Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (8)

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (8) Übung

• Ergänze die Erklärungen zu Äquivalenzumformungen.

  Tipps

  Termumformung sind zum Beispiel

  • Kürzen von Brüchen,
  • Ausrechnen von Produkten, Summen, Differenzen oder Quotienten
  • Zusammenfassen von Variablen.

  Es gilt $34\neq 12$. Wenn du diese Gleichung auf beiden Seiten mit $0$ multiplizierst, erhältst du eine gültige Gleichung $0=0$.

  Durch Äquivalenzumformungen kann jedoch aus einer ungültigen Gleichung keine gültige hergeleitet werden.

  Prüfe, ob die folgende Umformung richtig ist:

  $\begin{align*} 4+2&=5+1&|&-2\\ 4&=5+1. \end{align*}$

  Lösung

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Es ist folgendes zu beachten:

  • Die ersten drei Äquivalenzumformungen müssen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.
  • Es darf nicht mit $0$ multipliziert und nicht durch $0$ dividiert werden.
  • Termumformungen können auf einer oder beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

• Beschreibe, wie du zu der Lösung der Gleichung kommst.

  Tipps

  Termumformungen können auf beiden Seiten oder auch nur auf einer Seite der Gleichung durchgeführt werden.

  Beachte:

  • Wenn du eine Zahl oder Variable addierst oder subtrahierst,
  • mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ multiplizierst oder
  • durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ dividierst,

  so musst du dies auf beiden Seiten der Gleichung tun.

  Lösung

  Zum Lösen von Gleichungen werden Äquivalenzumformungen durchgeführt.

  Dies ist in dem Bild zu erkennen:

  • Die Subtraktion von $3x$ auf beiden Seiten der Gleichung und
  • Termumformung auf der linken Seite der Gleichung führen zu $-2x=-8$.
  • Nun wird auf beiden Seiten der Gleichung durch $-2$ geteilt.
  • Man erhält die Lösung $x=4$.
  • Probe: $4=3\cdot 4-8~\surd$.
  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{4\}$.

• Entscheide, ob eine Äquivalenzumformung vorliegt.

  Tipps

  Es darf auf beiden Seiten einer Gleichung eine Zahl oder Variable addiert oder subtrahiert werden.

  Das gilt auch für die Multiplikation und Division.

  Die Multiplikation mit $0$ oder Division durch $0$ ist nicht erlaubt.

  Auch wenn die Lösung richtig ist, heißt dies nicht, dass die Gleichung richtig umgeformt worden ist.

  Lösung

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  $\begin{align*} 3\cdot x&=6&|&:3\\ x&=2 \end{align*}$

  Dies ist eine Äquivalenzumformung. Es wird auf beiden Seiten durch $3$ dividiert und die Umformungen sind richtig.

  $\begin{align*} 3\cdot x&=6&|&:3\\ x&=\frac62=2 \end{align*}$

  Dies ist keine Äquivalenzumformung. Zwar wurde auf beiden Seiten durch $3$ dividiert, jedoch wurde der Term $\frac62$ falsch zu $2$ umgeformt.

  $\begin{align*} 3\cdot x&=6&|&\cdot 0\\ 0&=0 \end{align*}$

  Dies ist keine Äquivalenzumformung, da die Multiplikation mit $0$ ausgeschlossen ist, ebenso wie die Division durch $0$.

  $\begin{align*} \frac x 3&=6&|&\cdot x\\ x&=18 \end{align*}$

  Dies ist keine Äquivalenzumformung. Zwar kommt das richtige Ergebnis raus, jedoch hätte entweder mit $3$ multipliziert werden, oder die zweite Zeile $\frac {x^2}3=18x$ lauten müssen.

  $\begin{align*} \frac x 3&=6&|&\cdot 3\\ x&=18 \end{align*}$

  Dies ist eine Äquivalenzumformung.

• Berechne die Lösung der Gleichung $3x+3=x-1$.

  Tipps

  Führe Äquivalenzumformungen durch:

  • Addition oder Subtraktion einer Zahl oder Variablen,
  • Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ oder
  • Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$

  jeweils auf beiden Seiten der Gleichung.

  Führe mit der gefundenen Lösung eine Probe durch.

  Vergiss nicht, die Lösungsmenge anzugeben.

  Lösung

  Die komplette Rechnung kann man hier in dem Bild sehen:

  • Es werden alle Terme mit $x$ auf die eine und die ohne $x$ auf die andere Seite gebracht.
  • Durch Subtraktion von $x$ und dann Subtraktion von $3$ kommt man zu der Gleichung $2x=-4$.
  • Nun wird durch $2$ dividiert, um zu der Lösung
  • $x=-2$ zu kommen.
  • Es ist ratsam, eine Probe durchzuführen: $3\cdot (-2)+3=-2-1~\Leftrightarrow~-6+3=-3~\surd$.
  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-2\}$.

  Dein Lösungsweg kann ganz anders aussehen. Das ist nicht schlimm. Es gibt mehr als einen Lösungsweg.

• Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

  Tipps

  Wenn du eine Gleichung gelöst hast, kannst du eine Probe durchführen: Setze deine Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

  Achte auf die Schreibweise.

  Die Lösungsmenge ist eine Menge. Mengen enthalten immer einen doppelten Strich an dem Buchstaben.

  Lösung

  Der Weg zur Lösung durch Äquivalenzumformungen ist in dem Bild zu sehen.

  Es ist sinnvoll, eine Probe mit der gefundenen Lösung durchzuführen:

  $4=3\cdot 4-8~\surd$.

  Die Lösungsmenge wird dann wie folgt angegeben:

  $\mathbb{L}=\{4\}$.

• Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

  Tipps

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Bringe die Variablen alle auf eine Seite und die Bekannten auf die andere.

  Addition der Variablen $x$ führt zu der Gleichung $-3x+5=-4$.

  Setze deine Lösung zur Probe in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

  Lösung

  Die Gleichung wird durch Äquivalenzumformungen gelöst. Die einzelnen Schritte sind hier im Bild zu erkennen:

  • Die Subtraktion der Variablen $x$ führt zu der Gleichung $-3x+5=-4$.
  • Durch Subtraktion von $5$ kommt man zu $-3x=-9$.
  • Nun wird durch $-3$ geteilt, was zu der gesuchten Lösung
  • $x=3$ führt.
  • Probe: $-2\cdot 3+5=3-4~\Leftrightarrow ~-6+5=-1~\surd$.
  • Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{3\}$.

  Du kannst die Gleichung auch anders lösen, in dem du zu Beginn $2x$ addierst. Es gibt viele richtige Lösungswege, aber nur eine richtige Lösung.