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Mittelwertsatz der Differentialrechnung 05:45 min

Textversion des Videos

Transkript Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Hallo, mein Name ist Frank. Und ich werde in diesem Video mit dir den Mittelwertsatz behandeln. Zuerst einmal schaue ich mir nochmal den Satz von Rolle an, weil der Satz von Rolle ein Spezialfall des Mittelwertsatzes ist. Und dafür nehme ich erstmal dieses Bild hier her. Wie du hier siehst hast du eine Funktion da, die sogenannte Kettenlinie, ist auch dran geschrieben da, f(x) = 1/2(ex + e-x). Diese Funktion betrachte ich auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] und es soll gelten die Funktionswerte an den Intervallrändern stimmen überein. Das hast du hier mit den Punkten P und Q markiert. Wenn wir die beiden Punkte miteinander verbinden, bekommen wir eine Sekante, die parallel zur x-Achse läuft, also die Steigung null hat. Und wenn wir diese Sekante parallel nach unten verschieben in dem Fall, kommen wir irgendwann zu einer Tangente. Das heißt, es existiert auf dem Intervall [a, b] ein x0 und, in dem Fall eins, allgemein mindestens ein x0, sodass die erste Ableitung an der Stelle x0 gerade null ist. Also eine waagerechte Tangente. Zusätzlich benötigen wir noch die Stetigkeit der Funktion auf [a, b], das ist bei dieser Funktion ja gegeben, und die Differenzierbarkeit auf dem offenen Intervall (a, b). Das wäre jetzt nochmal die Situation des Satzes von Rolle. Und nun schaue ich mir den Mittelwertsatz an. Dafür kopiere ich dieses Bild erst einmal und tue dann dieses Bild hierhin, damit du das nochmal direkt unter dem Satz von Rolle sehen kannst. Und hier lasse ich jetzt die Voraussetzung f(a) = f(b) raus. Das heißt ich halte einen Punkt fest und lasse den anderen Punkt auf dem Funktionsgraphen wandern. Du siehst, die Funktionswerte stimmen jetzt nichtmehr überein. Und wenn wir die beiden Punkte miteinander verbinden, bekommen wir wieder eine Sekante, die diesmal nicht die Steigung null hat. Das parallele Verschieben der Sekante führt dazu, dass wir irgendwann zu einer Tangente an dem Funktionsgraphen kommen. Und das ist dann die Aussage des Mittelwertsatzes. Ich beginne mal mit den Voraussetzungen. Also wir betrachten das Intervall I = [a, b]. Diese Voraussetzung lasse ich ja wie gesagt heraus. Die Funktion die ich betrachte, muss auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig sein, wie beim Satz von Rolle. Und die Funktion muss differenzierbar sein, ich kürze das mal mit „diff’bar“ für „differenzierbar“ ab. Und diese Differenzierbarkeit brauche ich tatsächlich nur auf dem offenen Intervall (a, b), genau wie beim Satz von Rolle. Und jetzt gilt die Aussage, es existiert – das kürze ich mal mit „ex“ ab – mindestens ein x0 aus I, sodass – was ich an dem Bild schon sehen kann – die Steigung der Tangente, also f‘(x0) gerade die Steigung der Sekante ist. Also f(b) - f(a), das ganze geteilt durch b - a. Nun schaue ich mir das nochmal an. Diese Punkte stimmen ja mit dem Satz von Rolle überein, und hier haben wir jetzt stehen f‘(x0) ist gerade dieser Quotient. Dieser Quotient gibt die Steigung dieser Sekante an. Also Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der Argumente. Gut. Auch dieses Bild tue ich nochmal darunter. Also du siehst hier rechts den Satz von Rolle mit dem dazugehörigen Bild und hier links den Mittelwertsatz mit dem dazugehörigen Bild. Ich wiederhole nochmal kurz, was ich in dem Video gemacht habe: Ich habe mir den Mittelwertsatz angeschaut und der Mittelwertsatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Rolle. Beim Satz von Rolle gilt die Gleichheit der Funktionswerte und wir haben eine waagerechte Tangente, was du hier in dem Bild nochmal sehen kannst. Beim Mittelwertsatz haben wir diese Voraussetzung nicht und dann haben wir eine Sekante, die nicht mehr waagerecht verläuft. Aber auch dazu gibt es eine parallele Tangente. Und das sagt das hier, f‘(x0) gleich Steigung der Sekante. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest, danke dir für deine Aufmerksamkeit und freue mich wie immer über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

10 Kommentare
  1. Hallo Frank.

    Stell' Dir eine Funktion vor, die nur auf dem angegebenen Intervall definiert ist. Das bedeutet, dass die Funktion am Rand nicht differenzierbar sein kann (oder muss). Der Satz gilt natürlich in dem Fall, dass die Funktion auch am Rand des Intervalls differenzierbar ist.

    Ich hoffe, ich konnte Dir damit helfen.

    Viel Spaß weiterhin mit den Videos von Sofatutor von Frank

    Von Frank Steiger, vor etwa 3 Jahren
  2. Hallo Frank,
    mein Name ist auch Frank und ich habe nicht verstanden, warum die Differenzierbarkeit in einem offenen Intervall (also nicht in einem geschlossenen) gegeben sein muss.

    Von Frank E., vor etwa 3 Jahren
  3. Hallo Herr Steiger, ich glaub‘ ich hab’s!
    Also, aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es bei j e d e r Funktion f(x) (mindestens) eine Stelle a, die, falls f(x) keine konstante Funktion ist und keine Sattelpunkt vorliegt, eine Extremstelle ist mit f‘(a) = 0.
    Um a herum kann man nun eine Umgebung x1 0, dann gilt f(x2)-f(x1)/x2-x1 > 0. Nach Umformung ist dann f(x2)-f(x1) > 0 , somit auch x2 < x1 und weil das eine Linkskurve bedeutet und a zwischen diesen beiden Stellen liegt, muss a eine (lokaler) Tiefpunkt sein. Entsprechend gilt dann, dass für f‘‘(a) < 0 ein lokaler Hochpunkt vorliegen muss.

    Ich danke Ihnen für Ihre Anregung; sie hat - quasi automatisch - über Nacht gewirkt! Mein Ziel war ja die vorwiegend "abstrakte" Überlegung nachvollziehen zu können.

    Von Eemilelv, vor fast 4 Jahren
  4. Danke.
    Ja ich hatte mir das bei der Normalparabel auch schon klar gemacht. Die Resultate lassen sich anschaulich gut nachvollziehen, nur ist mir eine allgemeine formale Schlussweise noch nicht einsichtig geworden. - Auf jeden Fall werde ich mir das Video über die "notwendige und hinreichende Bedingung" anschauen.
    Herzlichen Dank!

    Von Eemilelv, vor etwa 4 Jahren
  5. Hallo: schau dir mal das Video "notwendige und hinreichende Bedingung" von Martin W. an. Vielleicht hilft dir das weiter.

    Ansonsten: Die zweite Ableitung steht für die Krümmung. Das Vorzeichen und die dazugehörige Krümmung kannst du dir an der Normalparabel klarmachen: f(x)=x^2, f'(x)=2x, f''(x)=2. Die zweite Ableitung ist immer größer als 0. Die Normalparabel ist linksgekrümmt und hat einen Tiefpunkt.

    Von Frank Steiger, vor etwa 4 Jahren
  1. Wollte gerne wissen, ob es ein Video gibt, das sich mit folgendem Problem beschäftigt.
    Ich muss mir erklären, warum man an der zweiten Ableitung einer Funktion f(x), also anhand von f‘‘(x) sehen kann, dass es sich entweder um einen Hoch- bzw. einen Tiefpunkt handelt. (Den Sattelpunkt betrachte ich hier mal nicht.)
    Voraussetzung der Differenzierung sei im Intervall (x1; x2) gegeben, in
    dem x1 f(a) f(ra).

    Nun zu meinen Problem bzgl. der Aussage(kraft) der zweiten Ableitung!
    f‘‘(x) sei an der Stelle f‘‘(a) > 0. Wieso folgt daraus, dass an der Stelle a ein Tiefpunkt ist und gilt f(la) > f(a) < f(ra), was ja das Kriterium für einen Tiefpunkt ist? Dieser Schluss ist mir (wenigstens im Moment) nicht völlig klar.

    Von Eemilelv, vor etwa 4 Jahren
  2. @Eemilelv: Super ... das hast du korrekt gelöst:)

    Von Martin B., vor etwa 4 Jahren
  3. Hallo Herr Steiger,
    aufgrund Ihre guten Erklärung habe ich mich an eine Aufgabe gewagt, die ich im Mathe-Chat nicht besprechen konnte - weil der Tutor oder die Tutorin plötzlich nicht mehr antwortete.
    Hier meine Überlegungen zur
    Aufgabe:
    Bestimme mit Hilfe des Mittelwertsatzes den Punkt (a/f(a)) und dessen Steigung für die Funktion f(x) = x^2+2x+2 im Intervall
    I=[-2; 1].
    Lösung:
    Zuerst habe ich die Steigung m der Sekante s im Intervall I bestimmt.
    Also: Differenz der y-Werte durch Differenz der x Werte
    .. m = f(1) – f(-2) geteilt durch 1 – (-2)
    .. m = (5 – 2) : (1-(-2)) = 3:3 = 1
    Die Sekante geht also durch die Punkte P (-2; 2) und Q (1; 5) und hat die Steigung m = 1.
    Das ist aber auch die Steigung der Tangente durch den Punkt
    M (a; f(a)), was wiederum die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle a ist.
    Die Ableitung ist allgemein f‘(x) = 2x+2 und an der Stelle a ist sie f‘(a) = 1 und somit gilt: 2a + 2 = 1 , folglich ist a = -1/2
    Der Punkt M (a; f(a)), den die Tangente mit der Steigung 1 berührt, ist dann
    M (-1/2; f(-1/2)) = M (-1/2; 5/4)
    -----
    Ob das wohl so stimmt?

    Von Eemilelv, vor etwa 4 Jahren
  4. Schön, dass freut mich, dass es dir geholfen und gefallen hat.
    Viel Spaß weiterhin mit den Videos von Sofatutor.

    Von Frank Steiger, vor etwa 4 Jahren
  5. Hallo, auch für dieses schöne und gutverständliche Video meine Anerkennung.
    Ich kann mir jetzt gut erklären, warum für die Differenzierbarkeit nur das offene Intervall betrachtet werden kann; die Randpunkt sind ja hier nicht von Belang.
    Ich habe mir (vermutlich unnötigerweise) den Kopf zerbrochen, wie man den Mittelwertsatz wohl formal begründen könnte. Demnach dachte ich, dass bei den Punkten P und Q (Grapf im Video) die Werte f(a) und f(b) identisch sind mit den Werten der Sekante an den Stellen a und b. Somit ist deren jeweilige Differenz Null. Das aber gilt für alle Sekanten und auch für die Tangente; woraus die Parallelität folgt und somit die Steigung f'(x) = Differenzenquotien.
    War etwas kompliziert gedacht - nicht wahr.
    Umso mehr hat mir die Animation im Video gefallen.

    Von Eemilelv, vor etwa 4 Jahren
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Mittelwertsatz der Differentialrechnung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittelwertsatz der Differentialrechnung kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze den Satz von Rolle.

    Tipps

    Unter der Voraussetzung des Satzes von Rolle ist die Sekante durch die Punkte $(a|f(a))$ und $(b|f(b))$ parallel zur x-Achse.

    Wenn eine Funktion nur auf einem geschlossenen Intervall definiert ist, kann es sein, dass sie an den Rändern des Intervalls nicht differenzierbar ist.

    Schau dir das obige Bild an. Dort ist die Situation des Satzes von Rolle dargestellt.

    Lösung

    Zunächst schauen wir uns die Voraussetzungen des Satzes von Rolle an:

    • $I=[a;b]$. Das bedeutet, dass der Satz von Rolle auf einem abgeschlossenen Intervall erklärt ist.
    • Es muss gelten $f(a)=f(b)$.
    • Die Funktion $f$ soll stetig sein auf dem abgeschlossenen Intervall $I=[a;b]$.
    • Die Funktion $f$ soll differenzierbar sein auf dem offenen Intervall $(a;b)$.
    Nun kommt die eigentliche Aussage des Satzes von Rolle: Es gibt mindestens ein $x_0\in I$, so dass $f'(x_0)=0$.

    Was bedeutet das?

    • Wenn $f(a)=f(b)$ ist, dann hat die Sekante durch die beiden Punkte $(a|f(a))$ sowie $(b|f(b))$ die Steigung $0$.
    • Wenn diese Sekante nun parallel verschoben wird, existiert mindestens ein $x_0\in I$, so dass eine Parallele der Sekante Tangente an den Graphen von $f$ ist.
  • Beschreibe, wie die Steigung einer Sekanten berechnet werden kann.

    Tipps

    Die Steigung der oben zu sehenden Geraden ist $m=-\frac12$.

    Die Steigung ist gegeben über den Differenzenquotienten.

    Du dividierst die Differenz der y-Koordinaten durch die Differenz der x-Koordinaten. Achte dabei auf die Reihenfolge.

    Die Steigung der Geraden durch die beiden Punkte $P_1(a|f(a))$ sowie $P_2(b|f(b))$ ist ebenfalls gegeben durch

    $m=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

    Lösung

    Der Mittelwertsatz besagt, dass es mindestens eine Stelle $x_0\in I$ gibt, so dass die Steigung der Tangente an den Graphen an dieser Stelle $f'(x_0)$ gleich der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte $P_1(a|f(a))$ sowie $P_2(b|f(b))$ ist.

    Wie kann man diese Steigung berechnen? Hierfür verwendet man den Differenzenquotienten: Man dividiert die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte durch die Differenz der x-Koordinaten. Dabei ist die Reihenfolge wichtig:

    $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$.

    Die Reihenfolge der Punkte muss im Zähler und Nenner des Differenzenquotienten übereinstimmen.

  • Gib den Mittelwertsatz an, welcher den Satz von Rolle verallgemeinert.

    Tipps

    Überlege dir, wie die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte $P(p_x|p_y)$ sowie $Q(q_x|q_y)$ definiert ist. Dies kannst du hier sehen.

    Dieser Term wird als Differenzenquotient bezeichnet.

    Achte bei dem Differenzenquotienten auf die Reihenfolge der Differenzen.

    Beachte, dass der Mittelwertsatz den Satz von Rolle verallgemeinert.

    Der Satz von Rolle hat die Voraussetzungen:

    • $I=[a;b]$
    • $f(a)=f(b)$
    • $f$ ist stetig auf $I=[a;b]$.
    • $f$ ist differenzierbar auf dem offenen Intervall $(a;b)$.
    Dann gilt nach dem Satz von Rolle: Es existiert mindestens ein $x_0\in I$, so dass $f'(x_0)=0$.

    Lösung

    Beim Mittelwertsatz muss $f(a)=f(b)$ nicht gelten. Der Mittelwertsatz verallgemeinert hier den Satz von Rolle. Er gilt natürlich auch wenn $f(a)=f(b)$ ist.

    Die Steigung einer Sekante durch die beiden Punkte $(a|f(a))$ sowie $(b|f(b))$ ist gegeben durch

    $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

    Nach dem Mittelwertsatz gibt es mindestens eine Stelle $x_0\in I$, so dass die Steigung der Tangente an dieser Stelle gerade die Steigung der obigen Sekante ist.

    Das heißt $f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

  • Ermittle alle Stellen mit Steigung $m$.

    Tipps

    Das gesuchte $x_0$ kann auch am Rand des Intervalls liegen.

    Die Ableitung der obigen Funktion ist gegeben durch

    $f'(x)=3x^2+6x$.

    Für das Intervall $I=[-1;1]$ ist die Gleichung $3x^2+6x=m$ zu lösen.

    Rechne zunächst $-m$ und verwende dann die p-q-Formel.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollen sowohl der Satz von Rolle als auch der Mittelwertsatz angewendet werden.

    Die Aussage dieser Sätze wird im Mathematikunterricht meist stillschweigend angenommen, ohne die Stetigkeit und Differenzierbarkeit explizit zu thematisieren.

    Die Ableitung von $f(x)=x^3-3x^2+4$ ist $f'(x)=3x^2-6x$.

    Untersuchen wir zunächst das Intervall $I=[-1;2]$:

    Hier sind beide Funktionswerte identisch: $f(x)=0$. Also gilt der Satz von Rolle. Es muss mindestens eine Stelle auf dem Intervall geben, an welcher die erste Ableitung gleich $0$ ist. Dies führt zu der Gleichung:

    $\begin{array}{rclll} 3x^2-6x&=&0&|&\text{ Ausklammern}\\ 3x(x-2)&=&0\\ x_1&=&0\\ x_2&=&2 \end{array}$

    Hier gibt es also zwei Stellen, an denen die Ableitung $0$ ist.

    Untersuchen wir nun das Intervall $I=[-1;1]$:

    Es gilt $f(-1)=0$ und $f(1)=2$. Somit ist $m=\frac{2-0}{1-(-1)}=\frac22=1$. Nun kann der Mittelwertsatz angewendet werden. Die Gleichung $3x^2-6x=1$ ist zu lösen:

    $\begin{array}{rclll} 3x^2-6x&=&1&|&-1\\ 3x^2-6x-1&=&0&|&:3\\ x^2-2x-\frac13&=&0&|&\text{ p-q-Formel}\\ x_{1,2}&=&1\pm\sqrt{1+\frac13}\\ &=&1\pm\sqrt{\frac43}\\ &=&1\pm\frac{2}{\sqrt 3} \end{array}$

    Auch hier liegen zwei solche Stellen vor: $x_{1,2}=1\pm\frac{2}{\sqrt 3}$.

  • Bestimme die Stelle, an welcher die Steigung der Tangente $0$ ist.

    Tipps

    In diesem Beispiel ist $f$ sogar differenzierbar auf dem abgeschlossenen Intervall $I$.

    Du kannst die gesuchte Stelle an dem obigen Bild erkennen.

    Du leitest Potenzfunktionen mit der hier abgebildeten Potenzregel ab.

    Lösung

    In diesem Bild ist die Situation des Satzes von Rolle zu sehen. Es ist $I=[0;4]$.

    Schauen wir uns die Voraussetzungen an:

    • $f(0)=f(4)=2$ $\surd$
    • $f$ ist sicher stetig und differenzierbar auf $I$.
    Dann muss mindestens ein $x_0$ in diesem Intervall existieren, so dass $f'(x_0)=0$ ist.

    Wir benötigen also die erste Ableitung von $f(x)$: $f'(x)=2x-4$. Wir setzen die erste Ableitung gleich $0$ und lösen nach $x$ auf:

    $\begin{array}{rclll} 2x-4&=&0&|&+4\\ 2x&=&4&|&:2\\ x&=&2 \end{array}$

    Dies ist die gesuchte Stelle, die auch tatsächlich in dem vorgegebenen Intervall liegt.

  • Prüfe, ob die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes gegeben sind.

    Tipps

    Hier siehst du die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes:

    • $I=[a;b]$
    • $f$ ist stetig auf $I=[a;b]$.
    • $f$ ist differenzierbar auf dem offenen Intervall $(a;b)$.

    Beachte, dass $f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ sein soll.

    Dafür muss die Funktion an dieser Stelle sicher differnzierbar sein.

    Ist eine Funktion an einer Stelle nicht stetig, so ist sie dort sicher nicht differenzierbar.

    Eine Tangente ist an einer solchen Stelle nicht eindeutig.

    Lösung

    Hier ist eine Funktion mit einer Sprungstelle zu sehen.

    Das bedeutet, dass die Funktion an dieser Stelle nicht stetig und somit sicher auch nicht differenzierbar sein kann.

    Die Sekante durch die beiden Punkte $(0,8|f(0,8))$ sowie $(4|f(4))$ ist hier eingezeichnet. Nun gilt es, die Sekante so zu verschieben, dass sie in einem Punkte den Graphen der Funktion als Tangente berührt.

    Einen solchen Punkt gibt es aufgrund der Sprungstelle nicht. Der Mittelwertsatz kann hier nicht angewendet werden.

    Die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes sind also zwingend. Lässt man eine Bedingung weg, so muss der Satz nicht mehr gelten.