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Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (1)

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Mathe-Team
Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (1)
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logistisches Wachstum – Rekursive Darstellung (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie sich das Gerücht auf der Insel verbreitet.

    Tipps

    Es können nicht mehr Menschen das Gerücht erfahren, als sich auf der Insel befinden.

    Je mehr Menschen das Gerücht kennen, umso weniger können es noch erfahren.

    Lösung

    Am Anfang kennen nur die $3$ Jungen das Gerücht, also $f(0)=3$. Sie erzählen es weiter: Dabei kann jeder der $3$ Jungen das Gerücht einem der anderen $5000-3=4997$ Inselbewohner erzählen. Er wird aber nicht jeden antreffen. Deshalb wird die Anzahl $3\cdot (5000-3)$ mit einem Faktor kleiner als $1$ multipliziert. Nach einem Tag kennen also die $3$ Jungen und diejenigen Personen das Gerücht, die sie getroffen haben und denen sie das Gerücht erzählt haben. Nun können alle, die das Gerücht kennen, dieses weiterverbreiten.

    • Zum einen können zwar mehrere Inselbewohner das Gerücht verbreiten,
    • zum andern gibt es aber auch immer weniger Inselbewohner, die es noch nicht kennen.
    Es liegt also weder lineares noch exponentielles Wachstum vor. Diese beiden Wachstumsarten sind unbegrenzt.

    Da sich auf der Insel aber nur $5000$ Menschen befinden, ist das Wachstum für das Gerücht begrenzt. Man nennt ein solches Wachstum logistisch.

    Das Gerücht hat sich nach $14$ Tagen auf der gesamten Insel verbreitet, wenn wir einen Wachstumsfaktor von $k=0,002$ annehmen.

  • Gib die rekursive Vorschrift für die Verbreitung des Gerüchts an.

    Tipps

    Zum Zeitpunkt $t$ kennen $f(t)$ Inselbewohner das Gerücht. Zum Zeitpunkt $t+1$ müssen mehr als $f(t)$ Personen das Gerücht kennen.

    Mehr als die Anzahl der Inselbewohner können das Gerücht nicht erfahren. Es ist $S=5000$.

    Der Verlauf des logistischen Wachstums

    • ist zunächst langsam und dann immer schneller steigend. Dies entspricht exponentiellem Wachstum.
    • Dann verlangsamt sich die Steigung.
    • Irgendwann bleibt die Zahl gleich. Dies ist die obere Grenze.

    Die Änderungsrate entspricht gerade der Differenz $f(t+1)-f(t)$.

    Lösung

    Das logistische Wachstum ist häufig anzutreffen.

    Sei $t$ die Anzahl der Tage und $f(t)$ die Anzahl derer, die das Gerücht kennen. Die Anzahl der Inselbewohner ist die obere Schranke $S=5000$.

    Damit ist zum Zeitpunkt $t$ $5000-f(t)$ die Anzahl derer, die das Gerücht noch nicht kennen.

    Nun können die, die das Gerücht kennen, diejenigen treffen, die das Gerücht noch nicht kennen. Es kann also zu $f(t)\cdot (S-f(t))$ Begegnungen kommen. Da nicht jede Begegnung stattfinden wird und auch nicht immer das Gerücht ausgetauscht wird, wird diese Zahl mit einem Faktor kleiner als $1$ multipliziert. Wir können zum Beispiel $k=0,0002$ wählen. Dieser Faktor heißt Proportionalitätsfaktor.

    Damit kann die rekursive Formel angegeben werden:

    $f(t+1)=f(t)+0,0002\cdot f(t) \cdot (5000-f(t))$.

    Zu den $f(t)$ Personen, die das Gerücht zum Zeitpunkt $t$ kennen, kommen die Personen aus der Änderungsrate $0,0002\cdot f(t) \cdot (5000-f(t))$ hinzu.

  • Entscheide anhand des Verlaufs, welche Wachstumsart vorliegt.

    Tipps

    Beim logistischen Wachstum:

    • gibt es eine obere Schranke,
    • am Anfang steigt der Graph langsam,
    • dann schneller,
    • dann wieder langsamer und
    • ändert sich schließlich nicht mehr.

    Lineares und exponentielles Wachstum sind jeweils unbegrenzt.

    Das logistische Wachstum hat einen charakteristischen S-förmigen Verlauf.

    Lösung

    Der einzige Graph, welcher logistisches Wachstum zeigt, ist der Violette.

    • Bei dem Grünen handelt es sich um exponentielles Wachstum. Dessen Verhalten entspricht zu Beginn dem des logistischen Wachstums, jedoch ist exponentielles Wachstum nicht begrenzt.
    • Der rote Graph ist ein Ast einer quadratischen Funktion.
    • Bei dem blauen Graphen handelt es sich um eine stückweise definierte lineare Funktion.

  • Berechne die Anzahl der Seerosen zu den Zeiten $t=0$ bis $t=5$.

    Tipps

    Den Anfangswert kannst du der Tabelle entnehmen. Es ist $S=10000$.

    Es gilt $f(1)=f(0)+0,000045\cdot f(0)\cdot (10000-f(0))$.

    Lösung

    Die Anzahl $f(t+1)$ der Seerosen zum Zeitpunkt $t+1$ kann durch den Ausdruck $f(t)+0,000045\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$ beschrieben werden.

    Der Startwert ist gegeben durch $f(0)=570$.

    Damit ist

    • $f(1)=570+0,000045\cdot 570\cdot 9430=811,8795\approx 812$
    • $f(2)=812+0,000045\cdot 812\cdot 9188=1147,72...\approx 1148$
    • $f(3)=1148+0,000045\cdot 1148\cdot 8852\approx 1605$
    • $f(4)=1605+0,000045\cdot 1605\cdot 8395\approx 2211$
    • $f(5)=2211+0,000045\cdot 2211\cdot 7789\approx 2986$.
    Die komplette Tabelle ist in dem Bild zu erkennen.

  • Erkläre die verschiedenen Wachstumsarten.

    Tipps

    Der Verlauf des linearen Wachstums lässt sich durch eine Gerade beschreiben. Die Steigung der Geraden ist überall gleich.

    $f(x)=2^x$ ist zum Beispiel eine Exponentialfunktion.

    Sie beschreibt den Verlauf von exponentiellem Wachstum.

    Es gilt $2^{n+1}=2\cdot 2^n$.

    Lösung

    Beim linearen Wachstum nehmen in gleichen Zeitspannen die Werte um den gleichen Summanden zu. Die rekursive Schreibweise lautet:

    $f(t+1)=f(t)+m$.

    Bei exponentiellem Wachstum werden in gleichen Zeitspannen die Werte mit dem gleichen Faktor $q$ multipliziert. Die rekursive Darstellung ist gegeben durch:

    $f(t+1)=q\cdot f(t)$.

    Der Verlauf des logistischen Wachstums

    • ist zunächst langsam und dann immer schneller steigend. Dies entspricht exponentiellem Wachstum.
    • Dann verlangsamt sich die Steigung.
    • Irgendwann bleibt die Zahl gleich. Dies ist die obere Grenze.
    Die rekursive Darstellung ist gegeben durch:

    $f(t+1)=k\cdot f(t)\cdot (S-f(t))$.

  • Prüfe, wie lange es dauert, bis der See zu $90~\%$ mit Seerosen bedeckt ist.

    Tipps

    Wenn der See zu $90~\%$ mit Seerosen bedeckt ist, befinden sich $9000$ Seerosen auf dem See.

    Es gibt eine Wochenzahl, in welcher die Zahl noch unter $90~\%$ ist und eine, in welcher die Zahl darüber ist.

    Nach $3$ Wochen ist der See zu $61~\%$ mit Seerosen bedeckt.

    Es ist $f(0)=3000$ und $S=10000$.

    Lösung

    Da $f(0)=3000$ ist, gilt

    • $f(1)=3000+0,000045\cdot 3000\cdot 7000=3945$
    • $f(2)=3945+0,000045\cdot 3945\cdot 6055\approx 5020$
    • $f(3)=5020+0,000045\cdot 5020\cdot 4980\approx6145$
    • $f(4)=6145+0,000045\cdot 6145\cdot 3855\approx7211$
    • $f(5)=7211+0,000045\cdot 7211\cdot 2789\approx8116$
    • $f(6)=8116+0,000045\cdot 8116\cdot 1884\approx8804$
    • $f(7)=8804+0,000045\cdot 8804\cdot 1196\approx9278$.
    Nach $6$ Wochen ist der See zu $88~\%$ mit Seerosen bedeckt und nach $7$ Wochen zu $93~\%$.

    Das bedeutet, dass der See zwischen der sechsten und siebten Woche zu $90~\%$ mit Seerosen bedeckt ist.

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