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Logistisches Wachstum

Das Wachstum eines Bestandes ist oftmals beschränkt, zum Beispiel durch eine zur Verfügung stehende Fläche oder durch begrenzte Nahrung. Dabei kommt es zu einem charakteristischen S-förmigen Verlauf, wenn der Bestand grafisch dargestellt wird.

Was ist logistisches Wachstum?

Der Begriff logistisches Wachstum geht auf den belgischen Mathematiker Pierre-François Verhulst (1804-1849) zurück.

logistisches Wachstum

Er entwickelte das Modell am Beispiel des Bevölkerungswachstums. Dieses Modell veröffentlichte er 1845. Dabei ging er von einer obere Schranke aus und von einer Änderungsrate vom Zeitpunkt $t$ zum Zeitpunkt $t+1$. Stell dir eine Bakterienkultur in einem Glas vor. Diese wird exponentiell wachsen, aber irgendwann ist kein Platz mehr zur Ausbreitung im Glas vorhanden. Also ist das Wachstum beschränkt mit einer oberen Schranke.

Die logistische Wachstumsfunktion wird allgemein mit folgender Gleichung ausgedrückt:

$ a(t)=\frac{A_{0} \cdot S}{A_{0}+(S-A_{0})\cdot e^{-Skt}} $

Wobei in der Gleichung die Variable folgende Bedeutungen haben:

  • Zeit $t $
  • Wachstumskonstante $k$
  • die obere Schranke der Bestandsgröße $S$ (auch $G$ für Grenzbestand)
  • der Anfangsbestand $A_{0} $ ( zum Zeitpunkt $t=0$)
  • die Bestandsgröße $a(t) ^{=}$ (zum Zeitpunkt $t$)

Rekursive Darstellung von logistischen Wachstums

Eine Seerosenkultur verbreitet sich auf einem See. Der See hat eine Gesamtfläche von $5000~\text{m}^2$. An diesem Beispiel zum logistischen Wachstum kannst du nun die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten sehen.

Seerose.jpg

Zu Beginn der Beobachtung bedecken die Seerosen $A(0)=3~\text{m}^2$ des Sees. Die Fläche $A(t)$ (in $\text{m}^2$), welche nach $t$ Wochen von Seerosen bedeckt wird, kann durch die folgende rekursive Darstellung des logistischen Wachstums beschrieben werden: $A(t+1)=A(t)+k\cdot A(t)\cdot (S-A(t))$

Dabei ist

  • $k=0,0002$ ein Proportionalitätsfaktor und
  • $S=5000~\text{m}^2$ die obere Schranke.

Tabellarische Darstellung von logistischen Wachstums

Berechne fortlaufend die bedeckte Fläche nach $t$ Wochen:

  • $A(0)=3~\text{m}^2$
  • $A(1)=A(0)+0,0002\cdot A(0)\cdot (5000~\text{m}^2-A(0))$
  • Setze den bereits bekannten Wert $A(0)=3~\text{m}^2$ ein. So erhältst du $A(1)=3~\text{m}^2+0,0002\cdot 3~\text{m}^2\cdot (5000~\text{m}^2-3~\text{m}^2)\approx 6~\text{m}^2$
  • Ab hier setzt du den gerundeten Wert in die folgenden Berechnungen ein.
  • $A(2)=6~\text{m}^2+0,0002\cdot 6~\text{m}^2\cdot (5000~\text{m}^2-6~\text{m}^2)\approx 12~\text{m}^2$
  • $A(3)=12~\text{m}^2+0,0002\cdot 12~\text{m}^2\cdot (5000~\text{m}^2-12~\text{m}^2)\approx24~\text{m}^2$
  • $A(4)=24~\text{m}^2+0,0002\cdot 24~\text{m}^2\cdot (5000~\text{m}^2-24~\text{m}^2)\approx 48~\text{m}^2$

So kannst du fortfahren. Du kannst dann die folgende Tabelle erstellen:

1005_log.Wachstum_Seerose_Tabelle.jpg

Graphische Darstellung von logistischen Wachstums

Übertrage nun diese Werte in ein Koordinatensystem.

1005_log.Wachstum_Seerose_Grafik.jpg

Du kannst hier den charakteristischen S-förmigen Verlauf erkennen. Nach einem anfänglichen exponentiellen Wachstum scheinen die Werte linear anzusteigen. Schließlich stagniert das Wachstum und ist nach oben begrenzt durch die obere Schranke $S=5000~\text{m}^2$.

Anwendungsbeispiel: Die Verbreitung eines Gerüchtes

Auf einem Kreuzfahrtschiff befinden sich $1300$ ($S$)Menschen.

Zu Beginn der Beobachtung ($t=0$) kennen $20$ Personen ($A_{0} $) ein Gerücht. Jede dieser Personen wird dieses Gerücht am folgenden Tag einigen weiteren Personen mitteilen. So geht dies weiter, bis alle Personen das Gerücht kennen.

  • Am Anfang wächst die Zahl der Personen, die das Gerücht erfahren, sehr schnell an.
  • Die Zahl der Personen, die das Gerücht noch nicht kennen wird kleiner.
  • Dadurch kann die Zahl der Personen, die das Gerücht erfahren, nicht dauerhaft so schnell ansteigen wie am Anfang.
  • Es wird immer schwieriger, Personen zu finden, die das Gerücht noch nicht kennen.
  • Die obere Schranke ist die Gesamtzahl der Personen, welche sich auf dem Kreuzfahrtschiff befinden. Diese Schranke kann sicherlich nicht überschritten werden.

Du kannst diesen Zusammenhang in einem Koordinatensystem darstellen. Dabei wird auf der vertikalen Achse die Anzahl der Personen abgetragen, die das Gerücht kennen. Auf der horizontalen Achse wird die Anzahl der Tage abgetragen.

1005_log.Wachstum_Gerücht.jpg

Der s-förmige Verlauf des Graphen ist charakteristisch für logistisches Wachstum.

  • Zu Beginn steigt der Graph exponentiell an.
  • Dann wird das Wachstum immer langsamer.
  • Schließlich stagniert das Wachstum.
  • Die obere Schranke wird nicht überschritten.