Parabeln und Geraden – x-Wert gesucht

Parabeln und Geraden – x-Wert gesucht Übung

• Ergänze die Aussagen zu Funktionen, deren Funktionswert bereits gegeben ist.

  Tipps

  Überlege dir, wie du den Funktionswert y ermittelst, wenn du x gegeben hast.

  Umgekehrt kannst du ebenso vorgehen, wenn du nämlich den Funktionswert y gegeben hast und x gesucht ist.

  Lösung

  Die allgemeine lineare Funktion ist gegeben durch $y=ax+b$, wobei dir Wahl der Buchstaben für die Parameter nicht entscheidend ist. Wenn du zu einem festen x-Wert den Funktionswert y wissen willst, musst du dieses x einsetzen. Umgekehrt, wenn der Funktionswert gegeben ist, musst du eine lineare Gleichung nach $x$ auflösen.

  Die allgemeine quadratische Funktion lautet $y=ax^2+bx+c$. Wenn du zu einem festen x-Wert den Funktionswert y wissen willst, musst du dieses x einsetzen. Umgekehrt, wenn der Funktionswert gegeben ist, musst du eine quadratische Gleichung nach x auflösen. Dafür verwendest du die p-q-Formel.

• Vervollständige den Rechenweg zur Lösung der Funktion $y=2 \cdot x^2 + 4x - 6$, deren Funktionswert $y=-6$ gegeben ist.

  Tipps

  Setze den gegebenen y-Wert in die quadratische Gleichung ein.

  Um die pq-Formel anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung die Form $x^2+px+q=0$ besitzen.

  Lösung

  Gegeben ist die quadratische Funktion $y=2 \cdot x^2+4x-6$. Der Funktionswert $y=-6$ ist gegeben und wir suchen $x$.

  Im ersten Schritt gilt es, $y=-6$ in die quadratische Gleichung einzusetzen und dann soweit umzustellen, dass die pq-Formel verwendet werden kann:

  $\begin{align*} -6 &= 2x^2+4x-6 &|& +6 \\ 0 &= 2x^2+4x &|& :2 \\ 0 &= x^2+2x \end{align*}$

  Und diese Gleichung kannst du mit der pq-Formel lösen:

  $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{2}{2}±\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-0} \\ x_1& =-1+1=0 \\ x_2&= -1-1=-2 \end{align*}$

  Die beiden x-Werte, welche den gegebenen Funktionswert $y=-6$ erzeugen, heißen $x_1=0$ und $x_2=-2$.

• Ermittle das günstigere Nachhilfeinstitut.

  Tipps

  Wenn Paul 2 Stunden nimmt, wie viel muss er dann bei Institut B bezahlen?

  Für 4 Stunden muss Paul bei Institut A 100€ zahlen. Stimmt das?

  Lösung

  Du kannst zunächst für beide Institute die Kostenfunktion aufstellen. Diese ist jeweils linear. Danach berechnest du, wie viele Stunden Paul für seine 160€ bekommt. Das heißt der $y$-Wert (die Kosten) ist bekannt und der $x$-Wert (die Anzahl der Stunden) ist gesucht.

  • Institut A:

  $f(x)=40+15x$

  Die Gleichung lautet dann:

  $\begin{align*} 160&=40+15x &|& -40 \\ 120&=15 x &|& :15 \\ 8 &=x \end{align*}$

  • Institut B:

  $g(x)=20+20x$

  Und auch hier kannst du eine Gleichung lösen

  $\begin{align*} 160&=20+20x &|& -20 \\ 140&= 20x &|& :20 \\ 7 &=x \end{align*}$

  • Das heißt, für das gleiche Geld (160€) erhält Paul beim Institut A 8 und beim Institut B 7 Stunden Unterricht. Institut A ist für Paul günstiger.

• Ermittle die Entfernung, in welcher der Ball die gefragte Höhe besitzt.

  Tipps

  Denke daran, die quadratische Gleichung in die Form $x^2+px+q=0$ zu bringen. Diese heißt Normalform.

  Zeichne dir den Verlauf der Parabel mal auf. Wie kann die Aufgabe zeichnerisch gelöst werden?

  Lösung

  Bei dieser Aufgabenstellung geht es um eine quadratische Funktion. Der Funktionswert, also die Höhe, ist bekannt. Gefragt ist nach der Entfernung, dies ist der x-Wert, in welcher diese Höhe erreicht wird.

  Du erhältst also eine quadratische Gleichung, welche du so umformen kannst, dass du die p-q-Formel anwenden kannst:

  $\begin{align*} 3,5&=-\frac{1}{8} x^2+x+2 &|& -3,5 \\ 0&= -\frac{1}{8}x^2+x-1,5 &|& \cdot(-8)\\ 0&=x^2-8x+12 \end{align*}$

  Diese Gleichung kannst du mit der p-q-Formel lösen:

  $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{-8}{2}±\sqrt{\left(\frac{-8}{2}\right)^2-12} \\ x_1& =4+2=6 \\ x_2&=4-2=2 \end{align*}$

  Der Ball hat also nach 2 m und nach 6 m die Höhe 3,5 m erreicht.

• Berechne den gesuchten x-Wert, welcher für die Funktion $y=-5x+9$ den Funktionswert $y=10$ erzeugt.

  Tipps

  Beim Lösen einer Gleichung führst du immer die Umkehrung der jeweiligen Rechenoperation durch:

  $2x+1=3~~~~~|-1$

  Hilfreich ist es, am Ende eines Rechenweges eine Probe durchzuführen, um dich von der Richtigkeit des Ergebnisses zu überzeugen.

  Lösung

  Da in diesem Beispiel der y-Wert gegeben ist und der x-Wert gesucht, setzt du $y=10$ in die Gleichung ein.

  Nun kannst du die lineare Gleichung lösen:

  $\begin{align*} 10&= -5x+9 &|& -9 \\ 1&= -5x &|& :(-5) \\ -0,2 &= x \end{align*}$

  Der x-Wert, welcher in der Funktion $y=-5x+9$ den Funktionswert $y=10$ erzeugt, heißt $x=-0,2$.

• Untersuche, ob die Parabel und die Gerade gemeinsame Punkte haben.

  Tipps

  Bei gemeinsamen Punkten zweier Funktionsgraphen stimmen zu der x-Koordinate auch die y-Koordinate überein. Also musst du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen, welche du umformst, sodass diese in der Form $x^2+px+q$ vorliegt und die pq-Formel angewendet werden kann.

  Wenn nach den Schnittpunkten gefragt ist, musst du diese auch angeben.

  Nach dem Lösen der Gleichung sind die x-Koordinaten bekannt. Wie erhältst du dazu die y-Koordinate?

  Lösung

  In diesem Beispiel ist der y-Wert nicht vorgegeben.

  Das einzige, was du weißt, ist, dass die Parabel und die Gerade zwei gemeinsame Punkte haben. Was heißt das?

  Für zwei x-Werte stimmen die y-Werte überein. Die y-Werte sind zwar nicht vorgegeben, aber auch nicht ganz frei wählbar.

  Das führt zu der Gleichung:

  $\begin{align*} x^2&=x+2 &|& -2 \\ x^2-2&= x &|& -x \\ x^2-x-2 &=0 \end{align*}$

  Diese Gleichung kannst du mit der pq-Formel lösen:

  $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{-1}{2}±\sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2-(-2)} \\ &=\frac{1}{2}±\sqrt{2,25} \\ x_1& =\frac{1}{2}+\sqrt{2,25}=2 \\ x_2&=\frac{1}{2}-\sqrt{2,25}=-1 \end{align*}$

  Durch Einsetzen der x-Werte in eine der beiden Funktionen erhältst du die jeweilige y-Koordinate:

  • $x_1=2$, in die lineare Gleichung eingesetzt, ergibt $y_1=2+2=4$, und somit den Schnittpunkt $S_1(2|4)$.
  • $x_2=-1$, in die lineare Gleichung eingesetzt, ergibt $y_2=-1+2=1$, und in der Folge $S_2(-1|2)$.

  Die x-Werte sollten, in die quadratische Gleichung eingegeben, die gleichen Funktionswerte erzeugen.