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Lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen

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Team Digital
Lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, lineare Gleichungssysteme mithilfe des Einsetzungsverfahrens zu lösen.

Zunächst lernst du, wie du dir eine Lösung eines linearen Gleichungssystem anschaulich vorstellen kannst. Anschließend lernst du, wie du lineare Gleichungssysteme mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens lösen kannst. Abschließend lernst du, wie du lineare Gleichungssysteme mithilfe des Einsetzungsverfahren lösen kannst.

Lerne etwas über das Lösen linearer Gleichungssysteme.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie lineares Gleichungssystem, Einsetzungesverfahren und Substitutionsverfahren.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du Gleichungen mit einer unbekannten löst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Methoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen zu lernen. ...

Transkript Lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen

Ah, ein weiterer, friedlicher Morgen in Mystheim. Hey, Waldemar. Raus aus den Federn! Deine wertvolle Streitaxt ist verschwunden. Das war wohl dieser Tunichtgut von einem Dieb, der böse Björn. Und er macht sich gerade aus dem Staub. Waldemar bemannt sein schnellstes Schiff mit seinen besten Leuten und macht sich auf die Jagd nach Björn. Aber wird er ihn rechtzeitig fangen können? Helfen wir Waldemar, seine Axt zurückzubekommen, indem wir lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Diese Gerade hier beschreibt, wie Björn auf dem Ozean vorankommt. Sie hat die Gleichung y = 15x + 40. Aber was ist das? Waldemars Schiff holt auf. Sein Vorankommen wird durch die Gleichung y = 20x beschrieben. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist die Lösung dieses Gleichungssystems und verrät uns, wann Waldemar Björn endlich einholen wird. Es ist natürlich eine sehr anschauliche Methode, die Lösung zeichnerisch zu ermitteln, aber doch auch recht zeitaufwendig, oder? Wir müssen nicht immer Geraden zeichnen, um einen Schnittpunkt zu ermitteln. Wir können ihn auch per Einsetzungsverfahren rechnerisch bestimmen. Das Einsetzungsverfahren nennt man auch Substitutionsverfahren. Wenn man das Einsetzungsverfahren bei einem Gleichungssystem verwenden will, muss eine der Gleichungen nach einer der Variablen aufgelöst sein. Die Lösung eines linearen Gleichungssystems muss außerdem für alle Gleichungen des Systems gelten. Das bedeutet, wir müssen einen x-Wert und einen y-Wert finden, die beide Gleichungen lösen. Zum Glück sind unsere Gleichungen bestens für das Einsetzungsverfahren geeignet. Hier sind sogar beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst. Da diese beiden Gleichungen nach y aufgelöst sind, verwenden wir ein spezielles Verfahren, nämlich das Gleichsetzungsverfahren. Schauen wir uns die zweite Gleichung an: y = 20x. Dank dieser Gleichung können wir für das y in der ersten Gleichung den Term 20x einsetzen. So erhalten wir 20x = 15x + 40. Dieses Verfahren ist ein Spezialfall des Einsetzungsverfahrens, nämlich das Gleichsetzungsverfahren. Jetzt haben wir nur noch eine Unbekannte. Und solche Gleichungen haben wir ja schon früher gelöst. Als Erstes muss man alle Terme mit Variablen auf eine Seite bringen. Dazu subtrahieren wir von beiden Seiten der Gleichung 15x. So erhalten wir 5x ist gleich 40. Jetzt lösen wir nach x auf. Wie stellen wir das an? Wir teilen beide Seiten durch 5. Dann erhalten wir x = 8. So weit, so gut, aber noch sind wir nicht fertig. Wir müssen noch den y-Wert finden. Dazu setzen wir einfach unseren x-Wert in die zweite der beiden ursprünglichen Gleichungen ein. Wir multiplizieren 20 mit 8 und erhalten y = 160. Die Lösung für dieses Gleichungssystem lautet also x = 8 und y = 160. Eine tolle Sache an der Algebra ist, dass wir unsere Ergebnisse immer überprüfen können. Für die Gegenprobe setzen wir einfach unseren x- und unseren y-Wert in die erste der beiden ursprünglichen Gleichungen ein. Da wir unser Ergebnis ja überprüfen wollen, lautet die Frage: Ist 160 gleich 15 mal 8 plus 40? Wir erhalten 160 = 160. Super! Unsere Lösung ist korrekt! Die Lösung können wir auch als Punkt (8|160) schreiben. Und das scheint auch dem Punkt in unserem Graphen zu entsprechen. Das passt ja hinten und vorne, toll! Schauen wir uns ein anderes lineares Gleichungssystem an. Wieder wollen wir die Lösung finden. Also einen x-Wert und einen y-Wert, die für beide Gleichungen gelten. Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, ist es schön, wenn die Gleichungen schon nach einer Variablen aufgelöst sind. Hier ist das aber nicht der Fall. Was tun wir also? Wir können frei wählen, nach welcher Variablen von welcher Gleichung wir auflösen wollen. Das liegt ganz bei dir. Am besten wählt man die Variable, nach der man am einfachsten auflösen kann. Da das x in der ersten Gleichung den Koeffizienten 1 hat, ist es am leichtesten zu isolieren. Dazu müssen wir nur 5y zu beiden Seiten addieren. So erhalten wir x = -3 + 5y. Diesen Ausdruck können wir für das x der zweiten Gleichung einsetzen. Du siehst, dass wir jetzt nur noch y-Variablen haben. Als Erstes vereinfachen wir beide Seiten. Wir können mit dem Distributivgesetz die Klammern auflösen und dann gleichartige Terme zusammenfassen. Nun lösen wir nach y auf, indem wir von beiden Seiten 24 subtrahieren. Dann teilen wir beide Seiten durch -37. y ist also gleich 0. Und weiter! Wir müssen noch immer nach x auflösen. Dazu können wir den Wert von y einfach in die schon umgeformte Gleichung einsetzen. Wir erhalten x = -3. Nun nutzen wir die zweite Gleichung, um zu überprüfen, ob die Lösung x = -3 und y = 0 für beide Gleichungen gilt. Schön, beide Seiten ergeben dieselbe Zahl. Also können wir beruhigt unsere Lösung als den Punkt (-3|0) angeben. Aufgabe gelöst - und das ganz ohne Zeichnerei. Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, führst du also die folgenden Schritte aus: Zuerst isolierst du eine Variable. Dann setzt du diesen Ausdruck ein und löst nach der übrig bleibenden Variablen auf. Dann setzt du den Wert dieser Variablen in die andere Gleichung ein und löst nach der übrigen Variablen auf. Denk dran: Du kannst deine Lösung überprüfen, indem du sie in die Gleichung einsetzt, die du nicht verwendet hast. Zum Schluss schreibst du die Lösung als Punkt auf. Schauen wir mal, wie Waldemar mit seiner Jagd nach der gestohlenen Axt vorankommt. Sieht so aus, als ob der böse Björn jetzt eine Abreibung bekommt. Vielleicht war die Streitaxt aber auch nur Angeberei.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Ja, wenn du rechts klick auf das video gehst und auf video speichern klickst

    Von Seradella, vor 3 Monaten
  2. kann man das video irgendwie speichern?

    Von Betimesely32, vor 7 Monaten
  3. Hallo User0071305,

    ich habe die Übung gerade geöffnet und es stehen zwei 8 zur Auswahl. Vielleicht musst du den Schieberegler verwenden, um weitere Auswahlmöglichkeiten zu sehen?
    Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 8 Monaten
  4. Bei der ersten Übung, muss man 2 mal eine 8 einsetzen, aber es ist nur eine zur Auswahl da.

    Von User0071305, vor 8 Monaten
  5. Schön dargestellt, aber langatmig erklärt.

    Von Gabi Dirk Dwenger, vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zum Einsetzungsverfahren.

    Tipps

    Beim Einsetzungsverfahren ersetzt du eine Variable in einer Gleichung mit einem Term, der diese Variable beschreibt und durch die andere Gleichung erhalten wird.

    Betrachte folgenden Schritt bei der Umstellung einer Gleichung nach der Variablen:

    $\begin{array}{llll} 8x &=& 48 & \vert :8 \end{array}$

    Hier teilst du nun beide Seiten der Gleichung durch $8$ und erhältst: $~x=6$.

    Du gibst einen Punkt im Koordinatensystem wie folgt an: $~(x\vert y)$.

    Lösung

    So kannst du den Text richtig vervollständigen:

    „Die Lösung des linearen Gleichungssystems entspricht dem Schnittpunkt der beiden Geraden, also dem Zeitpunkt, an dem sich Björn und Waldemar begegnen. Dieser Schnittpunkt kann rechnerisch mit dem Einsetzungsverfahren, auch Substitutionsverfahren genannt, bestimmt werden.“

    • Das Gleichungssystem heißt linear, da wir nur lineare Funktionen, also Geraden betrachten.
    „Damit wir das Einsetzungsverfahren anwenden können, muss eine Gleichung nach einer der Variablen aufgelöst sein. Die Lösung des linearen Gleichungssystems muss dann für alle Gleichungen des Systems gelten.“

    • Welche der Gleichungen nach welcher Variable aufgelöst wird, spielt dabei keine Rolle.
    „In unserem Fall sind beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst, daher können wir das Verfahren gleich anwenden, indem wir die zweite in die erste Gleichung einsetzen. Wir erhalten dann:

    $\begin{array}{llll} 20x &=&15x + 40 & \vert -15x \\ 5x &=& 40 & \vert :5 \end{array}$

    Damit erhält man: $x =8$“

    • Dieses Ergebnis erhältst du, indem du zuerst von beiden Seiten $15x$ subtrahierst und anschließend durch $5$ teilst.
    „Setzen wir diesen Wert in der zweiten Gleichung für $x$ ein, erhalten wir:

    $y =20\cdot 8=160$.“

    • Da $x=8$ gilt, erhalten wir durch Einsetzen $y=20\cdot 8=160$.
    „Somit ist die Lösung unseres linearen Gleichungssystems der Punkt $(8\ \vert\ 160)$ und genau der Punkt, an dem sich Björn und Waldemar begegnen.“

    • Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der gegebenen Geraden.
  • Gib die richtige Reihenfolge der Rechenschritte an.

    Tipps

    Zuerst muss eine Gleichung nach einer der Variablen umgestellt werden.

    Um die zweite Variable zu berechnen, muss der Wert für die erste Variable eingesetzt werden.

    Lösung

    In dieser Reihenfolge löst Waldemar das lineare Gleichungssystem:

    • Waldemar stellt die erste Gleichung nach $x$ um und erhält $x=5y-3$. Damit man das Einsetzungsverfahren anwenden kann, muss eine der Gleichungen nach einer Variablen umgestellt sein.
    • Nun setzt er den Term für $x$ in die zweite Gleichung ein und erhält:
    $\begin{array}{llllll} && -8(5y-3)+3y &=& 24 & \\ && -37y+24 &=& 24 & \vert -24 \\ && -37y &=& 0 & \vert :(-37) \\ && y &=& 0 & \end{array}$

    • Den errechneten $y$-Wert setzt er nun in die erste Gleichung ein. Er erhält:
    $\begin{array}{lllll} && x-5\cdot 0 &=& -3 \\ && x &=& -3 \end{array}$

    • Um zu überprüfen, ob die berechneten Werte stimmen, setzt Waldemar beide Werte in die zweite Gleichung ein. Er erhält:
    $\begin{array}{lllll} && -8\cdot (-3)+3\cdot 0 &=& 24 \\ && 24+0 &=& 24 \\ && 24 &=& 24 \end{array}$

    • Somit ist die Lösung des linearen Gleichungssystems der Punkt $(-3\ \vert\ 0)$. Wenn man einen Punkt in einem Koordinatensystem angeben möchte, so gibt man zuerst den $x$- und dann den $y$-Wert an: $~(x\ \vert\ y)$.
  • Ordne den linearen Gleichungssystemen die passenden Lösungen zu.

    Tipps

    Stelle zuerst eine der Gleichungen nach einer Variablen um. Zum Beispiel kannst du die Gleichung $x + y = 4$ nach $x$ oder $y$ umstellen. Stellst du sie nach $x$ um, so erhältst du:

    • $x=4-y$.

    Setze nun den Term für die Variable, also zum Beispiel $x=4-y$, in die jeweils andere Gleichung ein.

    Durch das Einsetzen erhältst du eine Gleichung mit nur einer Variablen. Stelle diese nach der Variablen um. So erhältst du einen Wert für die Variable, welchen du in eine der Gleichungen einsetzen und den Wert für die andere Variable bestimmen kannst. Die Lösung gibst du dann wie folgt an:

    • $(x\ \vert\ y)$.

    Lösung

    In allen nachfolgenden Rechnungen werden diese Schritte abgearbeitet:

    1. Umstellen: Eine Gleichung wird nach einer der Variablen umgestellt.
    2. Einsetzen: Das Ergebnis für die Variable wird in die zweite Gleichung, also die Gleichung, die noch nicht verwendet wurde, eingesetzt.
    3. Ausrechnen: Wir erhalten nun einen Wert für die Variable. Dieser Wert wird in die andere Gleichung eingesetzt, um den Wert für die zweite Variable zu berechnen.
    Gleichungssystem $1$

    $\begin{array}{crcll} \text{I} & x-y &=& 3 \\ \text{II} & x-2y &=& 1 \end{array}$

    $1$) Umstellen: Wir stellen die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten $\text{x}=3+\text{y}$.

    $2$) Einsetzen: Wir setzen nun $x$ in die zweite Gleichung ein. Wir erhalten dann:

    $\begin{array}{llll} 3+y-2y &=& 1& \\ 3-y &=& 1& \vert -3 \\ -y &=& -2 & \vert \cdot (-1) \\ y &=& 2 & \end{array}$

    $3$) Ausrechnen: Wir setzen den errechneten $y$-Wert in die erste Gleichung ein. Wir erhalten $x=5$. Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist somit der Punkt $(5\ \vert\ 2)$.

    Gleichungssystem $2$

    $\begin{array}{crcll} \text{I} & x+2y &=& 8 \\ \text{II} & x+y &=& 6 \end{array}$

    $1$) Umstellen: Wir stellen die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten $x=8-2y$.

    $2$) Einsetzen: Wir setzen $x$ in die zweite Gleichung ein und erhalten:

    $\begin{array}{llll} 8-2y+y &=& 6 & \\ 8-y &=& 6 & \vert -8 \\ -y &=& -2 & \vert \cdot (-1) \\ y &=& 2 & \end{array}$

    $3$) Ausrechnen: Wir setzen den $y$-Wert in die erste Gleichung ein und erhalten:

    $\begin{array}{llll} x+4 &=& 8 & \vert -4 \\ x &=& 4 & \end{array}$

    Das Ergebnis des linearen Gleichungssystems ist der Punkt $(4\ \vert\ 2)$.

    Gleichungssystem $3$

    $\begin{array}{crcll} \text{I} & 2x+y &=&16 \\ \text{II} & 5y-3 &=& x \end{array}$

    $1$) Umstellen: Die zweite Gleichung ist bereits nach $x$ umgestellt.

    $2$) Einsetzen: Wir setzen $x$ in die erste Gleichung ein und erhalten:

    $\begin{array}{llll} 2(5y-3)+y &=& 16 & \\ 10y-6+y &=& 16 & \\ 11y-6 &=& 16 & \vert +6 \\ 11y &=& 22 & \vert :11 \\ y &=& 2 & \end{array}$

    $3$) Ausrechnen: Wir setzen nun den errechneten $y$-Wert in die zweite Gleichung ein und erhalten:

    $\begin{array}{lll} x &=& 5\cdot{2}-3 \\ x &=& 10-3 \\ x &=& 7 \end{array}$

    Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist daher $(7\ \vert\ 2)$.

    Gleichungssystem $4$

    $\begin{array}{crcll} \text{I} & 2x-3 &=& y \\ \text{II} & 3x &=& y+9 \end{array}$

    $1$) Umstellen: Die erste Gleichung ist bereits nach $y$ umgestellt.

    $2$) Einsetzen: Wir setzen $y$ in die zweite Gleichung ein und erhalten:

    $\begin{array}{llll} 3x &=& 2x-3+9 & \vert -2x \\ x &=& 6 & \end{array}$

    $3$) Ausrechnen: Wir setzen den errechneten $x$-Wert in die erste Gleichung ein und erhalten $2\cdot{6}-3=9=y$.

    Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist somit $(6\ \vert\ 9)$.

  • Ermittle die fehlenden Werte.

    Tipps

    Löse die Gleichungssysteme, indem du zunächst eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen umstellst und diesen Term in die jeweils andere Gleichung einsetzt.

    Kennst du den Wert für einen der beiden Variablen eines Gleichungssystems, so setzt du diesen in eine der beiden Gleichungen ein, um den Wert für die andere Variable zu berechnen.

    Lösung

    Rosas Münzen

    Wir berechnen zuerst, wie viele Münzen Rosa bekommt. Hierzu betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

    $\begin{array}{clcr} \text{I} & x+2y &=& 10 \\ \text{II} & x+y &=& 8 \end{array}$

    Dieses lösen wir nun mithilfe des Einsetzungsverfahrens. Wir stellen hierzu die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten:

    $x = 10-2y$.

    Nun setzen wir $x$ in die zweite Gleichung ein:

    $\begin{array}{rcll} 10-2y + y &=& 8 & \\ 10-y &=& 8 & \vert -10 \\ -y &=& -2 & \vert \cdot (-1) \\ y &=& 2 & \end{array}$

    Setzen wir nun $y$ in die erste Gleichung ein, so erhalten wir:

    $\begin{array}{rcll} x + 4 &=& 10 \vert -4 \\ x &=& 6 & \end{array}$

    Rosa erhält also $6$ mal $1$€ Münzen und $2$ mal $2$€ Münzen.

    Jonas' Münzen

    Nun berechnen wir, welche Münzen Jonas bekommt. Hierzu betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

    $\begin{array}{clcr} \text{I} & a+2b &=& 8 \\ \text{II} & a+b &=& 6 \end{array}$

    Nun müssen wir noch die Lösung berechnen. Wir stellen zuerst die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten:

    $a=8-2b$.

    Nun setzen wir diesen Term in die zweite Gleichung ein und erhalten:

    $\begin{array}{rcll} 8-2b+b &=& 6 & \\ 8-b &=& 6 & \vert -8 \\ -b &=& -2 & \vert \cdot (-1) \\ b &=& 2 & \end{array}$

    Setzen wir $b$ nun in die erste Gleichung ein, so erhalten wir

    $\begin{array}{rcll} a+2\cdot 2 &=& 8 & \\ a+4 &=& 8 & \vert -4 \\ a &=& 4 & \\ \end{array}$

    Jonas bekommt also $4$ mal $1$€ Münzen und $2$ mal $2$€ Münzen.

  • Gib die richtige Reihenfolge der Schritte an.

    Tipps

    Stelle zuerst eine der Gleichungen nach einer der beiden Variablen um, zum Beispiel $x$.

    Kennst du bereits einen Wert für eine der beiden Variablen, so kannst du diesen in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um den Wert für die andere Variable zu erhalten.

    Lösung

    Möchtest du ein lineares Gleichungssystem lösen, so kannst du hierfür unterschiedliche Verfahren nutzen. Eines dieser Verfahren ist das Einsetzungsverfahren. Löst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten $x$ und $y$ mithilfe des Einsetzungsverfahrens, so gehst du wie folgt vor:

    1. Du stellst eine der Gleichungen nach einer Variablen, hier nach $x$, um.
    2. Nun setzt du den Term für diese Variable, hier $x$, in die noch nicht verwendete Gleichung ein.
    3. Durch Lösen der Gleichung erhältst du nun einen Wert für die andere Variable, hier $y$.
    4. Den berechneten Wert für die Variable, hier $y$-Wert, setzt du nun in eine der Gleichungen ein.
    5. Durch Lösen der Gleichung erhältst du nun den Wert für die zweite Variable, hier $x$.
    6. Um die Probe zu machen, setzt du nun die berechneten Werte in eine der Gleichungen ein.
  • Ermittle die Lösung des linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Zuerst musst du das lineare Gleichungssystem aufstellen. Lege hierzu Variablen für die Anzahl der Fische und Hähnchenschenkel fest.

    Die erste Gleichung erhältst du, indem du die Anzahl der Portionen benutzt.

    Die zweite Gleichung erhältst du, indem du die einzelnen Preise und die Gesamtausgabe verwendest.

    Lösung

    Wir stellen zuerst das lineare Gleichungssystem auf. Die erste Gleichung erhalten wir mit dem Wissen, dass die Summe der Anzahlen von Fischen und Hähnchenschenkeln $12$ ergibt. Die erste Gleichung lautet also:

    $\text{I}\quad x + y = 12$.

    Die zweite Gleichung erhalten wir, indem wir die Preise und die Gesamtsumme verwenden. Wir legen nun fest, dass die Variable $x$ für die Anzahl der Fische und die Variable $y$ für die Anzahl der Hähnchenschenkel steht. Damit erhalten wir folgende zweite Gleichung des gesuchten linearen Gleichungssystems:

    $\text{II}\quad x\cdot 0,99 + y\cdot 1,19 = 12,68$.

    Wir müssen also das folgende lineare Gleichungssystem lösen:

    $\begin{array}{crcl} \text{I} & x + y &=& 12 \\ \text{II} & x\cdot 0,99 + y\cdot 1,19 &=& 12,68 \end{array}$

    Wir stellen nun die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten $x=12-y$. Nun setzen wir den so erhaltenen Term für $x$ in die zweite Gleichung ein. Es folgt:

    $\begin{array}{rcll} 0,99\cdot \left(12- y\right) + y\cdot 1,19 &=&12,68 & \\ 11,88 - 0,99\cdot y + 1,19\cdot y &=&12,68 & \\ 11,88 +0,2\cdot y &=&12,68 & \vert -11,88 \\ 0,2\cdot y &=& 0,8 & \vert :0,2 \\ y &=& 4 & \end{array}$

    Setzen wir $y=4$ nun in die nach $x$ umgestellte Gleichung ein, erhalten wir folgenden Wert für $x$:

    $x=12-4=8$.

    Waldemar kauft also $8$ Fische und $4$ Hähnchenschenkel.

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