Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen

Hallo! In diesem Video geht´s um quadratische Gleichungen, und zwar wollen wir klären, was die Diskriminante ist, wie man die Anzahl der Lösungen herausbekommt und dann rechnen wir noch eine Aufgabe mit Parameter. Das ist unsere allgemeine Gleichung und das ist unsere Lösungsformel. Und wir wollen jetzt mal wissen, woran man eigentlich sieht, wie viele Lösung die Gleichung nun eigentlich hat. Dazu nehmen wir mal diese Gleichung hier als Beispiel, da können wir gleich noch mal üben, wie man die Formel anwendet. Da haben wir also x1,2=, das p ist die Zahl vor dem x, also -10, davon nehmen wir die Hälfte, aber mit dem anderen Vorzeichen, also 5, und dann ±\sqrt, dann die Hälfte von p zum Quadrat, also (-5)²-q, und q=21. Das ist dann also: 5±\sqrt(25-21), also steht unter der Wurzel eine 4, also haben wir 5±2. Dann ist also x1=3 und x2=7. Ich schreibe immer die Lösung mit dem Minus zuerst, also die Kleinere. Diese Gleichung hat also offensichtlich 2 Lösungen, und das liegt daran, dass der Term hier unter der Wurzel echt größer als 0 ist. Und diese Zahl, die da unter der Wurzel steht, heißt Diskriminante der Gleichung. Also allgemein ist die Diskriminante (p/2)²-q, und speziell bei dieser Gleichung wär´s zum Beispiel 4. Wir halten also fest: Ist die Diskriminante (p/2)²-q>0, so hat die quadratische Gleichung x²+px+q=0 zwei Lösungen. So, jetzt schauen wir uns mal die Gleichung x²+3x+9/4=0 an. Wir starten wieder x1,2=, diesmal ist p +3, also schreib ich hier -(3/2)±\sqrt, so, und jetzt könnt ihr euch als kleinen Hinweis merken, ihr nehmt einfach die Zahl, die ihr vorne rausbekommen habt, zum Quadrat. Das ist zwar nicht (p/2)² dann, sondern -(p/2)², aber die Zahl, die rauskommt ist ja die Gleiche. Also einfach die Zahl, die vor dem ± steht, quadrieren und vorne in die Wurzel schreiben. Das ist hier 9/4, und dann -q, und q ist auch 9/4. Da haben wir also -(3/2)±\sqrt0, und das ist einfach -(3/2). Also haben wir in diesem Fall genau 1 Lösung, nämlich -(3/2). Und das liegt daran, dass der Term unter der Wurzel, also die Diskriminante, gleich 0 ist, denn dann ergibt sich ja ±0. Ist also die Diskriminante (p/2)²-q=0, so hat die quadratische Gleichung x²+px+q=0 genau die 1 Lösung x=-(p/2). Unser nächstes Beispiel ist x²-4x+9=0. Wir starten natürlich mit x1,2=, p=-4, dann ist also die Hälfte mit dem anderen Vorzeichen 2, ±\sqrt, dann wird die 2 quadriert, das ergibt 4, und dann noch -9. Das ist also 2±\sqrt-5. Tja, und da das natürlich nicht definiert ist, gibt es in diesem Fall keine Lösung. Zumindest nicht in den Zahlbereichen, die wir kennen. In diesem Fall sehen wir, dass die Diskriminante echt kleiner ist als 0, und dann gibt es eben keine Lösung. Ist also die Diskriminante (p/2)²-q<0, so hat die quadratische Gleichung x²+px+q=0 keine Lösung. Jetzt möchte ich was zur Produktform einer quadratischen Gleichung sagen. Eine Produktform sieht zum Beispiel so aus. In diesem Fall braucht man die Gleichung nicht noch in die Normalform umzuformen, denn man kann sofort ablesen, für welche x-Werte die Gleichung gleich 0 ist. Das Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird, und der 1. Faktor wird eben 0, wenn x=3 ist, und der 2. wird 0, wenn x=-5 ist. In dieser Darstellung kriegt man die Lösungen also quasi geschenkt. Ok, und zum Schluss rechnen wir noch eine Aufgabe mit Parameter. x²-Tx+3+T=0 Wir haben also hier den Parameter T in der Gleichung, und die Frage ist, für welche Werte von T gibt es genau 1 Lösung für x. Also, wir haben ja gesehen, dass es unterschiedlich viele Lösungen geben kann, und dass das von p und q abhängt, und da p und q hier beide von dem Parameter T abhängen, kann man also in Abhängigkeit von T rausfinden, wann es genau 1 Lösung für x gibt. Am besten fängt man einfach an, loszurechnen. Vor dem x steht -T, davon nehm ich die Hälfte mit dem anderen Vorzeichen, also (1/2)T±\sqrt, jetzt nehm ich das hier vorne zum Quadrat, also ((1/4)T)², und dann -q, also minus diese Summe hier. Und jetzt wissen wir, es gibt genau dann 1 Lösung für x, wenn die Diskriminante gleich 0 ist. Wenn also dieser Term, der unter der Wurzel steht, gleich 0 ist. Wenn die Wurzel dann wirklich 0 ist, dann wäre die eine Lösung für x vorne, (1/2)T. Und um rauszufinden, wann die Wurzel 0 ist, müssen wir diese quadratische Gleichung in T lösen. Da lösen wir erst mal die Minusklammer auf. Dann haben wir also -T-3, und dann müssen wir noch mit 4 multiplizieren, dann kriegen wir T²-4T-12=0. Ok, jetzt wenden wir die pq-Formel für T an. Minus die Hälfte von -4 ist 2, ±\sqrt, 2²=4, -(-12), das ist +12, und 4+12=16, \sqrt16=4. Das heißt, T1=-1 und T2=6. Für diese Werte von T wird also die Diskriminante gleich 0, hat also x nur 1 Lösung. Und was ist die Lösung jeweils? Wenn T=-2, dann sehen wir aus der Formel links, dass die Lösung x=-1, und für T=6 haben wir x=3. Aber eigentlich wollten wir ja nur die Werte von T wissen, und das sind diese beiden. Ok, jetzt haben wir so oft die pq-Formel angewandt, ich denke, die kennt ihr jetzt im Schlaf, und dann war´s das erst mal zur quadratischen Gleichung. Bis bald.