsten müsste $-300$ geklammert werden.
$-300^3=-3\cdot 100\cdot 3\cdot 100\cdot 3\cdot 100$.
Die Reihenfolge der Faktoren darf vertauscht werden und man erhält
$-3\cdot 100\cdot 3\cdot 100\cdot 3\cdot 100=-3\cdot 3\cdot 3\cdot 100\cdot 100\cdot 100$.
Es ist $3^3=27$ und $100^3=1000000$ (Man muss nur die Anzahl der Nullen verdreifachen!) und somit kann das Ergebnis berechnet werden:
$-300^3=...=-27\cdot1000000=-27000000$.
-
Entscheide, ob richtig gerechnet wird.
TippsSchreibe jeweils zunächst die Potenz als Produkt.
Beachte, dass das Vorzeichen jeweils mit potenziert wird.
Es gilt folgende Regel für das Potenzieren von negativen Zahlen
$(-1)^n= \begin{cases} 1& \text{, wenn }n\text{ gerade ist} \\ -1& \text{, wenn } n\text{ ungerade ist} \end{cases}$
Zu jeder der beiden Potenzaufgaben ist die richtige Lösung angegeben.
LösungBei beiden Aufgaben kann man wie folgt vorgehen:
- Die Potenzen werden als Produkte geschrieben.
- Die Reihenfolge der Faktoren werden vertauscht und
- die einzelnen Potenzen berechnet sowie multipliziert.
$\begin{align*} (-200)^3&=(-1)\cdot 2\cdot 100\cdot (-1)\cdot 2\cdot 100\cdot (-1)\cdot 2\cdot 100\\ &=(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 100\cdot100\cdot100\\ &=(-1)\cdot 8\cdot 1000000\\ &=-8000000. \end{align*}$
-
Ordne den Potenzaufgabe die jeweilige Lösung zu.
TippsEs gilt $a^2=a\cdot a$ sowie $a^3=a\cdot a\cdot a$.
Verwende die Rechenregel zum Rechnen mit Potenzen:
$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.
Es ist
- $100^2=10000$
- $1000^2=1000000$
- ... die Anzahl der Nullen wird verdoppelt.
- $100^3=1000000$
- $1000^3=1000000000$
- ... die Anzahl der Nullen wird verdreifacht.
LösungUm Hunderterzahlen zu potenzieren, werden diese als Produkte geschrieben und entsprechend des Exponenten multipliziert.
Es gilt: $a^2=a\cdot a$ sowie $a^3=a\cdot a\cdot a$.
Unter Verwendung der Rechenregel zum Rechnen mit Potenzen $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ kann wie folgt gerechnet werden:
- $500^2=(5\cdot100)^2=5^2\cdot 100^2=25\cdot 10000=250000$.
- $500^3=(5\cdot100)^3=5^3\cdot 100^3=125\cdot 1000000=125000000$.
- $(-600)^2=(-6\cdot100)^2=(-1)^2\cdot 6^2\cdot 100^2=36\cdot 10000=360000$.
- $-600^3=-(6\cdot100)^3=-6^3\cdot 100^3=-216\cdot 1000000=-216000000$.
-
Gib an, welche Regeln zum Potenzieren von Hunderterzahlen verwendet wird.
TippsDas Potenzieren mit zwei ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt, in welchem die Basis zweimal als Faktor vorkommt.
Es gilt: $300=3\cdot 100$.
Es gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation:
$a\cdot b=b\cdot a$.
LösungEs soll die Potenz $300^2$ berechnet werden.
Zunächst kann man verwenden, dass $300=3\cdot 100$ ist und somit
$300^2=(3\cdot 100)^2$.
Die Klammern sind wichtig, da sich nur mit Klammern das Potenzieren auf beide Faktoren bezieht. Anders sieht das aus bei
$3\cdot 100^2=3\cdot 100\cdot 100$.
Hier bezieht sich die Potenz nur auf die $100$.
Das Quadrieren kürzt die Produktschreibweise ab. In dem Produkt kommt die Basis zweimal als Faktor vor.
$(3\cdot 100)^2=3\cdot 100\cdot 3\cdot 100$.
Nun kann die Reihenfolge bei der Multiplikation vertauscht werden zu
$3\cdot 100\cdot 3\cdot 100=3\cdot 3\cdot 100\cdot 100=90000$.
-
Berechne die Ergebnisse der Aufgaben.
TippsSchreibe die Dezimalzahlen, beispielsweise $0,02$ als Bruch mit dem Nenner $100$.
Es ist $0,02=\large\frac2{100}$, also
$0,02^3=\left(\frac2{100}\right)^3$.
Es gilt: $\left(\frac1{100}\right)^3=\frac1{1000000}$.
Die Anzahl der Nullen, im Nenner, wird verdreifacht.
$\frac1{1000000}=0,000001$. Die $1$ steht an der sechsten Stelle hinter dem Komma.
Verwende die Rechenregeln zum Rechnen mit Potenzen:
$\left(\frac ab\right)^3=\frac{a^3}{b^3}$.
LösungZunächst kann man die Dezimalzahlen $1,5$ als Bruch schreiben und dann die Potenzregeln anwenden. Es gilt:
$1,5^2=\left(\frac{15}{10}\right)^2=\frac{15^2}{10^2}=\frac{225}{100}=225\div100 = 2,25$
Ähnlich wie beim Potenzieren von Hundertern kann man beim Potenzieren von Hundertsteln vorgehen:
$0,02^3=\left(\frac2{100}\right)^3=\frac{2^3}{100^3}$.
Nun können sowohl im Zähler als auch im Nenner die Potenzen berechnet werden:
$\frac8{1000000}$.
Die $8$ steht also in einer Dezimalzahl an der sechsten Stelle hinter dem Komma:
$0,02^3=0,000008$.

Zehnerpotenzen und Dezimalzahlen

Vergleich von Größenordnungen mit Zehnerpotenzen

Mengen abschätzen und vergleichen mit Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen – Namen für große Zahlen

Zehnerpotenzen – Namen für kleine Zahlen

Zehnerpotenzen – Namen für große und kleine Zahlen

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (1)

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (2)

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (3)

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (4)

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (5)

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (6)

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (7)

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (8)

Zehnerpotenzen – Komma verschieben (9)

Potenzschreibweise

Potenzschreibweise – Aufgabe (1)

Potenzschreibweise – Aufgabe (2)

Potenzen üben – Hunderter quadrieren (1)

Potenzen üben – Hunderter quadrieren (2)

Potenzen üben – Zehner potenzieren
2.694
sofaheld-Level
6.289
vorgefertigte
Vokabeln
10.224
Lernvideos
42.166
Übungen
37.254
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrer*
innen

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Rechteck
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was ist eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Grundrechenarten Begriffe
- Dreiecksarten
- Quader
- Satz des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Kreis
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen in Worten schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich multiplizieren
- Brüche multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen berechnen
- Brüche addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Scheitelpunktform
- Punktsymmetrie
- Logarithmus
- Erwartungswert
- Skalarprodukt
- Primfaktorzerlegung
- Quadratische Ergänzung
- Zinseszins
- Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen
- Varianz
1 Kommentar
Banane (keine ahning warum ich das schreibe)
War gut erklärt