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Mittelwertsatz

stetige Funktionen, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Satz von Rolle

Der Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz ist ein Satz der Differentialrechnung, welche sich mit den Ableitungen von Funktionen befasst. Der Mittelwertsatz dient dazu Punkte auf einer Funktion mit einer bestimmten Steigung zu finden. Er gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen. Werden diese nicht erfüllt, kannst du Gegenbeispiele finden, in welchen die Aussage des Mittelwertsatzes nicht zu treffen.

Die Voraussetzungen

Betrachtet wird eine Funktion $f$ sowie der Graph dieser Funktion $G_{f}$ auf dem Intervall $[a;b]$ mit $a\neq b$. Es muss gelten:

  • Die Funktion $f$ ist stetig auf dem abgeschlossenen Intervall $[a;b]$.
  • Weiter muss $f$ differenzierbar auf dem offenen Intervall $(a;b)$ sein.

Die Aussage

Unter den obigen Voraussetzungen gilt dann: Es existiert mindestens ein $x_{0}\in(a;b)$ mit

$f'\left(x_{0}\right)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Der Mittelwertsatz anschaulich

Was bedeutet diese Aussage anschaulich? Schau dir das folgende Bild an:

1061_Mittelwertsatz.jpg

  • Wenn du die Punkte $P(a|f(a))$ sowie $Q(b|f(b))$ miteinander verbindest, erhältst du eine Sekante. Dies ist eine Gerade, welche den Graphen $G_{f}$ schneidet. Die Steigung der Sekante ist $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
  • Verschiebst du nun diese Sekante parallel, so berührt die parallel verschobene Gerade irgend wann $G_{f}$. Du erhältst also eine Tangente. Die Steigung der Tangente ist $f'\left(x_{0}\right)$.
  • Da die Tangente durch Parallelverschiebung aus der Sekante hervorgeht, haben die beiden Geraden die gleiche Steigung.

So erhältst du die obige Aussage des Mittelwertsatzes

Eine Beispiel für die Verletzung einer Voraussetzungen.

Wenn zum Beispiel die Funktion $f$ nicht auf dem gesamten Intervall $[a;b]$ stetig ist, kannst du folgendes beobachten. Hier siehst du einen Funktionsgraphen $G_{f}$ einer nicht stetigen Funktion $f$. Der Funktionsgraph hat eine Sprungstelle.

19711_5.jpg

Du kannst erkennen, dass die Steigung $f'(x_0)=0$ ist. Diese ist jedoch nicht die Steigung der parallel verschobenen Sekante.

Der Satz von Rolle

Der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes. Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie beim Mittelwertsatz. Zusätzlich wird noch verlangt, dass die Funktionswerte an den Intervallrändern übereinstimmen, also $f(a)=f(b)$. Daraus folgt, dass die resultierende Sekante eine zur $x$-Achse parallele Gerade ist und damit die Steigung $0$ hat.

Die Aussage

Unter den obigen Vorraussetzungen gilt: Es existiert mindestens ein $x_{0}\in(a;b)$ mit $f'\left(x_{0}\right)=0$.

Der Satz von Rolle anschaulich

Auch hierzu schaue dir zunächst das folgende Bild an:

1061_Satz_von_Rolle.jpg

  • Wie bereits festgestellt, hat die Sekante durch die Punkte $P(a|f(a))$ sowie $Q(b|f(b))$ die Steigung $0$.
  • Die durch Parallelverschiebung entstandene Tangente hat dann ebenfalls die Steigung $0$.

Was ist so wichtig an dem Satz von Rolle?

Eine Stelle mit der Steigung $0$ ist eine mögliche Extremstelle. Wie du an dem obigen Bild erkennen kannst, liegt in diesem Beispiel auch tatsächlich eine Extremstelle vor. Die Aussage des Satzes von Rolle kannst du zum Beispiel im Zusammenhang mit Extremwertaufgaben verwenden.